課程信息年級初一學科數學］版本北京實驗版內容標題寒假專題-數軸與有理數編稿老師祁英【本講教育信息】教學內容:寒假專題一一數軸與有理數（一）了解數軸上的點與有理數的關系；理解相反數、絕對值的幾何意義（二）建立數軸上的某些點與有理數的一一對應關系，樹立數形結合的思想意識（三）通過數軸上的某些點與有理數的一一對應關系，掌握一些特殊有理數的性質，弄清相反數與絕對值的性質與求法的幾何意義；（四）能夠利用數軸比較有理數的大小，解決一些有關相反數、絕對值的復雜問題。二、重點、難點：（一）重點1、樹立數形結合的意識，能夠利用數軸描述有理數的有關概念和運算；2、能夠利用數軸進行有理數大小的比較；3、能夠利用數軸解決有關相反數與絕對值的一些問題。（二）難點1、有理數運算法則的理解；2、利用相反數與絕對值的幾何意義解題。課堂教學（一）知識要點1、利用數軸上的點表示有理數通過具有原點、正方向和單位長度的直線建立數軸，從而使所有有理數在數軸上都能找到它們的對應點，這樣把有理數的一些問題直觀形象化，達到快速、有效解決問題的目的。例如：有理數的分類，原點右側的點表示有理數為正有理數，左側的點表示的有理數為負有理數，通過數軸可直觀反映出正、負有理數所在的范圍。-3-2-1012345原點右邊的點表示的數比0大，所以正數通常表示為a-0，類似的有負數表示為a.■非負數表示為a一0,非正數表示為a<0。再如，一些特殊的有理數可由數軸直接觀察到。最小的正整數為1,最大的負整數為-1，沒有最大或最小的有理數，最小的自然數為0等。如：大于-3且小于2的整數有：-2、-1、0、1。2、相反數與絕對值的幾何定義引入數軸后，使抽象的數變成了具體的點，為我們的研究和應用帶來了極大的方便。在數軸上原點的兩旁離開原點距離相等的兩個點所表示的數叫做互為相反數（注：0的相反數為°），由此在數軸上可直接觀察到-3的相反數為3；a的相反數為-瓦相反數為本身的數只有°。-5-4-3-2-1012一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a，觀察可知5=5,0=0。正數的絕對值等于其本身，負數的絕對值為它的相反數。aa■總結得到：a=*0a=0-aay0可知：任何一個數的絕對值總是非負數，即la_°。絕對值為本身的數為非負數；絕對值最小的數是0。從數軸上觀察可知，絕對值為一個正數的有兩個，如a|=2，則a=±2。注意：從數軸上正負兩個方向考慮。絕對值不小于5的整數有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5；距離-3兩個單位長度的點有兩個：-1、-5。a二^有兩種可能，即a=b或a二-b（即a、b互為相反數）。3、利用數軸比較有理數的大小由于數軸的某些點與有理數是一一對應關系，即所有的有理數都可以在數軸上找到一個點與之相對應，而數軸上的點表示的數，右邊表示的數比左邊的大，因此，可以直觀準確地比較數的大小，女口02、-2-1、一-—±O233■■■■■■■■一M--MMM-2-1--012

2注意：進行數的比較時，可考慮這些數的對應點在數軸上的位置，再寫出其大小關系。觀察cb0a可知cb0a，c、b為負數，a為正數。數軸上表示有理數的點的位置決定了正數大于一切負數，負數都小于零。而兩個負數比較，表示負數的點離原點越遠則越靠左，因而越小。由此得到兩個負數比較大小的法則：兩個負數相比較，絕對值越大反而該數小。4、有理數的加減運算有理數的加減法運算結果可以通過數軸直接得到。-3+5可以理解為從表示-3的點向正方向移動5個單位長度，其結果為2o3-5可以理解為從表示3的點向負方向移動5個單位長度，其結果為-2。可以得知：a3一定比a大。【典型例題】例1.在數軸上表示下列各數，再按大小順序用“>”連接起來。

