高數部分高數第一章《函數、極限、連續》求極限題最常用的解題方向：1.利用等價無窮小；2.利用洛必達法則，對于蔣型和爰■型的題目直接用洛必達法則，對于°,、8"、1'型的題目則是先轉化為券型或三型，再使用洛比達法則；3.利用重要極限，包括1皿就=1、1mg)"、1也^十“”；4.夾逼定理。高數第二章《導數與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導數與微分》與前面的第一章《函數、極限、連續》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎性知識，一方面有單獨出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故非常有必要打牢基礎。對于第三章《不定積分》，陳文燈復習指南分類討論的非常全面，范圍遠大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點：不定積分= 中的積分常數C容易被忽略，而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯系以加深印象：定積分J〃x)dx的結果可以寫為f(x)+1,1指的就是那一分，把它折彎后就是J/*)公=F*)+C中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應用，解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異一一出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對于型定積分，若f(x)是奇函數則有L"'"=0：若f(x)為偶函數則有對于『八、"型積分，f(x)一般含三角函數，此時用'《J的代換是常用方法。所以解這一部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手,對于對稱區間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=-u和利用性質L奇函數=°、工偶函數=2(偶函數。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路時于證明定積分等式的題H也同樣有效。高教第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應對方法。用以下這組邏輯公式來作模型:假如有邏輯推導公式AnE、(aHb)=>C,(CnDnE)=F,由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D,求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的A=E就可能有A=H、A=*(ICK)、(AAB)=>M等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(ACB)=>M,因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但這恰恰走不通；2.對于解題必須的關鍵邏輯推導關系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的（ACB）=>C,如果不知道或弄錯則一定無法得出結論。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。針對以上分析，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉換思路，而不應該再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當我們解證明題遇到困難時，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結論簡直是風馬牛不相及的東西，長時間無法入手：好不容易找到一個大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是因為沒能夠有效地從條件中獲取信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式（CcdcE）nF再倒推想到（ACB）=>C、A=E就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發型”的證明題，那么主要靠“倒推結論”入手的“結論啟發型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現。其中的規律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區間上的連續函數，常常是只有連續性已知存在?個￡滿足某個式子介值定理（結論部分為：存在一個￡使得九“=?）零值定理（結論部分為：存在一個￡使得/B條件包括函數在閉區間上連續、在開區間上可導存在一個￡滿 足/"%=0費爾馬定理（結論部分為：=°）洛爾定理（結論部分為：存在一個￡使得幾=°）C條件包括函數在閉區間上連續、在開區間上可導存在一個￡滿 足拉格朗日中值定理（結論部分為：存在一個￡使得f，=/⑹J（￡）-b-a）柯西中值定理（結論部分為：存在一個￡使得九）二/⑹⑷g（c） ）另外還常利用構造輔助函數法，轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發現，有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時A也只多了一條“可導性”而已；所以在面對這一部分的題目時，如果把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較,會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點應該放在熟記定理的結論部分上；如果能夠做到想到介值定理時就能同時想起結論“存在一個￡使得『">=八‘、看到題目欲證結論中出現類似“存在一個￡使得九“="”的形式時也能立J3_刻想到介值定理；想到洛爾定理時就能想到式子兒＞二°;而見到式子g% 也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現的最為明顯。綜上所述，針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結論的提示作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能”。希望這些想法對你能有一點啟發。不過僅僅弄明白這些離實戰要求還差得很遠，因為在實戰中證明題難就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質甚至定理我們當時想不到；很多結論、性質和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用；這也就是自身感覺與實戰要求之間的差別。這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數學大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧，從而達到大綱的相應要求，提高實戰條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。高數第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結構簡單，陳文燈復習指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現的，也經常以大題的形式出現，一般是通過函數在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出：從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復雜。對于本章的題目，第一步應該是辨明類型，實踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對應的求解方法按部就班求解即可。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的，在大學高等數學中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識點緊密結合或是靈活轉換。這樣的知識點特點就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類型——〉套用對應方法求解”的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型都有自己對應的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規律可循——這些方法最后的目的都是統一的，就是把以各種形式出現的方程都化為f（x）dx=f（y）dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程?（X）及g⑺人⑴&0心+人⑴心⑺辦，=o,就是變形為小*=一行*,再積分求解；對于齊次方程y'=/G）則y duit—二 〃+工—做變量替換 ,,則y化為公,原方程就可化為關于"祗的可分離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程V+口（幻，=4（幻第一步先求V+p（x?=°的通解，然后將變形得到的?積分，第二步將通解中的c變為c（x）代入原方程y'+p（x）y=4"）解出c（x）后代入即可得解：對于貝努利方程y'+p*）y=q（x）y",先做變量代換z=y2代入可得到關于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因為其有條件等=黨，而且解題時直接套用通解公式r河",如)公+fN"y)dy=C所以，對于一階方程的解法有規律可循，不用死記硬背步驟和最后結果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規律。對于ys'=f(x)型方程，就是先把力”當作未知函數z,則=N’原方程就化為dz=f(x)dx的一階方程形式，積分即得；再對y”"依次做上述處理即可求解；y*=/(x，y')叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y'=p、y"=p'⑴為x的函數)將原方程化為一階方程；>"=,(乂>')叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令，'=尸(但ft_dpdy_dp ，此中的P為y的函數)，則y=^z=P彳=PP,也可化為一階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換？=""，"求解貝努利方程就用變量替換z=廣"”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y'=p、y'=P'"、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換y'=〃、y=PP'大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數中線性方程組解的結構定理非常相似，可以對比記憶：若必⑴、為(％)是齊次方程y'+p(%)y'+q(%)y=°的兩個線性無關的特解，則該齊次方程的通解為夕(x)=q%(x)+c2y2(x)若齊次方程組Ax=O的基礎解系有(n-r)個線性無關的解向量，則齊次方程組的通解為%=匕%+七為+???+%”_?"一非齊次方程v+p(x)V+鼠*》=/a)的通解為V=，必*)+c2y2(x)+%*(x),其中工(X)是非齊次方程的一個特解，4月(*)+,2乃(*)是對應齊次方程y'+p(x)y'+q(%)y=°的通解非齊次方程組Ax=b的一個通解等于Ax=b的一個特解與其導出組齊次方程Ax=O的通解之和

