向量知識點的歸納一、知識梳理：（1）本章要點梳理：1、向量加法的幾何意義：起點相同時適用平行四邊形法則（對角線），首尾相接適用“蛇形法則”，特別注意：SKIPIF1<0表示△ABC的邊BC的中線向量。向量減法的幾何意義：起點相同適用三角形法則，（終點連結而成的向量，指向被減向量），SKIPIF1<0表示A、B兩點間的距離；以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別表示向量SKIPIF1<0+SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）。————————————————————————————————————————2、理解單位向量、平行向量、垂直向量的意義。與非零向量SKIPIF1<0同向的單位向量SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0的單位向量。而SKIPIF1<0都與SKIPIF1<0共線（與SKIPIF1<0反向的單位向量為-SKIPIF1<0）。——————————————————————————————————————3、兩向量所成的角指的是兩向量方向所成的角；兩向量數量積SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0可視為向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影。4、向量運算中特別注意SKIPIF1<0的應用。研究向量的模常常先轉化為模平方再進行向量運算。另外，有關向量的運算也可以利用數形結合的方法來求解，有些題目就可以由作圖得解。5、向量的坐標運算是高考中的熱點內容，向量的坐標形式實質上是其分解形式SKIPIF1<0的“簡記”。其中SKIPIF1<0分別表示與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸正方向同向的單位向量。6、利用向量求角時，要注意范圍。兩向量所成角的范圍是SKIPIF1<0。特別注意：SKIPIF1<0不能等同于SKIPIF1<0所成角是銳角，因為當SKIPIF1<0同向時也滿足SKIPIF1<0；同樣的道理，SKIPIF1<0不能等同于SKIPIF1<0所成角是鈍角，因為當SKIPIF1<0反向時也滿足SKIPIF1<0。［例］SKIPIF1<0是過拋物線SKIPIF1<0焦點的直線，它與拋物線交于A、B兩點，O是坐標原點，則△ABO是（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關.分析：由直線SKIPIF1<0過焦點SKIPIF1<0，設其方程為SKIPIF1<0，聯立得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定是鈍角.選C.7.直線l的向量參數方程式：A、P、B三點共線則SKIPIF1<08.關注向量運算與三角函數綜合是高考中的常見題型.［例］已知向量SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若函數SKIPIF1<0的圖像按向量SKIPIF1<0平移后得到函數SKIPIF1<0的圖像，求實數SKIPIF1<0的值.解析：（1）SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0.（2）函數SKIPIF1<0是由函數SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0，再把所得圖像向上平移1個單位而得，所以SKIPIF1<0.二、易錯、易混、易忘點梳理：【易錯點1】涉及向量的有關概念、運算律的理解與應用，易產生概念性錯誤。例1.下列命題：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③ |SKIPIF1<0·SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|·|SKIPIF1<0|④若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則存在唯一實數λ，使SKIPIF1<0⑥若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⑦設SKIPIF1<0是平面內兩向量，則對于平面內任何一向量SKIPIF1<0，都存在唯一一組實數x、y，使SKIPIF1<0成立。⑧若|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|則SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0。⑨SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。其中真命題的個數為（） A．1 B．2 解析：①正確。根據向量模的計算SKIPIF1<0判斷。②錯誤，向量的數量積的運算不滿足交換律,這是因為根據數量積和數乘的定義SKIPIF1<0表示和向量SKIPIF1<0共線的向量，同理SKIPIF1<0表示和向量SKIPIF1<0共線的向量，顯然向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0不一定是共線向量，故SKIPIF1<0不一定成立。③錯誤。應為SKIPIF1<0④錯誤。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有傳遞性。⑤錯誤。應加條件“非零向量SKIPIF1<0”。⑥錯誤。向量不滿足消去律。根據數量的幾何意義，只需向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數多個。⑦錯誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量SKIPIF1<0是不共線的向量即一組基底。⑧正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0。⑨錯誤。只需兩向量垂直即可。答案：B【知識點歸類點拔】在利用向量的有關概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據向量的運算律解答，要明確向量的運算和實數的運算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實數λ，則向量的數量積滿足下列運算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ(交換律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）(數乘結合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с(分配律)說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）有如下常用性質：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２【練習】設a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b·c）a－（c·a）b不與c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命題的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D【易錯點2】利用向量的加法、減法、數量積等運算的幾何意義解題時，數形結合的意識不夠，忽視隱含條件。例2.四邊形ABCD中，SKIPIF1<0＝ａ，SKIPIF1<0＝ｂ，SKIPIF1<0＝с，SKIPIF1<0＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?