..奧數(shù)舉一反三..1.平均數(shù)〔一專題簡析：把幾個不相等的數(shù),在總數(shù)不變的條件下,通過移多補少,使它們完全相等,求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量×平均數(shù)例1有4箱水果,已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個,梨、橘子、桃平均每箱36個,蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？分析與解答：〔11箱蘋果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=126〔個；〔21箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108〔個〔31箱蘋果＋1箱桃=37×2=74〔個由〔1〔2兩個等式可知：1箱蘋果比1箱桃多126－108=18〔個,再根據(jù)等式〔3就可以算出：1箱桃有〔74－18÷2=28〔個,1箱蘋果有28＋18=46〔個。1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37×2=74〔個1箱蘋果比1箱桃多多少個：42×3－36=18〔個1箱蘋果有多少個：28＋18=46〔個練習(xí)一1,一次考試,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？2,甲、乙、丙、丁四人稱體重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？3,甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹,甲、乙兩組平均每組植樹18棵,甲、丙兩組平均每組植樹17棵,乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？例2一次數(shù)學(xué)測驗,全班平均分是91.2分,已知女生有21人,平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8〔分,而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7〔分。全體女生高出全班平均分0.8×21=16.8〔分,應(yīng)補給每個男生0.7分,16.8里包含有24個0.7,即全班有24個男生。練習(xí)二1,兩組學(xué)生進行跳繩比賽,平均每人跳152下。甲組有6人,平均每人跳140下,乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2,有兩塊棉田,平均每畝產(chǎn)量是92.5千克,已知一塊地是5畝,平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？3,把甲級和乙級糖混在一起,平均每千克賣7元,乙知甲級糖有4千克,平均每千克8元；乙級糖有2千克,平均每千克多少元？例3某3個數(shù)的平均數(shù)是2,如果把其中一個數(shù)改為4,平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？分析：原來三個數(shù)的和是2×3=6,后來三個數(shù)的和是3×3=9,9比6多出了3,是因為把那個數(shù)改成了4。因此,原來的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。練習(xí)三1,已知九個數(shù)的平均數(shù)是72,去掉一個數(shù)之后,余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？2,有五個數(shù),平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1,那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8。這個改動的數(shù)原來是多少？3,甲、乙、丙、丁四位同學(xué),在一次考試中四人的平均分是90分。可是,甲在抄分數(shù)時,把自己的分錯抄成了87分,因此,算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？2.平均數(shù)〔二例1小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是84分,這次要考100分,才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？分析與解答：100分比86分多14分,這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去,使其平均分成為86分。每次填補86－84=2〔分,14里面有7個2,所以,前面已經(jīng)測驗了7次,這是第8次測驗。練習(xí)一1,老師帶著幾個同學(xué)在做花,老師做了21朵,同學(xué)平均每人做了5朵。如果師生合起來算,正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？2,一位同學(xué)在期中測驗中,除了數(shù)學(xué)外,其它幾門功課的平均成績是94分,如果數(shù)學(xué)算在內(nèi),平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分,問這位同學(xué)一共考了多少門功課？3,兩組同學(xué)進行跳繩比賽,平均每人跳152次。甲組有6人,平均每人跳140次,如果乙組平均每人跳160次,那么,乙組有多少人？例2兩地相距360千米,一艘汽艇順水行全程需要10小時,已知這條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？分析與解答：用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然,要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因為360÷10=36〔千米是順水速度,它是汽艇的靜水速度與水流速度的和,所以,此汽艇的靜水速度是36－6=30〔千米。而逆水速度=靜水速度－水流速度,所以汽艇的逆水速度是30－6=24〔千米。逆水行全程時所用時間是360÷24=15〔小時,往返的平均速度是360×2÷〔10＋15=28.8〔千米。練習(xí)二1,甲、乙兩個碼頭相距144千米,汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭,已知汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？2,甲船逆水航行300千米,需要15小時,返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣的一段水路需要20小時,返回原地需要多少小時？例3王強從A地到B地,先騎自行車行完全程的一半,每小時行12千米。剩下的步行,每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？分析與解答：求行完全程的平均速度,應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于題中沒有告訴我們A地到B地間的路程,我們可以設(shè)全程為24千米〔也可以設(shè)其他數(shù),這樣,就可以算出行全程所用的時間是12÷12＋12÷4=4〔小時,再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小時6千米。練習(xí)三1,小明去爬山,上山時每小時行3千米,原路返回時每小時行5千米。求小明往返的平均速度。2,運動員進行長跑訓(xùn)練,他在前一半路程中每分鐘跑150米,后一半路程中每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。3,把一份書稿平均分給甲、乙二人去打,甲每分鐘打30個字,乙每分鐘打20個字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？3.長方形、正方形的周長同學(xué)們都知道,長方形的周長=〔長＋寬×2,正方形的周長=邊長×4。長方形、正方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長,還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識,掌握轉(zhuǎn)化的思考方法,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標準的圖形,以便計算它們的周長。例1有5張同樣大小的紙如下圖〔a重疊著,每張紙都是邊長6厘米的正方形,重疊的部分為邊長的一半,求重疊后圖形的周長。思路與導(dǎo)航根據(jù)題意,我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、下平移〔如圖b,轉(zhuǎn)化成一個大正方形,這個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊后的圖形的周長相等。因此,所求周長是18×4=72厘米。練習(xí)一1,下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成,求這個圖形的周長。2,下圖由1個正方形和2個長方形組成,求這個圖形的周長。50cm3,有6塊邊長是1厘米的正方形,如例題中所說的這樣重疊著,求重疊后圖形的周長。例2一塊長方形木板,沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米,截掉的面積為192平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？思路導(dǎo)航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊〔如圖,其中AB的面積是192－4×4=176〔平方厘米。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形,而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176÷4=44〔厘米,現(xiàn)在這塊木板的周長是44×2=88〔厘米。練習(xí)二1,有一個長方形,如果長減少4米,寬減少2米,面積就比原來減少44平方米,且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。