第2課時分段函數及映射學習目標1.理解分段函數的定義，并能解決簡單的分段函數問題(重點).2.了解映射的概念以及它與函數的聯系與區別(難點)．預習教材P21－P22，完成下面問題：知識點1分段函數分段函數的定義：(1)前提：在函數的定義域內；(2)條件：在自變量x的不同取值范圍內，有著不同的對應關系；(3)結論：這樣的函數稱為分段函數．【預習評價】已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，x≥0,2x＋3，x<0))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________.解析由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)－3＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1.答案－2－1知識點2映射映射的定義：【預習評價】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數是特殊的映射．()(2)在映射的定義中，對于集合B中的任意一個元素在集合A中都有一個元素與之對應．()(3)按照一定的對應關系，從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個映射．()提示(1)√根據映射的定義，當映射中的集合是非空數集時，該映射就是函數，否則不是函數；(2)×映射可以是“多對一”，但不可以是“一對多”；(3)×從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個映射．題型一映射的概念及應用【例1】(1)下列對應是集合A到集合B上的映射的是()A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3|B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)xC．A＝Z，B＝Q，f：x→eq\f(3,x)D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根(2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)對應到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求：①A中元素(－1,2)在f作用下與之對應的B中的元素．②在映射f作用下，B中元素(1,1)對應A中的元素．(1)解析對于選項A，由于A中的元素3在對應關系f的作用下與3的差的絕對值在B中找不到象，所以不是映射；對于選項B，對任意的正整數x，在集合B中有唯一的1或－1與之對應，符合映射的定義；對于選項C,0在f下無意義，所以不是映射；對于選項D，正整數在實數集R中有兩個平方根(互為相反數)與之對應，不滿足映射的定義，故該對應不是映射．答案B(2)解①由題意可知當x＝－1，y＝2時，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下與之對應的B中的元素是(－6,1)．②設在映射f作用下，B中元素(1,1)對應A中的元素為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋1＝1，,4x＋3y－1＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,17),y＝\f(6,17)))，即A中的元素為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,17)，\f(6,17))).規律方法1.判斷一個對應是不是映射的兩個關鍵(1)對于A中的任意一個元素，在B中是否有元素與之對應．(2)B中的對應元素是不是唯一的．2．求對應元素的兩種類型及處理思路(映射f：A→B)(1)若已知A中的元素a，求B中與之對應的元素b，這時只要將元素a代入對應關系f求解即可．(2)若已知B中的元素b，求A中與之對應的元素a，這時構造方程(組)進行求解即可，需注意解得的結果可能有多個．【訓練1】下列各個對應中，構成映射的是()解析對于A，集合M中元素2在集合N中無元素與之對應，對于C，D，均有M中的一個元素與集合N中的兩個元素對應，不符合映射的定義，故選B．答案B典例遷移題型二分段函數求值問題【例2】已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,3x＋5，－2<x<2，,2x－1，x≥2，))求f(－5)，f(1)，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2))))).解由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋5＝eq\f(1,2).【遷移1】(變換所求)例2條件不變，若f(a)＝3，求實數a的值．解當a≤－2時，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去；當－2<a<2時，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－eq\f(2,3)∈(－2,2)，符合題意；當a≥2時，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，綜上可得，當f(a)＝3時，a的值為－eq\f(2,3)或2.【遷移2】(變換所求)例2的條件不變，若f(x)>2x，求x的取值范圍．解當x≤－2時，f(x)>2x可化為x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；當－2<x<2時，f(x)>2x可化為3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2；當x≥2時，f(x)>2x可化為2x－1>2x，則x∈?.綜上可得，x的取值范圍是{x|x<2}．規律方法1.求分段函數函數值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區間．(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值．2．由分段函數的函數值求自變量的方法已知分段函數的函數值求對應的自變量的值，可分段利用函數解析式求得自變量的值，但應注意檢驗函數解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數值的范圍，確定解析式再求解．【訓練2】函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,2x，x>2.))若f(x0)＝8，則x0＝________.解析當x0≤2時，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)．當x0>2時，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.綜上，x0＝－eq\r(6)或x0＝4.答案－eq\r(6)或4題型三分段函數的圖象及應用【例3】(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為________．(2)已知函數f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．①用分段函數的形式表示函數f(x)；②畫出函數f(x)的圖象；③寫出函數f(x)的值域．(1)解析當0≤x≤1時，f(x)＝－1；當1<x≤2時，設f(x)＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝－1，,2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－2，))此時f(x)＝x－2.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x≤1，,x－2，1<x≤2.))答案f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x≤1，,x－2，1<x≤2.))(2)解①當0≤x≤2時，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當－2<x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))②函數f(x)的圖象如圖所示．③由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．規律方法1.由分段函數的圖象確定函數解析式的步驟(1)定類型：根據自變量在不同范圍內圖象的特點，先確定函數的類型．(2)設函數式：設出函數的解析式．(3)列方程(組)：根據圖象中的已知點，列出方程或方程組，求出該段內的解析式．(4)下結論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍．2．作分段函數圖象的注意點作分段函數的圖象時，定義域分界點處的函數取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接，特別注意端點處是實心點還是空心點．【訓練3】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≤x≤1，,1x＞1或x＜－1，))(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的值域．解(1)利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示．(2)由條件知，函數f(x)的定義域為R.由圖象知，當－1≤x≤1時，f(x)＝x2的值域為[0,1]，當x＞1或x＜－1時，f(x)＝1，所以f(x)的值域為[0,1]．課堂達標1．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2＋1)，x<2，,\r(x－2)，x≥2，))則f(0)＝()A．2 B．eq\r(2) C．1 D．0解析因為0∈(－∞，2)，所以f(0)＝eq\f(1,02＋1)＝1.答案C2．下列圖形是函數y＝x|x|的圖象的是()解析y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))故選D．答案D3．如圖中所示的對應：其中構成映射的個數為()A．3 B．4 C．5 D．解析由映射的定義知①②③是映射．答案A4．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0,x2，x>0))，若f(a)＝4，則實數a＝________.解析當a≤0時，f(a)＝－a＝4，即a＝－4；當a>0時，f(a)＝a2＝4，a＝2(a＝－2舍去)，故a＝－4或a＝2.答案－4或25．作出y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7，x∈－∞，－2]，,2x－3，x∈－2，5]，,7，x∈5，＋∞))的圖象，并求y的值域．解y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7，x∈－∞，－2]，,2x－3，x∈－2，5]，,7，x∈5，＋∞.))值