若非齊次方程有兩個特解%（%）%（%）,則對應齊若4、0是方程組Ax=b的兩個特解，則次方程的一個解為'（X）-X*）-內（無） （S-作）是其對應齊次方程組Ax=o的解由以上的討論可以看到，本章并不應該成為高數部分中比較難辦的章節，因為這一章如果有難點的話也僅在于“如何準確無誤地記憶各種方程類型及對應解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。高數第七章《一元微積分的應用》上限積分由 單獨分離到方程的一端形成上限積分由 單獨分離到方程的一端形成“白fWt”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。對于導數應用，有以下一些小知識點：利用導數判斷函數的單調性和研究極、最值。其中判斷函數增減性可用定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點：A.極值的定義是：對于演）的鄰域內異于的任一點都有fO）＞A%）或/⑶v”九。），注意是＞或＜而不是，或W；B,極值點包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在在處可導且在X0處取極值時才有/（*）二°。以上兩點都是實際做題中經常忘掉的地方，故有必耍加深一下印象。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理（結論部分為）、洛爾定理f-o（結論部分為）:常用到構造輔助函數法；在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數的題目，結合函數圖象會比較容易判斷。理解區分函數圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數/（*）在區間I上的/（X）＜°,則/（X）在I上是凸的；若/⑸在I上的/（X）＞°,則/（*）在I上是凹的;B.若于（，）在點/處有/⑴一°且/（o），則當'（。）