2,有兩個相同的長方形,長是8厘米,寬是3厘米,如果按下圖疊放在一起,這個圖形的周長是多少？3,有一塊長方形廣場,沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶,剩下的部分仍是長方形,且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？例3已知下圖中,甲是正方形,乙是長方形,整個圖形的周長是多少？思路導(dǎo)航從圖中可以看出,整個圖形的周長由六條線段圍成,其中三條橫著,三條豎著。三條橫著的線段和是〔a＋b×2,三條豎著的線段和是b×2。所以,整個圖形的周長是〔a＋b×2＋b×2,即2a＋4b。練習(xí)三1,有一張長40厘米,寬30厘米的硬紙板,在四個角上各剪去一個同樣大小的正方形后準備做一個長方體紙盒,求被剪后硬紙板的周長。2,一個長12厘米,寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖〔1所示長方形,求所拼長方形的周長。3,求下面圖形〔圖2的周長〔單位：厘米。圖〔1圖〔2例4下圖是邊長為4厘米的正方形,求正方形中陰影部分的周長。思路導(dǎo)航我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊,其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面,其和也正好是4厘米。因此,陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。練習(xí)1,在〔里填上"＞"、"＜"或"="。甲的周長〔乙的周長2,下圖中的每一小段的長度都相等,求圖形的周長。4.長方形、正方形的面積專題簡析：長方形的面積=長×寬,正方形的面積=邊長×邊長。掌握并能運用這兩個面積公式,就能計算它們的面積。但是,在平時的學(xué)習(xí)過程中,我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念,利用"割補"、"平移"、"旋轉(zhuǎn)"等方法,使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長方形、正方形面積的問題,從而正確解答。例1已知大正方形比小正方形邊長多2厘米,大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？分析從圖中可以看出,大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米,可以分成三部分,其中A和B的面積相等。因此,用40平方厘米減去陰影部分的面積,再除以2就能得到長方形A和B的面積,再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長,計算大、小正方形的面積就非常簡單了。練習(xí)一1,有一塊長方形草地,長20米,寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路,求小路的面積。2,正方形的一組對邊增加30厘米,另一組對邊減少18厘米,結(jié)果得到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3,把一個長方形的長增加5分米,寬增加8分米后,得到一個面積比原長方形多181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？例2把20分米長的線段分成兩段,并且在每一段上作一正方形,已知兩個正方形的面積相差40平方分米,大正方形的面積是多少平方分米？分析我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是圖中的A和B兩部分,如圖。如果把B移到原來小正方形的上面,不難看出,A和B正好組成一個長方形,此長方形的面積是40平方分米,長20分米,寬是40÷20=2〔分米,即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此,大正方形的邊長就是〔20+2÷2=11〔分米,面積是11×11=121〔平方分米練習(xí)二1,一塊正方形,一邊劃出15米,另一邊劃出10米搞綠化,剩下的面積比原來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？2,一個正方形,如果它的邊長增加5厘米,那么,面積就比原來增加95平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？3,有一個正方形草坪,沿草坪四周向外修建一米寬的小路,路面面積是80平方米。求草坪的面積。5一般應(yīng)用題〔一專題簡析：一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起,有的已知條件是間接的,數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜,敘述的方式和順序也比較多樣。因此,一般應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時,可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時,我們可以從條件出發(fā),逐步推出所求問題〔綜合法；也可以從問題出發(fā),找出必須的兩個條件〔分析法。在實際解時,可以根據(jù)題中的已知條件,靈活運用這兩種方法。例1五年級有六個班,每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動,剩下的同學(xué)相當于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？分析與解答：從每班選16人參加少先隊活動,6個班共選16×6=96〔人。剩下的同學(xué)相當于原來4個班的人數(shù),那么,96人就相當于原來〔6－4個班人人數(shù),所以,原來每班96÷2=48〔人。練習(xí)一1,五個同學(xué)有同樣多的存款,若每人拿出16元捐給"希望工程"后,五位同學(xué)剩下的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？2,把一堆貨物平均分給6個小組運,當每個小組都運了68箱時,正好運走了這堆貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？3,老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽,當每隊栽了6棵時,發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正好是原來每隊分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？例2某車間按計劃每天應(yīng)加工50個零件,實際每天加工56個零件。這樣,不僅提前3天完成原計劃加工零件的任務(wù),而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工了多少個零件？分析如果按原計劃的天數(shù)加工,加工的零件就會比原計劃多56×3＋120=288〔個。為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了56－50=6〔個。因此,原計劃加工的天數(shù)是288÷6=48〔天,實際加工了50×48＋120=1520〔個零件。練習(xí)二1,汽車從甲地開往乙地,原計劃每小時行40千米,實際每小時多行了10千米,這樣比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2,小明騎車上學(xué),原計劃每分鐘行200米,正好準時到達學(xué)校,有一天因下雨,他每分鐘只能行120米,結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠？3,加工一批零件,原計劃每天加工80個,正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù),實際每天加工100個,這樣,不僅提前4天完成加工任務(wù),而且還多加工了100個。他們實際加工零件多少個？6一般應(yīng)用題〔二專題簡析：較復(fù)雜的一般應(yīng)用題,往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起,但是,再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過"轉(zhuǎn)化"向基本的問題靠攏。因此,我們在解答一般應(yīng)用題時要善于分析,把復(fù)雜的問題簡單化,從而正確解答。例1工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道,用長管子鋪需要25根,用短管子鋪需要35根。已知這兩種管子的長相差2米,這段排水管道長多少米？分析因為每根長管子比每根短管子長2米,25根長管子就比25根短管子長50米。而這50米就相當于〔35－25根短管子的長度。因此,每根短管子的長度就是50÷〔35－25=5〔米,這段排水管道的長度應(yīng)是5×35=175〔米。練習(xí)一1,生產(chǎn)一批零件,甲單獨生產(chǎn)要用6小時,乙單獨生產(chǎn)要用8小時。如果甲每小時比乙多生產(chǎn)10個零件,這批零件一共有多少個？2,一班的小朋友在操場上做游戲,每組6人。玩了一會兒,他們覺得每組人數(shù)太少便重新分組,正好每組9人,這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？3,甲、乙二人同時從A地到B地,甲經(jīng)過10小時到達了B地,比乙多用了4小時。已知二人的速度差是每小時5千米,求甲、乙二人每小時各行多少千米？例2甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果,分配時甲、乙都比丙多拿24千克。結(jié)帳時,甲和乙都要付給丙24元,每千克蘋果多少元？分析三人拿同樣多的錢買蘋果應(yīng)該分得同樣多的蘋果。24×2÷3=16〔千克,也就是丙少拿16千克蘋果,所以得到24×2=48元。每千克蘋果是48÷16=3〔元。練習(xí)二1,甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支,分鉛筆時,甲拿了13支,乙拿了7支,因此,甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？