1.2

函數及其性質

1.2.1.集合

1.2.2.函數的概念1.2.3.邏輯及其符號

1.2.4.函數的一些重要性質

1.2.5.函數運算1.2.6.初等函數1.2函數及其性質1.2.1.集合11.2.1邏輯及其符號利用數學的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀就有人提出過。萊布尼茨曾經設想過能不能創造一種“通用的科學語言”，可以把推理過程象數學一樣利用公式來進行計算，從而得出正確的結論。由于當時的社會條件，他的想法并沒有實現。但是它的思想卻是現代數理邏輯部分內容的萌芽。

1.2.1邏輯及其符號利用數學的方法來代替人們思維中的21.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題

(proposition).正確的命題稱為定理(theorem).這可靠嗎？1.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題(proposi32.含有“存在”和“任取”的命題存在實數x，滿足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取實數x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命題存在實數x，滿足x3=4

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命題

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命題例x∈R，y∈R，s.t.51.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集子集真子集并交差全集I補集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質6常用集合:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集不含任何元素的集合稱為空集.例規定空集為任何集合的子集.笛卡爾乘積例常用集合:N----自然數集Z----整數集Q----有理數72.區間(interval):是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,2.區間(interval):是指介于某兩個實數之間的全體實8稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:93.鄰域(neighborhood):3.鄰域(neighborhood):10在某過程中數值保持不變的量稱為常量(constantquantity)，而數值變化的量稱為變量

(variable).4.常量與變量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量與變量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示變量.在某過程中數值保持不變的量稱為常量(constantqu111.2.3函數的概念因變量自變量數集D叫做這個函數的定義域

(domain)函數的兩要素:定義域與對應法則.1.2.3函數的概念因變量自變量數集D叫做這個函數的定12如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．x11y0.5如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個13

(1)符號函數(signfunction)幾個常用的特殊函數1-1xyo克羅內克函數(Kroneckerfunction

)德國1823-1891(1)符號函數(signfunction)14(2)取整函數

y=[x][x]表示不超過的最大整數

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函數y=[x]12315(3)狄利克雷函數(Diriechletfunction)德國1805-1859

(3)狄利克雷函數(Diriechletfunct16(4)取最值函數yxoyxo(4)取最值函數yxoyxo17在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.分段函數在其整個定義域上是一個函數,注而不是幾個函數!在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數,18例解例解191.2.4函數的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性無界:1.2.4函數的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有201121函數及其性質課件22練習A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C練習A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D.232．函數的單調性則稱函數f(x)

在區間I

上是廣義單調增加的.則稱函數f(x)

在區間I

上是單調增加的.設函數f(x)

的定義域為D,區間I∈D.2．函數的單調性則稱函數f(x)在區間I上是廣義單24則稱函數f(x)

在區間I

上是廣義單調減少的.則稱函數f(x)

在區間I

上是單調減少的.設函數f(x)

的定義域為D,區間I∈D.則稱函數f(x)在區間I上是廣義單調減少的.則稱函253．函數的奇偶性偶函數yxox-x3．函數的奇偶性偶函數yxox-x26奇函數yxox-x奇函數yxox-x274．函數的周期性:由于T

是函數f(x)

周期時，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常說周期函數的周期是指其最小正周期.設函數f(x)的定義域為D,如果存在實數

T≠0,使得對于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，則稱f(x)

是一個周期函數，T稱為是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的圖像4．函數的周期性:由于T是函數f(x)周期時，nT28例y=D(x)

是周期函數，但無最小正周期例y=D(x)是周期函數，但無最小正周期291.2.5函數的運算1.四則運算1.2.5函數的運算1.四則運算302.反函數(inversefunction)2.反函數(inversefunction)31在什么條件下,?一個函數存在反函數且反函數也是單調增(減).反函數存在定理若函數在

D上單調增(減),則它必存在反函數在什么條件下,?一個函數存在反函數且反函數也是單調增(減)32

(2)

函數與反函數的圖形關于直線

y=x

對稱.(2)函數與反函數的圖形關于直線y=x對稱.333.復合函數(compoundfunction)定義3.復合函數(compoundfunction)定義34注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;35例例36函數及其性質課件37函數及其性質課件38思考題及其定義域.解令則于是,思考題及其定義域.解令則于是,391.2.6初等函數(1)冪函數1.基本初等函數1.2.6初等函數(1)冪函數1.基本初等函數40(2)指數函數(2)指數函數41(3)對數函數(3)對數函數42(4)三角函數正弦函數(4)三角函數正弦函數43余弦函數余弦函數44正切函數定義域值域正切函數定義域值域45余切函數定義域值域余切函數定義域值域46正割函數定義域值域正割函數定義域值域47余割函數定義域值域余割函數定義域值域48

