知識講解二項式定理(理)(提高)110知識講解二項式定理(理)(提高)110知識講解二項式定理(理)(提高)110知識講解二項式定理(理)(提高)110編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:二項式定理【學習目標】1．理解并掌握二項式定理，了解用計數原理證明二項式定理的方法．2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數,都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，2．二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數：共有n+1項，比二項式的次數大1；(2)二項式系數：第r+1項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；(3)次數：各項的次數都等于二項式的冪指數n．字母a降冪排列，次數由n到0；字母b升冪排列，次數從0到n，每一項中，a，b次數和均為n；3.兩個常用的二項展開式：①()②要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是；②字母b的次數和組合數的上標相同；③a與b的次數之和為n。要點詮釋：（1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的，如(a－b)n的二項展開式的通項是（只需把－b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數及其性質1.楊輝三角和二項展開式的推導。在我國南宋，數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項式系數。展開式中的二項式系數,當依次取1,2,3,…時,如下表所示:………11……121…………………1331………………14641……………15101051…………1615201561………………上表叫做二項式系數的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數的性質。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上的兩個數的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數為，即為的系數．2.的展開式中各項的二項式系數、、…具有如下性質：①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即；②增減性與最大值：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.③各二項式系數之和為，即；④二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即。要點詮釋：二項式系數與展開式的系數的區別二項展開式中，第r+1項的二項式系數是組合數，展開式的系數是單項式的系數，二者不一定相等。如(a－b)n的二項展開式的通項是，在這里對應項的二項式系數都是，但項的系數是，可以看出，二項式系數與項的系數是不同的概念．3.展開式中的系數求法（的整數且）如：展開式中含的系數為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數）.2.利用賦值法進行求有關系數和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數有關的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=－1，則(4)(5)3.利用二項式定理證明整除問題及余數的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉化為不等式，然后再根據不等式的傳遞性進行證明。①；②；（）如：求證：5.進行近似計算：求數的次冪的近似值時，把底數化為最靠近它的那個整數加一個小數(或減一個小數)的形式。當充分小時，我們常用下列公式估計近似值：①；②；如：求的近似值，使結果精確到；【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數例1.求的二項式的展開式．【思路點撥】按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號．【解析】（1）解法一：解法二：。【總結升華】記準、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件，對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷．舉一反三：【變式】求的二項式的展開式．【答案】先將原式化簡。再展開．例2．試求：（1）(x3－)5的展開式中x5的系數；（2）(2x2－)6的展開式中的常數項；【思路點撥】先根據已知條件求出二項式的指數n，然后再求展開式中含x的項．因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式．【解析】（1）Tr＋1＝依題意15－5r＝5，解得r＝2故(－2)2＝40為所求x5的系數（2）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26-r·依題意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60為所求的常數項．【總結升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應的是多少；2.注意系數與二項式系數的區別；3.在求解過程中要注意冪的運算公式的準確應用。舉一反三：【變式1】求的展開式中的二項式系數及的系數.【答案】，；通項，∵，∴，故展開式中的二項式系數為，的系數為.【變式2】求的展開式中的第4項.【答案】；。【變式3】（1）求的展開式常數項；（2）求的展開式的中間兩項【答案】∵，∴（1）當時展開式是常數項，即常數項為；（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項，，例3．求二項式的展開式中的有理項．【思路點撥】展開式中第r+1項為，展開式中的有理項，就是通項中x的指數為正整數的項．【解析】設二項式的通項為，令，即r=0，2，4，6，8時，。∴，，，，。∴二項式的展開式中的常數項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：．【總結升華】求有理項是對x的指數是整數情況的討論，要考慮到一些指數或組合數的序號的要求．