數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法1層次分析法簡(jiǎn)介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)70年代提出的一種決策方法。它是將半定性、半定量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定量問(wèn)題的有效途徑。它將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測(cè)事物的發(fā)展提供可的定量依據(jù)。層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評(píng)價(jià)的權(quán)重系數(shù)。層次分析法所用數(shù)學(xué)工具主要是矩陣運(yùn)算。層次分析法簡(jiǎn)介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)2層次分析法簡(jiǎn)介一、層次分析法基本原理分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問(wèn)題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸因素的相對(duì)重要性權(quán)向量綜合決策層次分析法簡(jiǎn)介一、層次分析法基本原理分解建立3第一層第二層第三層結(jié)點(diǎn)（變量）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)二、層次分析法基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型第一層第二層第三層結(jié)點(diǎn)（變量）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)4例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)目標(biāo)層準(zhǔn)則層項(xiàng)目層(指標(biāo)層)眼對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體思想道德語(yǔ)文數(shù)學(xué)……肺例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)目標(biāo)層準(zhǔn)則層項(xiàng)目層眼對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體思5二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，

…，wn，其滿足：

wi0,3、建立綜合評(píng)判函數(shù)設(shè)x1,x2,…xn為對(duì)應(yīng)各因素的決策變量，其線性組合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是綜合評(píng)判函數(shù)。二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，…6例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德語(yǔ)文數(shù)學(xué)…肺語(yǔ)文計(jì)算機(jī)0.150.1語(yǔ)文成績(jī)對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)中的權(quán)系數(shù)為：0.2×0.55=0.11例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體0.30.550.157例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對(duì)象的評(píng)分知識(shí)能力表現(xiàn)x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361語(yǔ)文知識(shí)外語(yǔ)知識(shí)政治經(jīng)濟(jì)時(shí)事知識(shí)計(jì)算機(jī)操作能力公關(guān)能力容貌與氣質(zhì)體形高矮與胖瘦音色例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對(duì)象的評(píng)分8評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評(píng)價(jià)公式即評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評(píng)價(jià)公式即9對(duì)所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分別求出綜合分為4.181，4.3，4.286，由高到低排序?yàn)橐摇⒈⒓住?duì)所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x10對(duì)權(quán)重系數(shù)的量化過(guò)程（1）成對(duì)比較從x1,x2,…xn中任取xi與xj比較它們對(duì)于y貢獻(xiàn)（重要程度）的大小，按照以下標(biāo)度給xi/xj賦值：xi/xj＝1，認(rèn)為“xi與xj重要程度相同”xi/xj＝3，認(rèn)為“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，認(rèn)為“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，認(rèn)為“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，認(rèn)為“xi比xj重要程度絕對(duì)大”當(dāng)比值為2，4，6，8時(shí)認(rèn)為介于前后中間狀態(tài)。對(duì)權(quán)重系數(shù)的量化過(guò)程（1）成對(duì)比較11（2）建立成對(duì)比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||為Aek-1的n個(gè)分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…數(shù)列｛ek｝是收斂的，記其極限為e.且記e=(a1a2…an)于是取權(quán)重系數(shù)wi=ai

（2）建立成對(duì)比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A12例：評(píng)價(jià)影視作品在電視節(jié)上評(píng)價(jià)影視作品，用以下三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：x1表示教育性x2表示藝術(shù)性x3表示娛樂(lè)性有一名專(zhuān)家經(jīng)成對(duì)賦值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：評(píng)價(jià)影視作品在電視節(jié)上評(píng)價(jià)影視作品，用以下三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：13于是得到成對(duì)比較矩陣于是得到成對(duì)比較矩陣14數(shù)學(xué)建模中的層次分析法課件15由于e4=e3,迭代經(jīng)過(guò)4次中止，權(quán)系數(shù)是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同樣的分制來(lái)給作品的三個(gè)指標(biāo)評(píng)分，由以上公式算出的便是作品綜合評(píng)分y。相應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代經(jīng)過(guò)4次中止，權(quán)系數(shù)是如果用同樣的分制162468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量2417目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2P1P3準(zhǔn)則層方案層C3C1C2C18“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層19層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)20成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致21成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱(chēng)一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱(chēng)一致陣，如A的秩為22一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非23“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)24組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第25