時"為極大值，當，°時"“°）為極小值。其中，A是判斷函數凸凹性的充要條件，根據導數定義，于（*）是/（，）的變化率,/（九）是/（X）的變化率。f（x）＞°可以說明函數是增函數，典型圖像是/⑶＜°可以說明函數f（X）的變化率在區間I3此時/（無）為正，且隨X變大而變小（大小關系可參a.b.此時/（X）為負,隨無變大而變小（大小關系可參考圖3）；同樣，于（龍）＞°也只有兩種對應圖像:此時/（“）為正，隨著％變大而變大;d. 此時/（%）為負，隨無變大而變大。所以，當/（無）＜°時，對應的函數圖像，是凸的;/（%）＞°時，對應的函數圖像，是凹的。所以，當/（無）＜°時，對應的函數圖像，是凸的;/（%）＞°時，對應的函數圖像，是凹的。相比之下，判斷函數極大極小值的充分條件比判斷函數凸凹性的充要條件多了“1（X）且/（無0）W°,,,這從圖像上也很容易理解：滿足f（X）＜°的圖像必是凸的，即、“/（;）=。目/"（*。）0°、“/（;）=。目/"（*。）0°時不就一定是tI-i-r的情況嗎。對于定積分的應用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應用是倍受出題老師青睞的知識點之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍,對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習才能真正體會其思想。在此結合函數圖像與對應的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型：薄桶型.y=f(x)本例求的是由平面圖型a《薄桶型.y=f(x)本例求的是由平面圖型a《xWb,O《yWf（x）繞y旋轉所形成的旋轉體體積。方法是在旋轉體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），根據微元法思想可得薄桶體積du=2R（x）dx，其中/（*）是薄桶的高2時（工）是薄桶展開變成薄板后的底面枳，dx就是薄板的厚度；二者相乘即得體枳

Tdv=17DCf(X}dX加八-rmV二o在這個例子中，體現微元本例求的是由拋物線丁二'及,=4/對 J\' 積分可得法特色的地方在于：I.雖然薄桶的高是個變化量，但卻用/（“）來表示；2.用dx表示薄桶的厚度：o在這個例子中，體現微元本例求的是由拋物線丁二'及,=4/軸旋轉形成的高H的旋轉體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個薄餅型形體，可

得微元法核心式八二乃（＞一彳）以其中乃（》一不）是薄餅的底面積，薄餅與

_2 2 2 2—.Jili丁=%旋轉面相交的圓圈成的面積是71r 丫=x、：.k=m._A2 型同理薄餅與y-旋轉面相交的圓圈成的面積是4,二者相減即得薄餅底面積。核心式中的是薄餅的高。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺，但將其視為上下等粗來求解，這一點也體現了微元法的特色。薄球型.本例求球體質量，半徑為r薄球型.本例求球體質量，半徑為r，密度〃=其中r指球內任意一點到球心的距離。方法是取球體中的一個薄球形形體，其內徑為r厚度為對于這個薄球的體積有= 持4加~是薄球表面積，dr是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。2由于很小，故可認為薄球內質量均勻，為N=r,則薄球質量dm=4勿"一，積分可得結果。本例中“用內表面的表面積4萬~乘以薄球厚度1廠得到核心式”、“將"丫內的薄球密度視為均勻”體現了微元法的特色。

通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認識。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現，因為其中些邏輯表面上并不符合常規思維，但也許這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因o關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格:求平面圖形面枳求旋轉體體積（可用微元法也可用公式）y=f(x)VX=7t繞y軸旋左圖中圖形繞入軸旋轉體的體積轉體得體積Vy=2/r\xf(x)dx通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認識。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現，因為其中些邏輯表面上并不符合常規思維，但也許這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因o關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格:求平面圖形面枳求旋轉體體積（可用微元法也可用公式）y=f(x)VX=7t繞y軸旋左圖中圖形繞入軸旋轉體的體積轉體得體積Vy=2/r\xf(x)dx左圖中圖形繞％軸旋轉體的體積Vx=7t[[疔⑶-/九切公，繞y軸旋轉體得體積Vy=2兀/x[f2(%)—力(x)]dx