2,春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包,中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品,結(jié)果三人平均分了這些面包,而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢。每個面包多少元？3,"六一"兒童節(jié)時同學(xué)們做紙花,小華買來了7張紅紙,小英買來了和紅紙同樣價格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué),結(jié)果另外兩名同學(xué)共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？例3甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸,小卡車的載重量是2噸,大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡車來運輸時耗油最少？分析大汽車一次運5噸,耗油10升,平均運1噸貨耗油10÷5=2〔升；小汽車一次運2噸,耗油5升,平均運1噸貨耗油5÷2=2.5〔升。顯然,為耗油量最少應(yīng)該盡可能用大卡車。177÷5=35〔輛……2噸,余下的2噸正好用小卡車運。因此,用35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。練習(xí)三1,五名選手在一次數(shù)學(xué)競賽中共得404分,每人得分互不相同,并且都是整數(shù)。如果最高分是90分,那么得分最少的選手至少得多少分？2,用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張,那么最多可以買1角的郵票多少張？3,某班有60人,其中42人會游泳,46人會騎車,50人會溜冰,55人會打乒乓球。可以肯定至少有多少人四項都會？例4有一棟居民樓,每家都訂2份不同的報紙,該居民樓共訂了三種報紙,其中北京日報34份,江海晚報30份,電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少家？分析這棟樓共訂報紙34+30+22=86〔份,因為每家都訂2份不同的報紙,所以一共有86÷2=43家。在這43家居民中,有34家訂了北京日報,剩下的9家居民一定是訂了江海晚報和電視報。練習(xí)四1,五〔1班全體同學(xué)每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔,全班共帶了三種水果,其中蘋果40個,梨32個,桔子26個。那么,帶梨和桔子的有多少個同學(xué)？2,在一次慶祝"六一"兒童節(jié)活動中,一個方隊的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的氣球,共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只,黃色的有60只,綠色的有46只。那么,手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學(xué)？3,學(xué)校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組,第一小隊的同學(xué)們每人都參加了其中的兩個小組,其中9人參加球類小組,6人參加美術(shù)小組,7人參加音樂小組的活動。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？例5一艘輪船發(fā)生漏水事故,立即安裝兩臺抽水機向外抽水,此時已進水800桶。一臺抽水機每分鐘抽水18桶,另一臺每分鐘抽水14桶,50分鐘把水抽完。每分鐘進水多少桶？分析50分鐘內(nèi),兩臺抽水機一共能抽水〔18＋14×50=1600〔桶。1600桶水中,有800桶是開始抽之前就漏進的,另800桶是50分鐘又漏進的,因此,每分鐘漏進水800÷50=16〔桶。練習(xí)五1,一個水池能裝8噸水,水池里裝有一個進水管和一個出水管。兩管齊開,20分鐘能把一池水放完。已知進水管每分鐘往池里進水0.8噸,求出水管每分鐘放水多少噸？2,某工地原有水泥120噸。因工程需要,又派5輛卡車往工地送水泥,平均每輛卡車每天送25噸,3天后工地上共有水泥101噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？3,一堆貨物重96噸,甲隊用16小時運完,乙隊用24小時運完。如果讓兩隊同時合運,幾小時運完？第９周一般應(yīng)用題〔三專題簡析解答一般應(yīng)用題時,可以按下面的步驟進行：1,弄清題意,找出已知條件和所求問題；2,分析已知條件和所求問題之間的關(guān)系,找出解題的途徑；3,擬定解答計劃,列出算式,算出得數(shù)；4,檢驗解答方法是否合理,結(jié)果是否正確,最后寫出答案。例1甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件,原計劃每天共生產(chǎn)700個。由于改進技術(shù),甲每天多生產(chǎn)100個,乙的日產(chǎn)量提高了1倍,這樣二人一天共生產(chǎn)1020個。甲、乙原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？分析二人實際每天比原計劃多生產(chǎn)1020－700=320〔個。這320個零件中,有100個是甲多生產(chǎn)的,那么320－100=220〔個就是乙日產(chǎn)量的1倍,即乙原來的日產(chǎn)量,甲原來每天生產(chǎn)700－220=480〔個。練習(xí)一1,工廠里有2個鍋爐,原來每月燒煤5.6噸。進行技術(shù)改造后,1號鍋爐每月節(jié)約1噸煤,2號鍋爐每月燒煤量減少了一半,現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來兩個鍋爐每月各燒煤多少噸？2,甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件,原計劃每天共生產(chǎn)80個。由于更換了機器,甲每天多做40個,乙每天生產(chǎn)的是原來的4倍,這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個。甲、乙原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？3,甲、乙兩隊合挖一條水渠,原計劃兩隊每天共挖100米,實際甲隊因有人請假,每天比計劃少挖15米,而乙隊由于增加了人,每天挖的是原計劃的2倍,這樣兩隊每天一共挖了150米。求兩隊原計劃每天各挖多少米？例2把一根竹竿插入水底,竹竿濕了40厘米,然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過來插入水底,這時,竹竿濕的部分比它的一半長13厘米。求竹竿的長。分析因為竹竿先插了一次,濕了40厘米,倒轉(zhuǎn)過來再插一次又濕了40厘米,所以濕了的部分是40×2=80〔厘米。這時,濕的部分比它的一半長13厘米,說明竹竿的長度是〔80－13×2=134〔厘米。練習(xí)二1,有一根鐵絲,截去一半多10厘米,剩下的部分正好做一個長8厘米,寬6厘米的長方形框架。這根鐵絲原來長多少厘米？2,有一根竹竿,兩頭各截去20厘米,剩下部分的長度比截去的4倍少10厘米。這根竹竿原來長多少厘米？3,兩根電線一樣長,第一根剪去80米,第二根剪去320米,剩下部分第一根是第二根長度的4倍。兩根電線原來各長多少米？例3將一根電線截成15段。一部分每段長8米,另一部分每段長5米。長8米的總長度比長5米的總長度多3米。這根鐵絲全長多少米？分析設(shè)這15段中有X段是8米長的,則有〔15－X段是5米長的。然后根據(jù)"8米的總長度比5米的總長度多3米"列出方程,并進行解答。練習(xí)三1,某人過一個小山坡共用了20分鐘,他上坡每分鐘走80米,下坡每分鐘走102米。上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長多少米？2,食堂里買來15袋大米和面粉,每袋大米25千克,每袋面粉10千克。已知買回的大米比面粉多165千克,求買回大米、面粉各多少千克？3,老師買回兩種筆共16支獎給三好學(xué)生,其中鉛筆每支0.4元,圓珠筆每支1.2元,買圓珠筆比買鉛筆共多用了1.6元。求買這些筆共用去多少錢？例4甲、乙兩名工人加工一批零件,甲先花去2.5小時改裝機器,因此前4小時甲比乙少做400個零件。又同時加工4小時后,甲總共加工的零件反而比乙多4200個。甲、乙每小時各加工零件多少個？分析〔1在后4小時內(nèi),甲一共比乙多加工了4200+400=4600〔個零件,甲每小時比乙多加工4600÷4=1150個零件。〔2在前4小時內(nèi),甲實際只加工了4－2.5=1.5小時,甲1.5小時比乙1.5小時應(yīng)多做1150×1.5=1725個零件,因此,1725＋400=2125個零件就是乙2.5小時的工作量,即乙每小時加工2125÷2.5=850個,甲每小時加工850＋1150=2000個。練習(xí)四1,甲、乙二人同時從A地去B地,前3小時,甲因修車1小時,因此乙鄰先于甲4千米。又經(jīng)過3小時,甲反而領(lǐng)先了乙17千米。求二人的速度。2,師徒二人生產(chǎn)同一種零件,徒弟比師傅早2小時開工,當師傅生產(chǎn)了2小時后,發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個零件。二人又生產(chǎn)了2小時,師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10個。師傅每小時生產(chǎn)多少個零件？3,甲每小時生產(chǎn)12個零件,乙每小時生產(chǎn)8個零件。一次,二人同時生產(chǎn)同樣多的零件,結(jié)果甲比乙提前5小時完成了任務(wù)。問：甲一共生產(chǎn)了多少個零件？例5加工一批零件,單給甲加工需10小時,單給乙加工需8小時。已知甲每小時比乙少做3個零件,這批零件一共有多少個？分析因為甲每小時比乙少做3個零件,8小時就比乙少做3×8=24〔個零件,所以,24個零件就是甲〔10－8小時的工作量。甲每小時加工24÷〔10－8=12〔個,這批零件一共有12×10=120〔個。練習(xí)五1,快、慢兩車同時從甲地開往乙地,行完全程快車只用了4小時,而慢車用了6.5小時。已知快車每小時比慢車多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？2,媽媽去買水果,她所帶的錢正好能買18千克蘋果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克蘋果便宜0.7元,媽媽一共帶了多少錢？