舉一反三：【變式】如果在的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。【答案】（1）展開式中前三項的系數分別為1，，，由題意得：2×=1+得=8。設第r+1項為有理項，，則r是4的倍數，所以r=0，4，8。有理項為。類型二、二項式之積及三項式展開問題例4．求的展開式中的系數.【思路點撥】將變形為，要使兩個因式的乘積中出現，根據式子的結構可以分類討論：當前一個因式為1時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；也可以利用通項公式化簡解答。【解析】解法一：，的通項公式（），分三類討論：（1）當前一個因式為1時，后面的應該為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應該為，即；（3）當前一個因式為時，后面的應該為，即；故展開式中的系數為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數為。舉一反三：【變式1】求的展開式中的系數.【答案】；的通項公式（），分二類討論：（1）當前一個因式為1時，后面的應該為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應該為，即；故展開式中的系數為。【變式2】在(1＋x)5(1-x)4的展開式中，x3的系數為________．【答案】(1＋x)5(1-x)4＝(1＋x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展開的通項為·(-x2)r，故展開式中x3的系數為＝-4．例5.求(1+x+x2)8展開式中x5的系數．【思路點撥】要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】解法一：(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8，所以，則x5的系數由(x+x2)r來決定，，令r+k=5，解得或或。含x5的系數為。解法二：，則展開式中含x5的系數為。解法三：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8個），這8個因式中乘積展開式中形成x5的來源有三：（1）有2個括號各出1個x2，其余6個括號恰有1個括號出1個x，這種方式共有種；（2）有1個括號出1個x2，其余7個括號中恰有3個括號各出1個x，共有種；（3）沒有1個括號出x2，恰有5個括號各給出1個x，共有種．所以x5的系數是．【總結升華】高考題中，常出現三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或將三項式轉化為二項式．舉一反三：【變式1】的展開式中的常數項.【答案】∵=∴所求展開式中的常數項是-＝－20【變式2】在(1+x+px2)10的展開式中，試求使x4的系數為最小值時p的值．【答案】由通項，又(1+px)r的通項為。∴。而m+r=4，且0≤m≤r≤10。∴，或，或。∴x4的系數為。∴僅當p=－4時，x4的系數為最小。類型三：有關二項式系數的性質及計算的問題例6.（1）求(1+2x)7展開式中系數最大的項；（2）求(1－2x)7展開式中系數最大的項。【思路點撥】利用展開式的通項，得到系數的表達式，進而求出其最大值。【解析】（1）設第r+1項系數最大，則有即，解得，即，∴r=5。∴系數最大的項為。（2）展開式共有8項，系數最大的項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得。又因(1－2x)7括號內的兩項中后項系數絕對值大于前項系數絕對值，故系數最大的項必在中間或偏右，故只需要比較T5和T7兩項系數大小即可，，所以系數最大的項是第五項，。【總結升華】求展開式中系數最大的項，一般是解一個不等式組。 舉一反三：【變式】設展開式的第10項系數最大，求n.【答案】展開式的通項為∴∵第10項系數最大，又∵∴n=13或n=14【變式2】已知的展開式中第五、六、七項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項。【答案】因為，所以。即n2－21n+98=0，解得n=14或7。當n=14時，第8項的二項式系數最大，。當n=7時，第4項與第5項的二項式系數最大，，。類型四、利用賦值法進行求有關系數和。例7.已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。【思路點撥】求展開式的各項系數之和常用賦值法【解析】令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=―1①，令x=―1，則a0―a1+a2―a3+a4―a5+a6―a7=37②，（1）因為a0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+…+a7=―2。（2）由（①―②）÷2得。（3）由（①+②）÷2得。（4）方法一：因為(1―2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)―(a1+a3+a5+a7)=1093―(―1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|，即(1+2x)7展開式中各項的系數和，所以|a0|+|a1|+…+|a7|=37=2187。【總結升華】求展開式的各項系數之和常用賦值法。“賦值法”是解決二項式系數常用的方法，根據題目要求，靈活賦給字母不同的值。一般地，要使展開式中項的關系變為系數的關系，令x=0可得常數項，令x=1可得所有項系數之和，令x=―1可得偶次項系數之和與奇次數系數之和的差，而當二項展開式中含負值時，令x=―1則可得各項系數絕對值之和。舉一反三：【變式1】已知，求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）當時，，展開式右邊為∴，當時，，∴，（2）令，①令，②①②得：，∴.（3）由展開式知：均為負，均為正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴舉一反三：【變式1】求值：.【答案】【變式2】設，當時，求的值【答案】令得：，∴，類型四、二項式定理的綜合運用例8.求證：（）能被64整除.【思路點撥】可將化成再進行展開,化簡即可證得.【解析】∵∴故（）能被64整除。【總結升華】利用二項式定理進行證明,需要多項式展開后的各項盡量多的含有的式子.舉一反三：【變式1】求證能被10整除【答案】∵∴故能被10整除。例9：當且>1，求證【解析】從而【總結升華】用二項式定理證明不等式