【易錯點分析】四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量，易忽視如下兩點：（1）在四邊形中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系。解：四邊形ABCD是矩形，這是因為一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等∴四邊形ABCD是平行四邊形.另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。綜上所述，四邊形ABCD是矩形.【知識點歸類點拔】向量是高考的一個亮點，因為向量知識，向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視。基于這一點解決向量有關問題時要樹立起數形結合，以形助數的解題思路。例如很多重要結論都可用這種思想直觀得到：（1）向量形式的平行四邊形定理：2（｜SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0+｜SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0）=｜SKIPIF1<0－SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0+｜SKIPIF1<0+SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0（2）向量形式的三角形不等式：｜｜SKIPIF1<0｜-｜SKIPIF1<0｜｜≤｜SKIPIF1<0±SKIPIF1<0｜≤｜SKIPIF1<0｜+｜SKIPIF1<0｜(試問：取等號的條件是什么?)等有用的結論。【練習】（1）點O是SKIPIF1<0所在平面內的一點，滿足SKIPIF1<0，則點O是SKIPIF1<0的（）（A）三個內角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點 （D）三條高的交點（2）SKIPIF1<0的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，SKIPIF1<0，則實數m=答案：（1）D（2）m=1【易錯點3】忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。例3.已知SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.(答案:-20)【知識點歸類點拔】高中階段涉及角的概念不少,在學習過程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是SKIPIF1<0，兩向量的夾角的范圍是SKIPIF1<0，注意向量的夾角是否為三角形內角。【易錯點4】向量數積性質的應用。例4.已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。解析：本題應依據兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。答案：60°。【知識點歸類點拔】利用向量的數量積的重要性質結合向量的坐標運算可解決涉及長度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數等問題，要熟記并靈活應用如下性質：設ａ與ｂ都是非零向量，①ａ與ｂ的數量積的幾何意義是向量ａ在向量ｂ方向的單位向量正射影的數量②ａ⊥ｂSKIPIF1<0ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝SKIPIF1<0④ｃｏｓθ＝SKIPIF1<0⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜【練習】（1）已知向量SKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（）A．30°B．60°C．120° D．150°答案：C（注意SKIPIF1<0）（2已知向量SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|＝1，對任意t∈R，恒有|SKIPIF1<0－tSKIPIF1<0|≥|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|，則（）(A)SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)(C)SKIPIF1<0⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)(D)(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)答案：C【易錯點5】向量與三角函數求值、運算的交匯例5、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ1，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ2，且SKIPIF1<0的值.【易錯點分析】此題在解答過程中，學生要將向量的夾角運算與三角變換結合起來，注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導致錯誤結論。解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0【知識點歸類點拔】當今高考數學命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交匯性，向量是新課程新增內容，具體代數與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識的一個重要的交匯點，成為聯系這些知識的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當今高考命題的必然趨勢。高考對三角的考查常常以向量知識為載體，結合向量的夾角、向量的垂直、向量的模或向量的運算來進行考查學生綜合運用知識解決問題的能力。【易錯點6】向量與解三角形的交匯例6.ΔABC內接于以O為圓心，1為半徑的圓，且3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)。①求數量積，eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)，eq\o(\s\up6(→),OB)·eq\o(\s\up6(→),OC)，eq\o(\s\up6(→),OC)·eq\o(\s\up6(→),OA)；②求ΔABC的面積。【思維分析】第1由題意可知3eq\o(\s\up6(→),OA)、4eq\o(\s\up6(→),OB)、5eq\o(\s\up6(→),OC)三向量的模，故根據數量積的定義及運算律將一向量移項平方即可。第2問據題意可將已知三角形分割成三個小三角形利用正弦理解答。解析：①∵|eq\o(\s\up6(→),OA)|=|eq\o(\s\up6(→),OB)|=|eq\o(\s\up6(→),OC)|=1由3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)得：3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)=－5eq\o(\s\up6(→),OC)兩邊平方得：9eq\o(\s\up6(→),OA)2＋24eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)＋16eq\o(\s\up6(→),OB)2=25eq\o(\s\up6(→),OC)2∴eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)=0同理：由4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=－3eq\o(\s\up6(→),OA)求得eq\o(\s\up6(→