3,師徒二人加工零件,已知師傅6小時加工的零件和徒弟8小時加工的零件相等。如果師傅每小時比徒弟多加工3個零件,那么,徒弟每小時加工多少個零件？第10周數(shù)陣專題簡析：填"幻方"是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲,由幻方演變出來的數(shù)陣問題,也是一類比較常見的填數(shù)問題。這里,和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法,二是試驗法。待定數(shù)法就是先用字母〔或符號表示滿足條件的數(shù),通過分析、計算來確定這些字母〔或符號應(yīng)具備的條件,為解答數(shù)陣問題提供方向。試驗法就是根據(jù)題中所給條件選準突破口,確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗法結(jié)合起來,再由填數(shù)的可能情況,確定應(yīng)填的數(shù)。例題1把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里,如圖a使橫行三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21。先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D、E來表示,根據(jù)題意可知：A＋B＋C＋D＋E=35,A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。把兩式相比較可知,E=42－35=7,即中間填7。然后再根據(jù)5＋9=6＋8便可把五個數(shù)填進方格,如圖b。練習(xí)一1,把1——10各數(shù)填入"六一"的10個空格里,使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。2,把1——9各數(shù)填入"七一"的9個空格里,使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。3,將1——7七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里,使每條線上三個數(shù)的和相等。例題2將1——10這十個數(shù)填入下圖小圓中,使每個大圓上六個數(shù)的和是30。分析設(shè)中間兩個圓中的數(shù)為a、b,則兩個大圓的總和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2,即55＋a＋b=60,a＋b=5。在1——10這十個數(shù)中1＋4=5,2＋3=5。當a和b是1和4時,每個大圓上另外四個數(shù)分別是〔2,6,8,9和〔3,5,7,10；當a和b是2和3時,每個大圓上另外四個數(shù)分別為〔1,5,9,10和〔4,6,7,8。練習(xí)二1,把1——8八個數(shù)分別填入下圖的○內(nèi),使每個大圓上五個○內(nèi)數(shù)的和相等。2,把1——10這十個數(shù)分別填入下圖的○內(nèi),使每個四邊形頂點的○內(nèi)四個數(shù)的和都相等,且和最大。3,將1——8八個數(shù)填入下圖方格里,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對角線四格內(nèi)四個數(shù)的和都是18。例題3將1——6這六個數(shù)分別填入下圖的圓中,使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)的和相等、且最大。分析設(shè)中間三個圓內(nèi)的數(shù)是a、b、c。因為計算三條線上的和時,a、b、c都被計算了兩次,根據(jù)題意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋〔a＋b＋c除以3沒有余數(shù)。1＋2＋3＋4＋5＋6=21,21÷3=7沒有余數(shù),那么a＋b＋c的和除以3也應(yīng)該沒有余數(shù)。在1——6六個數(shù)中,只有4＋5＋6的和最大,且除以3沒有余數(shù),因此a、b、c分別為4、5、6。〔1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6÷3=12,所以有下面的填法：練習(xí)三1,將1——6六個數(shù)分別填入下圖的○內(nèi),使每邊上的三個○內(nèi)數(shù)的和相等。2,將1——9九個數(shù)分別填入下圖○內(nèi),使每邊上四個○內(nèi)數(shù)的和都是17。3,將1——8八個數(shù)分別填入下圖的○內(nèi),使每條安上三個數(shù)的和相等。例題4將1——7分別填入下圖的7個○內(nèi),使每條線段上三個○內(nèi)數(shù)的和相等。分析首先要確定中心圓內(nèi)的數(shù),設(shè)中心○內(nèi)的數(shù)是a,那么,三條線段上的總和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a,由于三條線段上的和相等,所以〔28＋2a除以3應(yīng)該沒有余數(shù)。由于28÷3=9……1,那么2a除以3應(yīng)該余2,因此,a可以為1、4或7。當a=1時,〔28＋2×1÷3－1=9,即每條線段上其他兩數(shù)的和是9,因此,有這樣的填法。練習(xí)四1,將1——9填入下圖的○中,使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。2,將1——11這十一個數(shù)分別填進下圖的○里,使每條線上3個○內(nèi)的數(shù)的和相等。3,將1——8這八個數(shù)分別填入下圖○內(nèi),使外圓四個數(shù)的和,內(nèi)圓四個數(shù)的和以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18。例題5如下圖<a>四個小三角形的頂點處有六個圓圈。如果在這些圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù),它們的和是20,而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和相等。問這六個質(zhì)數(shù)的積是多少？分析設(shè)每個小三角形三個頂點處○內(nèi)數(shù)的和為X。因為中間的小三角形頂點處的數(shù)在求和時都用了三次,所以,四個小三角形頂點處數(shù)的總和是4X=20＋2X,解方程得X=10。由此可知,每個小三角形頂點處的三個質(zhì)數(shù)的和是10,這三個質(zhì)數(shù)只能是2、3、5。因此這6個質(zhì)數(shù)的積是2×2×3×3×5×5=900。如圖〔b。練習(xí)五1,將九個不同的自然數(shù)填入下面方格中,使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的積都相等。2,將1——9九個自然數(shù)分別填入下圖的九個小三角形中,使靠近大三角形每條邊上五個數(shù)的和相等,并且盡可能大。這五個數(shù)之和最大是多少？3,將1——9九個數(shù)分別填入下圖○內(nèi),使外三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和。第11周周期問題專題簡析：周期問題是指事物在運動變化的發(fā)展過程中,某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn),其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫做周期。在數(shù)學(xué)上,不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支,而且平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象,并充分加以利用,把要求的問題和某一周期的等式相對應(yīng),就能找到解題關(guān)鍵。例題1流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個紅,再4個黃,再3個綠,再2個黑,再1個白,然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去,到2001個小球該涂什么顏色？分析根據(jù)題意可知,小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白,即5＋4＋3＋2＋1=15個球為一個周期,不斷循環(huán)。因為2001÷15=133……6,也就是經(jīng)過133個周期還余6個,每個周期中第6個是黃的,所以第2001個球涂黃色。練習(xí)一1,跑道上的彩旗按"三面紅、兩面綠、一面黃"的規(guī)律插下去,第50面該插什么顏色？2,有一串珠子,按4個紅的,3個白的,2個黑的順序重復(fù)排列,第160個是什么顏色？例題2有47盞燈,按二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？分析〔1我們把二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組,47÷9=5〔組……2〔盞,余下的兩盞是第6組的前兩盞燈,是紅燈,所以最后一盞燈是紅燈；〔2由于47÷9=5〔組……2〔盞,所以紅燈共有2×5＋2=12〔盞,占總數(shù)的；藍燈共有4×5=20〔盞,占總數(shù)的；黃燈共有3×5=15〔盞,占總數(shù)的。練習(xí)二1,有68面彩旗,按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著,這些彩旗中,紅旗占黃旗的幾分之幾？2,黑珠和白珠共2000顆,按規(guī)律排列著：○●○○○●○○○●○○……,第2000顆珠子是什么顏色的？其中,黑珠共有多少顆？3,在100米長的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個同學(xué)。這些同學(xué)以一端開始,按先兩個女生,再一個男生的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個女生？例題320XX10月1日是星期一,那么,20XX1月1日是星期幾？分析一個星期是7天,因此7天為一個周期。10月1日是星期一,是第一個周期的第一天,再過7天即10月8日也是星期一。計算天數(shù)時為了方便,我們采用"算尾不算頭"的方法,例如10月8日就用〔8－1÷7=1,沒有余數(shù)說明8號仍是星期一。