已知平行截面面積求立體體積y,!：1 1!11 (bx， V=js[x)dx求平面曲線的弧長y，/=j+{y')dx高數第八章《無窮級數》本章在考研真題中最頻繁出現的題型包括“判斷級數斂散性”、“級數求和函數”和“函數的累級數展開:其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問出現，求和與展開則都是大題。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨立的章節，在考試時會出大題，而且章內包含的內容多、比較復雜。陳文燈復習指南上對相關章節的指導并不盡如人意，因為套題型的方法在這些復雜章節中不能展現其長處，故整體來說結構比較散亂。對于級數判斂部分，主要用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則運算性質。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：1.已知級數收斂，判斷級數z收斂，判斷級數z0I戶'的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式再應用比較法的一般形式即可判明。其實這種“知一判一”式的題目是有局限性的——若已知級數收斂，則所要求判斂的級數只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這一條規則可用，若待判斂級數大于已知收斂級數，則結果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數收斂，則下列級數中收斂的是（）”。2.上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數某些性質要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數建立起聯系，再應用比較法一般形式判斷。舉例aliman= Y（-L-）n的斂如下：已知單調遞減數列"滿足Xf° a>u,判斷級數冊+1的斂（」一）"<（」一）"散性。關鍵步驟是：由盤+1 0+1得到%+1 0+1 ，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。哥級數求和函數與函數的基級數展開問題是重點內容，也是每年都有的必考題。通過做歷年真題，我發現像一元函數微積分應用中的微元法、無窮級數中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識點都有一個相似之處，就是這些知識點從表面上看比較復雜、難于把握，實際上也必須通過認真思考和足量練習才能達到應有的深度，但在領會到解決方法的精髓思想以后這些知識點又會“突然”變的十分簡單。也就是說，掌握這樣的知識點門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，后面的路就是一馬平川了；同時，具有這種特點的知識點也可以提供給出題人更大的出題靈活性，而通過“找到更多便于靈活出題的知識點來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達到的目標，這一趨勢不僅體現在了近年來的考卷上，也必然是今后的出題方向。所以我們在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數這樣必出大題的章節中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點,更是要緊抓不放。因為這種知識點對“復習時間投入量”的要求接近于一個定值，認認真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終生受益”的意思，花時間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發現其大有規律可循。這種規律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區別相似公式，將出錯概率降到最小。公式如下：00=1+〃+〃-+???+〃〃+??,=S'U〃\-u //n=0(-1,1)oo=1_〃3+???+(一])〃〃〃+???=(―1)，?U，]71=0(-1,1)ln(l+w)=u-\u~ +(-1)〃喏+...=僚72=0（-00,+oo）ooe11=1+〃+ …=2號71=0（—oo,+oo）oosin”=u-^u~+…+ +…=￡（T）"tS^〃=0（-oo,+oo）00cosh=1-4tW+土〃4 +（_1）"由〃"+…=Z（T）〃卻〃=0（-oo,+oo）這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關聯，后3個相互關聯。1式是第一部分式子的基礎.]+〃+〃+...+〃〃+..?不就是一個無窮等比數列嗎，在?〃k1時的求S=和公式 J"正是函數展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發點看式子2：100式左端是1-",2式左端是1+"；I式右端是"=°,2式右端也僅僅是變成了交錯級數00Z（T）""=° ，故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的ln（l+"）與2式左端的由存在著關系“Un。+"）]一黃”，故由由的展開式00之（T）"需可以推導出EQ+“）的展開式為"=。 ?這三個式子中的"e（一口），相互之間存在著上述的清晰聯系。后3個式子的〃G（-8,+00）,相互之間的聯系主要在于公式右端展開式形式上的相似00