分析：在畫數軸時，原點、單位長度、正方向不能少；個單位的點。解：-1上是在原點左側距離原點122—4-3-2-10112.5—1—0—-1—-14-1上是在原點左側距離原點1222例2.有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡下式。c0ba求.c—a—a—b—c分析：由數軸觀察可知c0ba,a、b為正數，c為負數則c-a為較小數減去較大數，結果為負數；而負數的絕對值為其相反數，因此有c-a=-(c-a)=-c+a；a-b為較大數減去較小數，結果為正數，而正數的絕對值等于其本身，于是有a-b=a—b；c為負數，因此有c=-co解.c—a—a-b-c--ca_(a_b)_(-c)例3.判斷若aA|b，則aab()分析：a的絕對值大于b的絕對值，是指表示的a點比表示b的點距離原點遠，但在數軸上可以看到，可以分別從正負兩個方向取得到原點距離某一單位長度的點，若正負不能確定，不能得到a、b大小關系的結論。對于判斷題還可以采用舉反例的方法，即舉出一個符合條件卻不滿足結論的例子，即可以判斷其為錯誤。例如a=—7，b=—2，則a訂匕，但是ayb；同時，若aab，也不能判斷aAb。若a=—1，b=—2，aab，但是a~bo解：(x)例4.若aAb,aA°,bY°，把a、b、—a、—b按由小到大的順序排列。分析：按照所給條件將在數軸上對應點的位置找出來，就可以比較大小了。利用數軸把抽象的字胃直觀形象化是解決這類問題的好方法。解：由a'0,b0可知，a為正數，b為負數，a、b的對應點分別在原點的右邊和左邊；由aYb可知，表示a的點比表示b的點距離原點近，首先確定a、b的位置，而表示-a、-b的點分別與表示a、b的點到原點的距離相等，而在原點的另一側，可以得到-a、-b的位置。可以得到表示的a、b、-a、-b點在數軸上的位因此由小到大的順序排列為b<_a<a<「bo例5.如果a=3,b=4且ayb,求a、b的值。分析：a=3從正負兩個方向考慮，a有兩個可能，即a二3；同理，b=4。利用ab,即表示a的點在表示b的點的左側。(可以標在數軸上觀察)。baab——■—■—■—.—.—*—.?■—■"-4-32T0~1~2"3"4解：》a=3b=4.a=3或-3,b=4或-4ab.a=-3,b=4或a=3,b=4例6.(1)X-4=0,那么X=x=x,那么x=x=—x,那么x=分析：(1)絕對值為0的數只有0,即x-4=0正數的絕對值為本身，但是零的絕對值為零，也可以說零的絕對值為本身；負數與零的絕對值都是其相反數；解：(1)x=4x是非負數x是非正數例7.已知-ba-ab則①ab-0②a-b0③-2a-0④-ab0錯誤的有分析：觀察可以得知a0b,a為絕對值較小的負數，b為絕對值較大的正數，可分別畫出表示-a>—b的點。則①a+ba0:②a—b可以看作a+(—b)為兩個負數相加，a—b=a+(—b)y0；③a為負數，所以-'2a=-2a'0；q—a■b為兩個正數相加，—ab'0o解：④小結：1、初步樹立數形結合的思想意識2、理解相反數、絕對值的幾何意義3、會利用數軸進行相反數絕對值有關問題的分析；利用相反數、絕對值幾何定義解決問題，深入理解相反數、絕對值的性質；4、能夠利用數軸比較有理數大小。【模擬試題】（答題時間：50分鐘）「、填空1在數軸上表示-2—的點在表示-3—的點的2邊,-2-比—3（填大小）。2、3、絕對值最小的數是，最大的負整數是_在數軸上，表示a的點A在表示b的點B的左邊，B兩點的距離可以表示8、數軸上距離原點3個單位長度的數是絕對值小于4的整數之積為如果a是非正數，則a=比較大小（1）-0但55⑶一610、a-0，則at（（填>或.yV)t〉二、選擇正確的個數是（1、在下列關于0的說法中①0既不是正數也不是負數；②0是整數也是有理數；③0沒有倒數；④0沒有相反數D.4A.1B.2C.3正確的個數是（D.422、下列說法中正確的是（A.a表示正數C.任何數都有倒數3、如圖）B.|a一定大于0D.a-3一定比a大下列各式正確的是A.-c'a'bB.b--c-aC.|c—b「-aD.b下列各式正確的是A.-c'a'b4、在數軸上有A、B兩點對應的有理數A.aabA■比a0bB.a?bC.-aY—bD.b一a，下列不等式關A、B、C三點對應的有理數是a、b、^且有a=ca、b的大小關系中正確的是5、如圖，在數軸上有系中錯誤的是（A.ab0B.ab—c7C.-bc■0>”號連接。2、一（一5>”號連接。2、一（一5）、2-5,1一1、0、「1—、<”號連接。四、已知有理數a、b、c,試比較a、-a、b、-b、c、-c的大小，并用〃abt)五、已知A、B如圖所示，-1a01b<”號連接。茨學的三個條件是:爹觀察.粵吃