題中說從20XX10月1日到20XX1月1日,要經(jīng)過92天,92÷7=13……1,余1天就是從星期一往后數(shù)一天,即星期二。練習(xí)三1,20XX1月1日是星期二,20XX的六月一日是星期幾？2,如果今天是星期五,再過80天是星期幾？3,以今天為標準,算一算今年自己的生日是星期幾？例題4將奇數(shù)如下圖排列,各列分別用A、B、C、D、E為代表,問：2001所在的列以哪個字母為代表？ABCDE135715131191719212331292725……分析這列數(shù)按每8個數(shù)一組有規(guī)律排列著。2001是這一列數(shù)中的第1001個數(shù),1001÷8=125……1,即2001是這列數(shù)中第126組的第一個數(shù),所以它所在的那一列是以字母B為代表的。練習(xí)四1,將偶數(shù)2、4、6、8、……按下圖依次排列,2014出現(xiàn)在哪一列？ABCDE8642101214162422201826283032……2,把自然數(shù)按下列規(guī)律排列,865排在哪一列？ABCD123654789121110………………3,上表中,將每列上下兩個字組成一組,如第一組為〔小熱,第二組為〔學(xué)愛。求第460組是什么？例題5888……8[100個8]÷7,當商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？分析從豎式中可以看出,被除數(shù)除以7,每次除得的余數(shù)以1、4、6、5、2、0不斷重復(fù)出現(xiàn)。我們可以用100除以6,觀察余數(shù)就知道所求問題了。100÷6=16……4余數(shù)是4說明當商是整數(shù)時,余數(shù)是1、4、6、5、2、0中的第4個數(shù),即5。練習(xí)五1,444……4[100個4]÷3當商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？2,444……4[100個4]÷6當商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？3,111……1[1000個1]÷7當商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？第12周盈虧問題專題簡析：盈虧問題又叫盈不足問題,是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象,如果按某種標準分,則分配后會有剩余〔盈；按另一種標準分,分配后又會有不足〔虧,求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友,每人分3塊,多12塊；如果每人分4塊,少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況,就是我們通常說的標準的盈虧問題。盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系是：〔盈＋虧÷兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標準的盈虧問題,它們被分為四類：1,兩盈：兩次分配都有多余；2,兩不足：兩次分配都不夠；3,盈適足：一次分配有余,一次分配夠分；4,不足適足：一次分配不夠,一次分配正好。一些非標準的盈虧問題都是由標準的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：1,"兩虧"問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；2,"兩盈"問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；3,"一盈一虧"問題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)。例1某校乒乓球隊有若干名學(xué)生,如果少一名女生,增加一名男生,則男生為總數(shù)的一半；如果少一名男生,增加一名女生,則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊共有多少名學(xué)生？分析〔1由"少一個女生,增加一個男生,則男生為總?cè)藬?shù)的一半"可知：女生比男生多2人；〔2"少一個男生,增加一個女生"后,女生就比男生多2＋2=4人,這時男生為女生人數(shù)的一半,即現(xiàn)在女生有4×2=8人。原來女生有8－1=7人,男生有7－2=5人,共有7＋5=12人。練習(xí)一1,學(xué)校買來了白粉筆和彩色粉筆若干盒,如果白粉筆減少10盒,彩色粉筆增加8盒,兩種粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆,白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買來兩種粉筆各多少盒？2,操場上有兩堆貨物,如果甲堆增加80噸,乙堆增加25噸,則兩堆貨物一樣重；苦甲、乙兩堆各運走5噸,剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少噸？3,五〔1班的優(yōu)秀學(xué)生中,苦增加2名男生,減少1名女生,則男、女生人數(shù)同樣多；苦減少1名男生,增加1名女生,則男生是女生的一半。這些優(yōu)秀學(xué)生中男、女生各多少人？例2幼兒園老師拿出蘋果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友,則少4個；如果每個小朋友只發(fā)給4個,則老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？分析如果平均分給小朋友,則少4個,說明小朋友人數(shù)大于4；如果每個小朋友只發(fā)給4個,則教師也能留下4個,說明每人少拿若干個,就少拿4＋4=8個蘋果。因為小朋友人數(shù)大于4,所以,一定是每人少拿1個,有8÷1=8個小朋友,有8×4＋4=36個蘋果。練習(xí)二1,給小朋友分梨,如果每人分4個,則多9個；如果每人分5個,則少6個。有多少個小朋友？有多少個梨？2,老把一些鉛筆獎給三好學(xué)生。每人5支則多4支,每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎給多少個三好學(xué)生？3,有一個班的同學(xué)去劃船,他們算了一下,如果增加一條船,正好每船坐6人；如果減少一條船,正好每條船上坐9人。這個班一共有多少個同學(xué)？例3幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個余10個；如果分給小班的學(xué)生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人,這筐蘋果有多少個？分析如果大班減少3人,則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣,大班每人5個就多余3×5＋10=25個。由于兩班人數(shù)相等,小班每人多分3個就要多分〔25＋2個蘋果,用〔25＋2÷〔8－5就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是9人,再用9×8－2就求出了這筐蘋果有多少個。練習(xí)三1,一些學(xué)生搬一批磚,每人搬4塊,其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊,就有兩人沒有磚可搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2,老師給幼兒園小朋友分糖,每人3塊還多10塊；如果減少2個小朋友再分,每人4塊還多7塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？3,筑路隊計劃每天筑路720米,正好按期筑完。實際每天多筑80米,這樣,比原計劃提前3天完成了筑路任務(wù)。要筑的路有多長？例4幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友,平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友,平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友,平均每人分得多少塊？分析這箱餅干分給小班和中班的小朋友,平均每人分得6塊,如果只分給中班的小朋友,平均每人可多分4塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6÷4=1.5倍。因此,這箱餅干分給小班的小朋友,每位小朋友可多分到6×1.5=9塊,一共可分到6＋9=15塊餅干。練習(xí)四1,老師把一批書借給甲組同學(xué),平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學(xué),每人可借6本。如果只借給甲組的男生,平均每人借到幾本？2,甲、乙兩組同學(xué)做紅花,每人做8朵,正好送給五年級每個同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓甲組同學(xué)單獨做,每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨做,每人要做幾朵？3,老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班,每人可得12塊；如果只分給中班和小班,每人只能分到4塊。如果這袋糖只分給中班,每人可分到幾塊？例5全班同學(xué)去劃船,如果減少一條船,每條船正好坐9個同學(xué)；如果增加一條船,每條船正好坐6個同學(xué)。這個班有多少個同學(xué)？分析根據(jù)題意可知：每船坐9人,就能減少一條船,也就是少9個同學(xué)；每船坐6人,就要增加一條船,也就是多出6個同學(xué)。因此,每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人,15里面包含5個〔9－6,說明有5條船。知道了有5條船,就可以求全班人數(shù)：9×〔5－1=36人。練習(xí)五1,老師把一籃蘋果分給小班的同學(xué),如果減少一個同學(xué),每個同學(xué)正好分得5個；如果增加一個同學(xué),正好每人分得4個。這籃蘋果一共有多少個？2,五年級同學(xué)去劃船,如果增加一只船,正好每只船上坐7人；如果減少一只船,正好每只船上價8人。五年級共有多少人？3,一個旅游團去旅館住宿,6人一間,多2個房間；若4人一間又少2個房間。旅游團共有多少人？