e"=工M性。這一部分的基本式是公式4： "=°與之相比，sin”的展開式是00 00乙I （2/1+1）! 乙1'）（2n）! u"=° ,c°S”的展開式是“=o 。一個可看成是將e展開式U中的奇數項變成交錯級數得到的，一個可看成是將e展開式中的偶數項變成交錯級數而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：sin”、cosm習慣上說“正余弦”，先正后余；而sin〃的展開式對應的是奇數項,c°s〃的展開式對應的是偶數項，習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。記好6個關鍵式是解決哥級數求和與函數的界級數展開問題的基礎，不僅在記憶上具有規律性，在解題時也大有規律可循。在已知鼎級數求和函數時，最佳途徑是根據各個公式右端的形式來選定公式：第一部分（前13式）的展開式都不帶階乘，其中只有1T的展開式不是交錯級數；第二部分（后3式）的U展開式都帶階乘，其中只有e的展開式不是交錯級數。由題目給出的基級數的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的某級數帶階乘而不是交錯級數，則應該用公式4,因為轅級數的變形變不掉階乘和'）；若題目給出的基級數不帶階乘而且是交錯級數，則必從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數的基級數展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數的累級數展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。對于數項級數求和的題目，主要方法是構造基級數法，即利用變換00 00 00〃=° ?=0 求得累級數〃=° 的和函數”J以后代入極限式即可。其中的關鍵步驟是選擇適當的龍“，一般情況下如果〃、（2〃-1）這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的X應為X的形式，如X、（2n-l）-l !———1—— n（...）% ,以方便先積分；若題目有（2"-1）、（3"+1）這樣的項，則無應為工的形

(2/1-1) (3n+l)式，如X、X,便于先求導。這些經驗在做一定量的題目后就會得到。本章最后的知識點是付立葉級數，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不愛雜，花時間掌握還是比較劃算的。函數的付立葉級數的物理意義就是諧波分析，即把一個復雜周期運動看作是若干個正余弦運動的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時有以下兩種情況：題目給出的函數至少有一個完整的周期，如圖題目給出的函數至少有一個完整的周期，如圖式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于形狀類似上圖的函數，展開以后級數中既有正弦級數也有余弦級數；若為奇函數如后只有余弦函數;數，此時得到的級數中只有正弦級數，圖像為:若要求進行若為奇函數如后只有余弦函數;數，此時得到的級數中只有正弦級數，圖像為:若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數，此時得到的展開式中只有余弦級數，圖像為高數第九章《矢量代數與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯系來復習是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯系密切也正是本章的突出特點之一。以下列出本章中前后聯系的知識點：矢量間關系在討論線線關系、線面關系中的應用。這個聯系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量x-x（）_y-y。_z—z（）關系性質知此時二矢量的數積為o,若直線方程為‘一加一〃，平面方程為Ax+'y+ +O=0,piij^Al+Bm+Cn=0q同理可對線面、線線、面面關系進行判定。數枳定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯系。數積定義式—>—>->f->-> COS0=?°卜為。b=1。IIbIcos。，故有㈤⑸,這個式子是所有線線、線面、面面夾7. _y-y}_z-z]o1,/Z-Z2