（2）考慮第3層對(duì)第2層由1–9尺度得（2）考慮第3層對(duì)第2層26權(quán)向量矩陣權(quán)向量矩陣27

（3）組合權(quán)向量（3）組合權(quán)向量28（4）組合一致性檢驗(yàn)（4）組合一致性檢驗(yàn)29第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.129330三.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問(wèn)題類(lèi)型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專(zhuān)家給出。三.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政31國(guó)家綜合實(shí)力國(guó)民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國(guó)工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1國(guó)家實(shí)力分析例2工作選擇通過(guò)組合一致性檢驗(yàn)國(guó)家綜合實(shí)力國(guó)民軍事科技社會(huì)對(duì)外美、俄、中、日、德等大國(guó)工作32過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過(guò)河的效益經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益環(huán)境效益節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商33過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車(chē)排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過(guò)河的代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià)環(huán)境代價(jià)社會(huì)代價(jià)投入資金C1操作維護(hù)C2沖34待評(píng)價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益C11間接經(jīng)濟(jì)效益C12社會(huì)效益C13學(xué)識(shí)水平C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)例4科技成果的綜合評(píng)價(jià)待評(píng)價(jià)的科技成果直接間接社會(huì)學(xué)識(shí)學(xué)術(shù)技術(shù)技術(shù)效益C1水平C235數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法36層次分析法簡(jiǎn)介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)70年代提出的一種決策方法。它是將半定性、半定量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定量問(wèn)題的有效途徑。它將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測(cè)事物的發(fā)展提供可的定量依據(jù)。層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評(píng)價(jià)的權(quán)重系數(shù)。層次分析法所用數(shù)學(xué)工具主要是矩陣運(yùn)算。層次分析法簡(jiǎn)介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)37層次分析法簡(jiǎn)介一、層次分析法基本原理分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問(wèn)題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸因素的相對(duì)重要性權(quán)向量綜合決策層次分析法簡(jiǎn)介一、層次分析法基本原理分解建立38第一層第二層第三層結(jié)點(diǎn)（變量）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)二、層次分析法基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型第一層第二層第三層結(jié)點(diǎn)（變量）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)39例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)目標(biāo)層準(zhǔn)則層項(xiàng)目層(指標(biāo)層)眼對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體思想道德語(yǔ)文數(shù)學(xué)……肺例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)目標(biāo)層準(zhǔn)則層項(xiàng)目層眼對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體思40二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，

…，wn，其滿足：

wi0,3、建立綜合評(píng)判函數(shù)設(shè)x1,x2,…xn為對(duì)應(yīng)各因素的決策變量，其線性組合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是綜合評(píng)判函數(shù)。二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，…41例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德語(yǔ)文數(shù)學(xué)…肺語(yǔ)文計(jì)算機(jī)0.150.1語(yǔ)文成績(jī)對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)中的權(quán)系數(shù)為：0.2×0.55=0.11例對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)德智體0.30.550.1542例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對(duì)象的評(píng)分知識(shí)能力表現(xiàn)x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361語(yǔ)文知識(shí)外語(yǔ)知識(shí)政治經(jīng)濟(jì)時(shí)事知識(shí)計(jì)算機(jī)操作能力公關(guān)能力容貌與氣質(zhì)體形高矮與胖瘦音色例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對(duì)象的評(píng)分43評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評(píng)價(jià)公式即評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評(píng)價(jià)公式即44對(duì)所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分別求出綜合分為4.181，4.3，4.286，由高到低排序?yàn)橐摇⒈⒓住?duì)所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x45對(duì)權(quán)重系數(shù)的量化過(guò)程（1）成對(duì)比較從x1,x2,…xn中任取xi與xj比較它們對(duì)于y貢獻(xiàn)（重要程度）的大小，按照以下標(biāo)度給xi/xj賦值：xi/xj＝1，認(rèn)為“xi與xj重要程度相同”xi/xj＝3，認(rèn)為“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，認(rèn)為“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，認(rèn)為“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，認(rèn)為“xi比xj重要程度絕對(duì)大”當(dāng)比值為2，4，6，8時(shí)認(rèn)為介于前后中間狀態(tài)。對(duì)權(quán)重系數(shù)的量化過(guò)程（1）成對(duì)比較46（2）建立成對(duì)比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||為Aek-1的n個(gè)分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…數(shù)列｛ek｝是收斂的，記其極限為e.且記e=(a1a2…an)于是取權(quán)重系數(shù)wi=ai

（2）建立成對(duì)比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A47例：評(píng)價(jià)影視作品在電視節(jié)上評(píng)價(jià)影視作品，用以下三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：x1表示教育性x2表示藝術(shù)性x3表示娛樂(lè)性有一名專(zhuān)家經(jīng)成對(duì)賦值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：評(píng)價(jià)影視作品在電視節(jié)上評(píng)價(jià)影視作品，用以下三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：48于是得到成對(duì)比較矩陣于是得到成對(duì)比較矩陣49數(shù)學(xué)建模中的層次分析法課件50由于e4=e3,迭代經(jīng)過(guò)4次中止，權(quán)系數(shù)是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同樣的分制來(lái)給作品的三個(gè)指標(biāo)評(píng)分，由以上公式算出的便是作品綜合評(píng)分y。相應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代經(jīng)過(guò)4次中止，權(quán)系數(shù)是如果用同樣的分制512468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量2452目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2P1P3準(zhǔn)則層方案層C3C1C2C53“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層54層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)55成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致56成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱(chēng)一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱(chēng)一致陣，如A的秩為57一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非58“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)59組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第60

（2）考慮第3層對(duì)第2層由1–9尺度得（2）考慮第3層對(duì)第2層61權(quán)向量矩陣權(quán)向量矩陣62

（3）組合權(quán)向量（3）組合權(quán)向量63（4）組合一致性檢驗(yàn)（4）組合一致性檢驗(yàn)64第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.429