第13周長方體和正方體〔一專題簡析在數(shù)學(xué)競賽中,有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：1,必須以基本概念和方法為基礎(chǔ),同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2,依賴已經(jīng)積累的空間觀念,觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3,求一些不規(guī)則的物體體積時,可以通過變形的方法來解決。例題1一個零件形狀大小如下圖：算一算,它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？〔單位：厘米分析〔1可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積,左邊的長方體體積是10×4×2=80〔立方厘米,右邊的長方體的體積是10×〔6－2×2=80〔立方厘米,整個零件的體積是80×2=160〔立方厘米；〔2求這個零件的表面積,看起來比較復(fù)雜,其實,朝上的兩個面的面積和正好與朝下的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相等。因此,此零件的表面積就是〔10×6＋10×4＋2×2×2=232〔平方厘米。想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎？練習(xí)一1,一個長5厘米,寬1厘米,高3厘米的長方體,被切去一塊后〔如圖,剩下部分的表面積和體積各是多少？2,把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段,表面積增加了2平方分米,求這根木料原來的體積。3,有一個長8厘米,寬1厘米,高3厘米的長方體木塊,在它的左右兩角各切掉一個正方體〔如圖,求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？例題2有一個長方體形狀的零件,中間挖去一個正方體的孔〔如圖,你能算出它的體積和表面積嗎？〔單位：厘米分析〔1先求出長方體的體積,8×5×6=240〔立方厘米,由于挖去了一個孔,所以體積減少了2×2×2=8〔立方厘米,這個零件的體積是240－8=232〔立方厘米；〔2長方體完整的表面積是〔8×5＋8×6＋6×5×2=236〔平方厘米,但由于挖去了一個孔,它的表面積減少了一個〔2×2平方厘米的面,同時又增加了凹進去的5個〔2×2平方厘米的面,因此,這個零件的表面積是236＋2×2×4=252〔平方厘米。練習(xí)二1,有一個形狀如下圖的零件,求它的體積和表面積。〔單位：厘米。2,有一個棱長是4厘米的正方體,從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后,剩下物體的體積和表面積各是多少？3,如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上〔如圖,那么得到的物體的體積和表面積各是多少？例題3一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體,拼成的長方體的表面積比原來的長方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？分析一個正方體和一個長方體拼成新的長方體,其表面積比原來的長方體增加了4塊正方形的面積,每塊正方形的面積是50÷4=12.5〔平方厘米。正方體有6個這樣的面,所以,原來正方體的表面積是12.5×6=75〔平方厘米。練習(xí)三1,把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體,這個大長方體的表面積比原來兩個長方體的表面積的和減少了46平方厘米,而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘米,那么它的體積是多少立方厘米？2,一根長80厘米,寬和高都是12厘米的長方體鋼材,從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體后,它的表面積減少了多少平方厘米？3,把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體,它們的表面積最多會減少多少平方分米？例題4把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米,求大長方體的表面積。分析要求大長方體的表面積,必須知道它的長、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長方體的長、寬、高,顯然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,磚的體積是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長方體的長是12×2=24厘米,寬12厘米,高是8＋3=11厘米,表面積就不難求了。練習(xí)四1,一塊小正方體的表面積是6平方厘米,那么,由1000個這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2,一個長方體的體積是385立方厘米,且長、寬、高都是質(zhì)數(shù),求這個長方體的表面積。3,有24個正方體,每個正方體的體積都是1立方厘米,用這些正方體可以拼成幾種不同的長方體？用圖畫出來。例題5一個長方體,前面和上面的面積之和是209平方厘米,這個長方體的長、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？分析長方體的前面和上面的面積是長×寬＋長×高=長×〔寬＋高,由于此長方體的長、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù),所以有209=11×19=11×〔17＋2,即長、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)五1,有一個長方體,它的前面和上面的面積和是88平方厘米,且長、寬、高都是質(zhì)數(shù),那么這個長方體的體積是多少？2,一個長方體的長、寬、高是三個連續(xù)偶數(shù),體積是196立方厘米,求它的表面積。3,一個長方體和一個正方體的棱長之長相等,已知長方體長、寬、高分別是6分米、4分米、25分米,求正方體體積。第十四周長方體和正方體〔二專題簡析在長方體、正方體問題中,我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中,物體在水中會占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問題,必須掌握這樣幾點：1,將一個物體變形為另一種形狀的物體〔不計損耗,體積不變；2,兩個物體熔化成一個物體后,新物體的體積是原來物體體積的和；3,物體浸入水中,排開的水的體積等于物體的體積。例題1有兩個無蓋的長方體水箱,甲水箱里有水,乙水箱空著。從里面量,甲水箱長40厘米,寬32厘米,水面高20厘米；乙水箱長30厘米,寬24厘米,深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱,使兩箱水面高度一樣,現(xiàn)在水面高多少厘米？分析由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣,我們可以這樣思考：把兩個水箱并靠在一起,水的體積就是〔甲水箱的底面積+乙水箱的底面×水面的高度。這樣,我們只要先求出原來甲水箱中的體積：40×32×20=25600〔立方厘米,再除以兩只水箱的底面積和：40×32＋30×24=2000〔平方厘米,就能得到后來水面的高度。練習(xí)一1,有兩個水池,甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米,乙水池空著,它長6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池,使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？2,有一個長方體水箱,從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊后,鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？3,一段鋼材長15分米,橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋,求這根據(jù)鋼筋的長。例2將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大正方體〔不計損耗,求這個大正方體的體積。分析因為正方體的六個面都相等,而54=6×9=6×〔3×3,所以這個正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6×〔4×4,棱長是4厘米；150=6×〔5×5,棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積,這個大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)二1,有三個正方體鐵塊,它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體,求這個大正方體的體積。2,將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長方體,已知這個長方體的長是13厘米,寬7厘米,求它的高。3,把8塊邊長是1分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體,這個大正方體的表面積是多少平方分米？例題3有一個長方體容器,從里面量長5分米、寬4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中,水面上升多少分米？分析鐵塊的體積是2×2×2=8〔立方分米,把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空間,因此,水上升的體積也就是8立方分米,用這個體積除以底面積〔5×4就能得到水上升的高度了。練習(xí)三1,有一個小金魚缸,長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？2,有一個正方體容器,邊長是24厘米,里面注滿了水。有一根長50厘米,橫截面是12平方厘米的長方形的鐵棒,現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？