〃2角公式的源公式。舉例來說，設直線I1Z-Z2

〃2Q_ "2+加1嗎+〃1〃2則二直線夾角一面+*〃”崔+屁+卜T->其中a、〃分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就亶線是線面夾角公式中不是cos6=??.而是sine=?一，因為如右圖所示亶線由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角°是兩矢量夾角°’的余角，即夕+。'=9°°,故求夾角公式的左端是sin°。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。平面方程各形式間的相互聯系。平面方程的一般式、點法式、三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式A（xf）+B（yf）+C（-Zo）=O（點（%,%,%）為平面上已知點,｛ASC｝為法矢量）可變形為幾十By+Cz-⑷。+為。+。）=0,符合般式4*+6，+。2+。=°的形式；截距式十+了+%=1（Q，"c為平面在三個坐標軸上的截距）可變形為限~acy+血-abc=0,也符合一般式的形式。這樣的轉化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經出現過）。同樣,直線方程各形式之間也有類似聯系，直線方程的參數形式和標準式之間可以相互轉化。x=x0+lt\y=y0+mt直線方程的參數形式〔'一[°十〃'（（'°'為"°）是平面上已知點，犯"｝為mZ-Q=t x-xQ_y-y0_z-z0方向矢量）可變形為〔n,即為標準式1機〃；標準式X-Xo二=Z-Zo x-Xo二y一%=z-z（）=,mn若變形為1mn 則也可以轉化為參數形式。這個轉化在歷年真題中應用過不止一次。空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準線方程之間的區別與聯系。關于這些方程的基礎性知識包括：'（x’y'z）二°表示的是一個空間曲面；由于空F^x,y,z）=O<F?（%,y,z）=0間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為l2、，；柱2 2xy2,2_p2 ~~ ~~]面方程如圓柱面X+y=K、橢圓柱面b可視為是二元函數/(無,y)二°在三維坐標系中的形式。[f(x,y)=OIz=0在這些基礎上分析，柱面方程的準線方程如〔 可視為是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標平面Z二°相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準線方程其實是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標平面相交得到的，所以也產Cr,y,z)=O|(x,y,z)=0就是圖中的柱面準線。在由空間曲線方程i2J 求投影方程時，需要先從方程組中消去z得到一個母線平行于z軸的柱面方程；；再與z二°聯立即可得投影方程J/(x,y,z)=。[z=0

高數第十章《多元函數微分學》愛習本章內容時可以先將多元函數各知識點與一元函數對應部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區別開以避免混清，又可以通過與―元函數的對比來促進對二元函數某些地方的理解。木章主要內容可以整理成一個大表格：二元函數的定義（略）相似一元函數的定義（略）二元函數的連續性及極限：二元函數的極限要求點以任何方向、任何路徑趨向尸區）‘兒）時均仃/（*，,）一^a如果沿不同路徑的limf（x,y） lim f（x,y）x—>x0 x—>x0y-y。 不相等，則可斷定y-y。不存在。不l"J一元函數的連續性及極限：一元函數的極限與路徑無關，由等價式lim/（x）-A=￡（%）=/+（%）=4即可判斷。二元函數”=在點尸（“。'打）處連續XfXo性判斷條件為：yf% 存在且等于/（■Wo）相似一元函數，=/（九）在點x0處連續性limf（x）x->x0判斷條件為 且等于二元函數的偏導數定義二元函數"=/（*’田的偏導數定義1加J=]1m以北空處正迎心一°Ax"to Ar分段函數在分界點處求偏導數要用偏導數的定義III似一元函數的導數定義一元函數）=/（*）的導數定義：Ay /（x0+Ax）-/（x0）lim—=lim -Ax Ax分段函數在分界點處求導數需要用導數定義二元函數的全微分：簡化定義為：對于函數％=/（x'y）,若其在點尸（與，先）處的增量Az可表示為相似一元函數的全微分：簡化定義為：若函數、=/（，）在點工處的增量Ay可表示為

Az=AAx+BAy+o(p)其中o(p)為Ay=A\x+d“ide1AxgJ ,其中"是a的身。的高階無窮小，則函數"及》)在戶(*0，＞0)處可微，全微分為階無窮小，則函數在該點可微，即dy=AAx般^.dy=f'(x)dx^,dz=^dx+fdy二元函數可微、可導、連續三角關系圖連續 可導不二元函數可微、可導、連續三角關系圖連續 一可導可R /同可鼠//多元函數的全導歙、 /設［= w)U=g(t)v=h(t)不同一元函數沒不能導數/為個概念，但是左邊多元函數的總導數｝卻可以從''一元復合函數”的角度理解。一元復合函數是指卬二及⑴且都可導，則z對力的全導數y=/(?)、u=g(x)時有dzdfdudfdvdfdwdy_dydu? — 1 1dtdudtdvdtdwdtdxdudxo與左邊的多元函數全導數公式比較就可以將二式統一起來。多元復合函數微分法復合函數求導公式：設z=/("'匕卬)、一元復合函數求導公式如上格所示，與多元復合函數求導公式相似，只需分清式子中dzdzU=j(x,y) v=h(x,y)、、dx