(5)反三角函數定義域反正弦函數反三角函數都是多值函數.但是,可以選取這些函數的單值支.(5)反三角函數定義域反正弦函數反三角函數都是多值函數49反余弦函數定義域反余弦函數定義域50定義域反正切函數反余切函數定義域定義域反正切函數反余切函數定義域51常數函數，冪函數，指數函數，對數函數，三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次函數復合構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.2.如都是初等函數.不是初等函數.常數函數，冪函數，指數函數，對數函數，三角函數和反三角函數統52注一般分段函數不叫初等函數,想一想

可看作分段函數,是否又可看作是初等函數?答:故又可看作是初等函數.是!由于它不是用一個式子表達出來的.因為注一般分段函數不叫初等函數,想一想可看作分段函數,是否53小結基本概念集合,區間,鄰域.函數的概念函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.反函數基本初等函數及初等函數小結基本概念函數的概念函數的特性反函數基本初等函數及541.2

函數及其性質

1.2.1.集合

1.2.2.函數的概念1.2.3.邏輯及其符號

1.2.4.函數的一些重要性質

1.2.5.函數運算1.2.6.初等函數1.2函數及其性質1.2.1.集合551.2.1邏輯及其符號利用數學的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀就有人提出過。萊布尼茨曾經設想過能不能創造一種“通用的科學語言”，可以把推理過程象數學一樣利用公式來進行計算，從而得出正確的結論。由于當時的社會條件，他的想法并沒有實現。但是它的思想卻是現代數理邏輯部分內容的萌芽。

1.2.1邏輯及其符號利用數學的方法來代替人們思維中的561.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題

(proposition).正確的命題稱為定理(theorem).這可靠嗎？1.命題與定理可以判斷真假的語句稱為命題(proposi572.含有“存在”和“任取”的命題存在實數x，滿足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取實數x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命題存在實數x，滿足x3=58

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命題

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命題例x∈R，y∈R，s.t.591.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集子集真子集并交差全集I補集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某種特定性質60常用集合:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集不含任何元素的集合稱為空集.例規定空集為任何集合的子集.笛卡爾乘積例常用集合:N----自然數集Z----整數集Q----有理數612.區間(interval):是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,2.區間(interval):是指介于某兩個實數之間的全體實62稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:633.鄰域(neighborhood):3.鄰域(neighborhood):64在某過程中數值保持不變的量稱為常量(constantquantity)，而數值變化的量稱為變量

(variable).4.常量與變量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量與變量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示變量.在某過程中數值保持不變的量稱為常量(constantqu651.2.3函數的概念因變量自變量數集D叫做這個函數的定義域

(domain)函數的兩要素:定義域與對應法則.1.2.3函數的概念因變量自變量數集D叫做這個函數的定66如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．x11y0.5如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個67

(1)符號函數(signfunction)幾個常用的特殊函數1-1xyo克羅內克函數(Kroneckerfunction

)德國1823-1891(1)符號函數(signfunction)68(2)取整函數

y=[x][x]表示不超過的最大整數

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函數y=[x]12369(3)狄利克雷函數(Diriechletfunction)德國1805-1859

(3)狄利克雷函數(Diriechletfunct70(4)取最值函數yxoyxo(4)取最值函數yxoyxo71在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.分段函數在其整個定義域上是一個函數,注而不是幾個函數!在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數,72例解例解731.2.4函數的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性無界:1.2.4函數的一些重要屬性-MoMyxy=f(x)X有741175函數及其性質課件76練習A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C練習A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D.772．函數的單調性則稱函數f(x)

在區間I

上是廣義單調增加的.則稱函數f(x)

在區間I

上是單調增加的.設函數f(x)

的定義域為D,區間I∈D.2．函數的單調性則稱函數f(x)在區間I上是廣義單78則稱函數f(x)

在區間I

上是廣義單調減少的.則稱函數f(x)

在區間I

上是單調減少的.設函數f(x)

的定義域為D,區間I∈D.則稱函數f(x)在區間I上是廣義單調減少的.則稱函793．函數的奇偶性偶函數yxox-x3．函數的奇偶性偶函數yxox-x80奇函數yxox-x奇函數yxox-x814．函數的周期性:由于T

是函數f(x)

周期時，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常說周期函數的周期是指其最小正周期.設函數f(x)的定義域為D,如果存在實數

T≠0,使得對于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，則稱f(x)

是一個周期函數，T稱為是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的圖像4．函數的周期性:由于T是函數f(x)周期時，nT82例y=D(x)

是周期函數，但無最小正周期例y=D(x)是周期函數，但無最小正周期831.2.5函數的運算1.四則運算1.2.5函數的運算1.四則運算842.反函數(inversefunction)2.反函數(inversefunction)85在什么條件下,?一個函數存在反函數且反函數也是單調增(減).反函數存在定理若函數在

D上單調增(減),則它必存在反函數在什么條件下,?一個函數存在反函數且反函數也是單調增(減)86

(2)

函數與反函數的圖形關于直線

y=x

對稱.(2)函數與反函數的圖形關于直線y=x對稱.873.復合函數(compoundfunction)定義3.復合函數(compoundfunction)定義88注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.注意:1.不是