3,有一塊邊長是5厘米的正方體鐵塊,浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后,水面下降了0.5厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？例題4有一個長方體容器〔如下圖,長30厘米、寬20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊,再朝左豎起來,里面的水深應(yīng)該是多少厘米？分析首先求出水的體積：30×20×6=3600〔立方厘米。當容器豎起來以后,水流動了,但體積沒有變,這時水的形狀是一個底面積是20×10=200平方厘米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)四1,有兩個長方體水缸,甲缸長3分米,寬和高都是2分米；乙缸長4分米、寬2分米,里面的水深1.5分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸,水在甲缸里深幾分米？2,有一塊邊長2分米的正方體鐵塊,現(xiàn)把它煅造成一根長方體,這長方體的截面是一個長4厘米、寬2厘米的長方形,求它的長。3,像例題中所說,如果讓長30厘米、寬10厘米的面朝下,這時的水深又是多少厘米？例題5長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？分析長方體不同的三個面的面積分別是長×寬、長×高、寬×高得來的。因此,15×10×6=〔長×寬×高×〔長×寬×高,而15×10×6=900=30×30。所以,這個長方體的體積是30立方厘米。練習(xí)五1,一個長方體,不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,這個長方體的體積是多少立方厘米？2,一個長方體,不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且長、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個長方體的體積是多少立方厘米？3,一個長方體的體積是48立方厘米,并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這個長方體的表面積是多少平方厘米？第十五周長方體和正方體〔三專題簡析：解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題,除了要切實掌握長方體、正方體的特征,熟悉計算方法,仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外,還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分,新增加的表面積等于切面面積的兩倍。例題1一個棱長為6厘米的正方體木塊,如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊,表面積增加多少厘米？分析把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體,可以按下圖中的線共鋸6次,每鋸一次就增加兩個6×6=36平方厘米的面,鋸6次共增加36×2×6=432平方厘米的面積。因此,鋸好后表面積增加432平方厘米。練習(xí)一1,把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體,這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2,有一個棱長是1米的正方體木塊,如果把它鋸成體積相等的8個小正方體,表面積增加多少平方米？3,把一個正方體的六個面都涂上紅色,然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體,沒有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？例題2有一個正方體木塊,把它分成兩個長方體后,表面積增加了24平方厘米,這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？分析把正方體分成兩個長方體后,增加了兩個面,每個面的面積是24÷2=12平方厘米,而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是12×6=72平方厘米。練習(xí)二1,把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體,這個長方體的表面積是多少平方厘米？2,有一個正方體木塊,長4分米、寬3分米、高6分米,現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體,表面積最多增加多少平方分米？3,有三塊完全一樣的長方體積木,它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米,現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體,怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？例題3有一個正方體,棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體,這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中,每切一切,就會增加兩個3×3平方分米的面,你能用這種思路來計算所求問題嗎？練習(xí)三1,用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體,至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體,需要多少個小正方體？2,有一個長方體,長10厘米、寬6厘米、高4厘米,如果把它鋸成棱長是1厘米的小正方體,一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？3,把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體,這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？例題4一個正方體的表面涂滿了紅色,然后如下圖切開,切開的小正方體中：〔1三個面涂有紅色的有幾個？〔2二個面涂有紅色的有幾個？〔3一個面涂有紅色的有幾個？〔4六個面都沒有涂色的有幾個？分析按題中的要求切,切成的小正方體一共有3×3×3=27個。〔1三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處,共有8個；〔2二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上,共有1×12=12個；〔3一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上,共有1×6=6個；〔4六個面都沒有涂色的在大正方體的中間,有27－〔8＋12＋6=1個。練習(xí)四1,把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色,然后切成1立方厘米的小正方體,這些小正方體中,一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？2,把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體,然后在大正方體的表面涂上顏色,已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個,那么,這些小正方體一共有多少個？3,把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色,然后切成1立方分米的小正方體,在這些小正方體中,六個面都沒有涂色的有多少個？例題5一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米,若把它切割成三個體積相等的小長方體,這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？分析這個長方體原來的表面積是〔6×5＋6×4＋5×4×2=148平方厘米,每切割一刀,增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀,一共增加2×2=4個面。要求表面積和最大,應(yīng)該增加4個6×5=30平方厘米的面。所以,三個小長方體表面積和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。練習(xí)五1,有三塊完全一樣的長方體木塊,每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個大的長方體,這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2,把8個同樣大小的小正方體拼成一個大正方體,已知每個小正方體的表面積是72平方厘米,拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3,把一個長、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長方體,截成兩個長方體,使這兩個長方體的表面積的和最大,求它們的表面積和是多少平方厘米？第１６周倍數(shù)問題〔一專題簡析：倍數(shù)問題是數(shù)學(xué)競賽中的重要內(nèi)容之一,它是指已知幾個數(shù)的和或差以及這幾個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系,求這幾個數(shù)的應(yīng)用題。解答倍數(shù)問題,必須先確定一個數(shù)〔通常選用較小的數(shù)作為標準數(shù),即1倍數(shù),再根據(jù)其它幾個數(shù)與這個1倍數(shù)的關(guān)系,確定"和"或"差"相當于這樣的幾倍,最后用除法求出1倍數(shù)。例１兩根同樣長的鐵絲,第一根剪去18厘米,第二根剪去26厘米,余下的鐵絲第一根是第二根的3倍。原來兩根鐵絲各長多少厘米？分析由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米,所以剩下的鐵絲第一根就比第二根多〔3－1倍。因此,8÷〔3－1=4〔厘米。就是現(xiàn)在第二根鐵絲的長度,它原來長4＋26=30厘米。練習(xí)一1,兩個數(shù)的和是682,其中一個加數(shù)的個位是0,如果把這個0去掉,就得到另一個加數(shù)。這兩個加數(shù)各是多少？2,兩根繩子一樣長,第一根用去6.5米,第二根用去0.9米,剩下部分第二根是第一根的3倍。