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文檔簡介
2023高考數學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數,,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.2.已知是定義在上的奇函數,且當時,.若,則的解集是()A. B.C. D.3.關于函數在區間的單調性,下列敘述正確的是()A.單調遞增 B.單調遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減4.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.5.設,是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.6.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙7.已知集合,,則()A. B.C.或 D.8.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β9.已知奇函數是上的減函數,若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.410.若兩個非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.11.復數的虛部是()A. B. C. D.12.已知數列是以1為首項,2為公差的等差數列,是以1為首項,2為公比的等比數列,設,,則當時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____.14.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點,且,P為BE上一點,且滿足,則的最小值為______.15.的展開式中的系數為________.16.已知函數,令,,若,表示不超過實數的最大整數,記數列的前項和為,則_________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓M:及定點,點A是圓M上的動點,點B在上,點G在上,且滿足,,點G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點,與直線和分別交于P、Q兩點.當時,求(O為坐標原點)面積的取值范圍.18.(12分)如圖,在底面邊長為1,側棱長為2的正四棱柱中,P是側棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數m,都有,并證明你的結論.19.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin20.(12分)在平面直角坐標系中,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ,直線l的參數方程為(t為參數,α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點,求角α的大小.21.(12分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點M、N分別是、的中點,且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.22.(10分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側面為平行四邊形,側面為正方形,,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【答案解析】
先判斷函數在時的單調性,可以判斷出函數是奇函數,利用奇函數的性質可以得到,比較三個數的大小,然后根據函數在時的單調性,比較出三個數的大小.【題目詳解】當時,,函數在時,是增函數.因為,所以函數是奇函數,所以有,因為,函數在時,是增函數,所以,故本題選D.【答案點睛】本題考查了利用函數的單調性判斷函數值大小問題,判斷出函數的奇偶性、單調性是解題的關鍵.2.B【答案解析】
利用函數奇偶性可求得在時的解析式和,進而構造出不等式求得結果.【題目詳解】為定義在上的奇函數,.當時,,,為奇函數,,由得:或;綜上所述:若,則的解集為.故選:.【答案點睛】本題考查函數奇偶性的應用,涉及到利用函數奇偶性求解對稱區間的解析式;易錯點是忽略奇函數在處有意義時,的情況.3.C【答案解析】
先用誘導公式得,再根據函數圖像平移的方法求解即可.【題目詳解】函數的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【答案點睛】本題考查三角函數的平移與單調性的求解.屬于基礎題.4.B【答案解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結合三視圖求出每個面的面積即可.【題目詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【答案點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.5.D【答案解析】
畫出,,根據向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數形結合可得結果.【題目詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當,即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【答案點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎題.6.A【答案解析】
利用逐一驗證的方法進行求解.【題目詳解】若甲預測正確,則乙、丙預測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預測正確,則丙預測也正確,不符合題意;若丙預測正確,則甲必預測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預測正確,不符合題意,故選A.【答案點睛】本題將數學知識與時政結合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.7.D【答案解析】
首先求出集合,再根據補集的定義計算可得;【題目詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【答案點睛】本題考查補集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎題.8.B【答案解析】
根據線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據面面平行的性質判斷D選項的正確性.【題目詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【答案點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷,屬于基礎題.9.B【答案解析】
根據函數的奇偶性和單調性得到可行域,畫出可行域和目標函數,根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【題目詳解】奇函數是上的減函數,則,且,畫出可行域和目標函數,,即,表示直線與軸截距的相反數,根據平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【答案點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性,線性規劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.10.A【答案解析】
設平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數量積的運算律可求得的值,即為所求.【題目詳解】設平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【答案點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數量積的運算性質的應用,考查計算能力,屬于中等題.11.C【答案解析】因為,所以的虛部是,故選C.12.B【答案解析】
根據題意計算,,,解不等式得到答案.【題目詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數列,∴.∴.∵,∴,解得.則當時,的最大值是9.故選:.【答案點睛】本題考查了等差數列,等比數列,f分組求和,意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2.【答案解析】
由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點,利用點到直線的距離公式求解即可.【題目詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為:本題正確結果:【答案點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質,涉及到點到直線距離公式的考查,屬于基礎題.14.【答案解析】試題分析:根據題意有,因為三點共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點:向量的運算,基本不等式.【方法點睛】該題考查的是有關應用基本不等式求最值的問題,屬于中檔題目,在解題的過程中,關鍵步驟在于對題中條件的轉化,根據三點共線,結合向量的性質可知,從而等價于已知兩個正數的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題,兩式乘積,最后應用基本不等式求得結果,最后再加,得出最后的答案.15.80.【答案解析】
只需找到展開式中的項的系數即可.【題目詳解】展開式的通項為,令,則,故的展開式中的系數為80.故答案為:80.【答案點睛】本題考查二項式定理的應用,涉及到展開式中的特殊項系數,考查學生的計算能力,是一道容易題.16.4【答案解析】
根據導數的運算,結合數列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數的定義,即可求解.【題目詳解】由題意,函數,且,,可得,,又由,可得為常數列,且,數列表示首項為4,公差為2的等差數列,所以,其中數列滿足,所以,所以,又由,可得數列的前n項和為,數列的前n項和為,所以數列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數的最大整數,所以.故答案為:4.【答案點睛】本題主要考查了函數的導數的計算,以及等差數列的通項公式,累加法求解數列的通項公式,以及裂項法求數列的和的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【答案解析】
(1)根據題意得到GB是線段的中垂線,從而為定值,根據橢圓定義可知點G的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,即可求出曲線C的方程;(2)聯立直線方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.【題目詳解】(1)為的中點,且是線段的中垂線,,又,∴點G的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,設橢圓方程為(),則,,,所以曲線C的方程為.(2)設直線l:(),由消去y,可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,所以,.①又由可得;同理可得.由原點O到直線的距離為和,可得.②將①代入②得,當時,,綜上,面積的取值范圍是.【答案點睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題,軌跡通過已知條件找到幾何關系從而判斷軌跡,直線與曲線相交一般聯立設而不求韋達定理進行求解即可,屬于一般性題目.18.(1);(2)存在,Q為線段中點【答案解析】
解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大小;(2)證明平面,故而可得當Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標系:(1)由,利用空間向量的數量積可求線面角;(2)設上存在一定點Q,設此點的橫坐標為,可得,由向量垂直,數量積等于零即可求解.【題目詳解】(1)解法一:連接交于,設與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點,,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當Q為線段中點時,對于任意的實數,都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設直線AP與平面所成角為,則,故當時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點Q,設此點的橫坐標為,則,,依題意,對于任意的實數要使,等價于,即,解得,即當Q為線段中點時,對于任意的實數,都有.【答案點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應用,屬于中檔題.19.(1)b=32【答案解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示,再根據正弦定理可以將sinAsinC轉化為ac,于是可以求出b的值;(2)首先根據sinB+3cosB=2求出角B的值,根據第(1)問得到的b值,可以運用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R,于是可以將a+c轉化為2RsinA+2R試題解析:(1)由cosB應用余弦定理,可得a2化簡得2b=3則b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因為b=32得34又因為ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關系定理可知綜上a+c∈(考點:1.正、余弦定理;2.正弦型函數求值域;3.重要不等式的應用.20.(1)當時,直線l方程為x=-1;當時,直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【答案解析】
(1)對直線l的傾斜角分類討論,消去參數即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標方程;(2)將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程,根據條件Δ=0,即可求解.【題目詳解】(1)當時,直線l的普通方程為x=-1;當時,消去參數得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標
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