兩根繩子原來各長多少米？3,一筐蘋果和一筐梨的個數(shù)相同,賣掉40個蘋果和15個梨后,剩下的梨是蘋果的6倍。原來兩筐水果一共有多少個？例2甲組有圖書是乙組的3倍,若乙組給甲組6本,則甲組的圖書是乙組的5倍。原來甲組有圖書多少本？分析甲組的圖書是乙組的3倍,若乙組拿出6本,甲組相應(yīng)的也拿出6×3=18本,則甲組仍是乙組的3倍。事實上甲組不但沒有拿出18本,反而接受了乙組的6本,18＋6就正好對應(yīng)著后來乙組的〔5－3倍。因此,后來乙組有圖書〔18＋6÷〔5－3=12本,乙組原來有12＋6=18本,甲組原來有18×3=54本。練習(xí)二1,原來小明的畫片是小紅的3倍,后來二人各買了3張,這樣小明的畫片就是小紅的2倍。原來二人各有多少張畫片？2,一個書架分上、下兩層,上層的書的本數(shù)是下層的4倍。從下層拿5本放入上層后,上層的本數(shù)正好是下層的5倍。原來下層有多少本書？3,幼兒園買來的蘋果的個數(shù)是梨的3倍,吃掉10個梨和6個蘋果后,剩下的蘋果個數(shù)正好是梨的5倍。原來買來蘋果和梨共多少個？例3幼兒園買來蘋果的個數(shù)是梨的2倍。大班的同學(xué)每7人一組,每組領(lǐng)3個梨和4個蘋果,結(jié)果梨正好分完,蘋果還剩下16個。大班共有多少個同學(xué)？分析因為蘋果是梨的2倍,每組分3個梨和3×2=6個蘋果最后就一起分完。可每組分4個蘋果,少分6－4=2個,所以有8組同學(xué),全班有7×8=56人。練習(xí)三1,高年級同學(xué)植樹,共有杉樹苗和楊樹苗100棵。如果每個小組分給杉樹苗6棵,楊樹苗8棵,那么,杉樹苗正好分完,楊樹苗還剩2棵。兩種樹苗原來各有多少棵？2,高年級同學(xué)植樹,已知楊樹的棵數(shù)正好是杉樹的2倍。如果每小組分到杉樹6棵,楊樹8棵,那么,杉樹正好分完,楊樹還剩20棵。兩種樹原來各的多少棵？3,同學(xué)們帶著水果去看"敬老院"的老人,帶的蘋果是桔子的3倍。如果每位老人拿2個桔子和4個蘋果,那么,桔子正好分完,蘋果還剩下14個。同學(xué)們把水果分給了幾位老人？例4有兩筐桔子,如果從甲筐拿出8個放進乙筐,兩筐的桔子就同樣多；如果從乙筐拿出13個放到甲筐,甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙兩筐原來各有多少個桔子？分析根據(jù)"從甲筐拿出8個放進乙筐,兩筐的橘子就同樣多"可知,原來甲筐比乙筐多8×2=16個橘子；如果從乙筐拿出13個放到甲筐,這時,甲筐就比乙筐多16＋13×2=42個。因此,乙筐里還有42÷〔2－1=42個,原來乙筐里有42＋13=55個,甲筐里原來有55＋16=71個。練習(xí)四1,甲、乙兩倉存有貨物,若從甲倉取31噸放入乙倉,則兩倉所存貨物同樣多；若乙倉取14噸放入甲倉,則甲倉的貨物是乙倉的4倍。原來兩倉各存貨物多少噸？2,兄弟兩人原有同樣多的人民幣,后來哥哥買了5本書,平均每本8.4元；弟弟買了3支筆,每支筆1.2元,現(xiàn)在弟弟的錢是哥哥的3倍。兄弟兩人原來各有多少元？3,學(xué)校組織夏令營活動,如果參加的女生名額給5個男生,則男、女生人數(shù)同樣多；如果參加的男生名額給4個女生,則男生是女生人數(shù)的一半。原定夏令營中男、女生各多少人？例5甲糧庫的存糧是乙糧庫的2倍,甲糧庫每天運出糧食40噸,乙糧庫每天運出30噸。若干天后,乙糧庫的糧全部運完,而甲糧庫還有80噸。甲、乙糧庫原來各有糧食多少噸？分析因為甲糧庫的存糧是乙糧庫的2倍,如果每天乙糧庫運30噸,甲糧庫運出30×2=60噸,兩糧庫的糧食就會同時運完。而實際上甲糧庫每天只運出40噸,所以,每天就少運60－40=20噸。80噸里包含有4個20噸,也就是已經(jīng)運了4天,因此,甲糧庫原有糧食40×4＋80=240噸,乙糧庫原有240÷2=120噸。練習(xí)五1,果園里桃樹的棵數(shù)是梨樹的3倍,某農(nóng)民給這些果樹噴灑農(nóng)藥,已知他每天噴灑24棵桃樹和10棵梨樹,幾天后,梨樹全部噴灑完,而桃樹還剩下24棵。果園里有桃樹和梨樹各多少棵？2,小朋友帶著一籃桔子和蘋果送給敬老院的老人們,每個老人分各3個蘋果和5個桔子,最后蘋果分完,籃子里還剩下7個桔子。如果原來桔子的個數(shù)是蘋果的2倍,那么,分給了幾個老人？原來有多少個蘋果？3,甲、乙二人共存錢550元,當甲取出自己存款的一半,乙取出自己的70元錢時,兩人余下的錢正好相等。求甲、乙原來各存有多少錢？第１７周倍數(shù)問題〔二專題簡析：解決倍數(shù)問題的關(guān)鍵是,必須確定一個數(shù)作為標準數(shù),并根據(jù)題中的已知條件,找出其它幾個數(shù)與這個標準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,再用除法求出這個標準數(shù)。由于倍數(shù)應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系的變化,要求同學(xué)們在解題過程中注意解題技巧,靈活解題。和倍問題的數(shù)量關(guān)系是：和數(shù)÷〔倍數(shù)＋1=較小數(shù)較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)差倍問題的數(shù)量關(guān)系是：差數(shù)÷〔倍數(shù)－1=較小數(shù)較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)例1,養(yǎng)雞場的母雞只數(shù)是公雞的6倍,后來公雞和母雞各增加60只,結(jié)果母雞只數(shù)就是公雞的4倍。原來養(yǎng)雞場一共養(yǎng)了多少只雞？分析養(yǎng)雞場原來母雞的只數(shù)是公雞的6倍,如果公雞增加60只,母雞增加60×6=360只,那么,后來的母雞只數(shù)還是公雞的6倍。可實際母雞只增加了60只,比360只少300只。因此,現(xiàn)在母雞只數(shù)只有公雞的4倍,少了2倍。所以,現(xiàn)在公雞的只數(shù)是300÷2=150只,原來有公雞150－60=90只,一共養(yǎng)了90×〔1＋6=630只雞。練習(xí)一1,今年,爸爸的年齡是小明的6倍,再過4年,爸爸的年齡就是小明的4倍。今年小明多少歲？2,原來食堂里存的大米是面粉的4倍,大米和面粉各吃掉80千克,大米的重量是面粉的2倍。食堂里原來存有大米、面粉各多少千克？3,飼養(yǎng)場的白兔只數(shù)是黑兔的5倍,后來賣掉了10只黑兔,買回來20只白兔,現(xiàn)在白兔的只數(shù)是黑兔的7倍。飼養(yǎng)場原來養(yǎng)白兔和黑兔各多少只？例2有1800千克的貨物,分裝在甲、乙、丙三輛車上。已知甲車裝的千克數(shù)正好是乙車的2倍,乙車比丙車多裝200千克。甲、乙、丙三輛車各裝貨物多少千克？分析如果丙車多裝200千克,就和乙車裝的貨物同樣多,這樣三輛車裝的總重量就是1800＋200=2000千克。再把2000千克平均分成4份,就得到乙車上裝的貨物是500千克,甲車上裝500×2=1000千克,丙車上裝有500－200=300千克。練習(xí)二1,三堆貨物共1800箱,甲堆的箱數(shù)是乙堆的2倍,乙堆的箱數(shù)比丙堆少200箱。三堆貨物各多少箱？2,甲、乙、丙三數(shù)的和是224,如果甲是乙的3倍,丙是甲的4倍,求甲、乙、丙三數(shù)各是多少。3,把840本書放在書架的三層里,下層放的本數(shù)比上層的3倍多5本,中層放的本數(shù)是上層的2倍多1本。問：上、中、下三層各放書多少本？例3甲、乙兩個書架,已知甲書架有書600本,從甲書架借出三分之一,從乙書架借出四分之三后,甲書架的書是乙書架的2倍還多150本。乙書架原來有書多少本？練習(xí)三1,某校有男生630人,選出男生人數(shù)的三分之一和女生人數(shù)的四分之三去排練團體操,剩下的男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍。這個學(xué)校共有學(xué)生多少人？2,食堂存有同樣重量的大米和面粉,吃大米的四分之三和60千克面粉后,剩下的面粉的重量地大米的3倍。原來存有大米和面粉各多少千克？3,有兩堆水泥,甲堆有4.5噸,已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等,乙堆有水泥多少噸？例4A站有公共汽車26輛,B站有公共汽車30輛。每小時由A站向B站開出汽車12輛,B站向A站開出汽車8輛,都是經(jīng)過1小時到達。幾小時后B站的公共汽車輛數(shù)是A站的3倍？練習(xí)四1,甲有郵票42張,乙有郵票48張。每次甲給乙2張,而乙又給甲4張,這樣交換多少次后,甲的郵票張數(shù)是乙的2倍？2,甲倉存有大米650袋,乙倉存有大米400袋。每天從甲、乙倉各運出50袋,多少天后甲倉的大米袋數(shù)是乙倉的6倍？3,有兩杯水,一杯有水104毫升,另一杯有水24毫升,每次往兩只杯子中各倒進8毫升水,倒幾次后,一只杯中的水是另一杯的2倍？例5甲、乙、丙三數(shù)的和是78,甲數(shù)比乙數(shù)的2倍多4,乙數(shù)比丙數(shù)的3倍少2。求這三個數(shù)。練習(xí)五1,有三個小組,甲組的人數(shù)比乙組的2倍多6人,乙組的人數(shù)是丙組的2倍。三個小組一共有90人,每個小組各有多少人？2,某工廠共有工人560人,其中男工比女工的3倍少40人,男工和女工各有多少人？3,三種水果共132個,已知蘋果的個數(shù)比梨的3倍少6個,梨的個數(shù)比桔子的3倍多2個。三種水果各有多少個？第18周組合圖形面積〔一專題簡析：組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合,二是重疊組合。由于組合圖形具有條件相等的特點,往往使得問題的解決無從下手。要正確解答組合圖形的面積,應(yīng)該注意以下幾點：1,切實掌握有關(guān)簡單圖形的概念、公式,牢固建立空間觀念；2,仔細觀察,認真思考,看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；3,適當采用增加輔助線等方法幫助解題；4,采用割、補、分解、代換等方法,可將復(fù)雜問題變得簡單。例1一個等腰直角三角形,最長的邊是12厘米,這個三角形的面積是多少平方厘米？分析與解答由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米,所以,不能用三角形的面積公式來計算它的面積。我們可以假設(shè)有4個這樣的三角形,且拼成了下圖正方形。顯然,這個正方形的面積是12×12,那么,一個三角形的面積就是12×12÷4=36平方厘米。練習(xí)一1,求四邊形ABCD的面積。〔單位：厘米2,已知正方形ABCD的邊長是7厘米,求正方形EFGH的面積。3,有一個梯形,它的上底是5厘米,下底7厘米。如果只把上底增加3厘米,那么面積就增加