不動點理論及其應用主要內容：?不動點理論一壓縮映像原理?不動點理論在微分方程中的應用?不動點理論在中學數學中的應用目錄：一、 引言二、 壓縮映像原理三、 在微分方程中的應用四、 在中學數學中的應用五、 其它、引言取一張照片，按比例縮小，然后把小照片隨手放在大照片上，那么大小兩張照片在同一個部位，一定有一個點是重合的。這個重合點就是一個不動點。函數的不動點,在數學中是指被這個函數映射到其自身的一個點,即函數f(x)在取值過程中，如果有一個點x使f(x)二x，則x就是0000一個不動點。二、壓縮映像原理定理：(Banach不動點定理一壓縮映像原理)設(X,p)是一個完備的距離空間，t是(X,p)到其自身的一個壓縮映射，則t在X上存在唯一的不動點。這里有三個概念：距離空間，完備的距離空間，壓縮映射距離空間又稱為度量空間。定義：(距離空間)設X是一個非空集合。X稱為距離空間，是指在X上定義了一個雙變量的實值函數P(x,y)，滿足下面三個條件：。p(x,y)>0，而且p(x,y)=0，當且僅當x二y；。p(x,y)=p(y,x)；。p(x,z)<p(x,y)+p(y,z)， (Vx,y,zeX)。這里p叫做X上的一個距離，以p為距離的距離空間X記作(X,p)。定義：(完備的距離空間)距離空間(X,p)中的所有基本列都是收斂列，則稱該空間是完備的。定義：(壓縮映射)稱映射T:(X,p)t(X,p)是一個壓縮映射，如果存在0<a<1，使得p(Tx,Ty)<ap(x,y)(Vx,yeX)成立。定理：(存在和唯一性)考慮如下初值問題葺=f(x,y)，〔y(%)=yo.假設f(x,y)在矩形區域R:Ix一xl<a,Iy一yl<b00內連續，而且對y滿足Lipschitz條件，則上述問題在區間I二［x-h,x+h］上有且僅有一個解，其中ooh=min{a,—},M>maxIf(x,y)I.M^ (x,y)gR(1)。傳統的證明方法通常，我們分成四步來證明：轉換成等價的積分方程y二yo+Jxf(t,y)dt0 x0構造皮卡迭代序列證明皮卡迭代序列一致收斂，而且極限函數是解證明解唯一2)。壓縮映像原理證明根據上面的理論，先定義X=C[x-h,x+h]=C(I)oo然后，給一個度量p(x,y)=maxIx(t)-y(t)Itel由積分方程y二y+Jxf(t,y)dt，我們可以定義一個映射:x0(Ty)(x)二y+Jxf(t,y(t))dt0 x0我們要證明兩點：a.任意xeX，則TxeXb.檢驗映射T:(X,p)t(X,p)是一個壓縮映射p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dT|telx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteI注意函數f(x,y)對y滿足Lipschitz條件:if(t,x)-f(t,x)iWLix-xi,1212其中L是一個常數。容易得到p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dTiteIx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteIW2hLp(x,y)因此，只要h取得適當小，使得2hL<1，則映射T:(X,p)t(X,p)是一個壓縮映射，因此，有唯一的不動點y，使得y二y0+Jxf(t,y)dtx0這樣，存在與唯一性同時成立。四、在中學數學中的應用例1，假設定義在R上的奇函數f(x)的圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數個。證明：函數f(x)為奇函數，所以f(-x)=-f(x)，xeR特別，取x二0，則f(0)=0。因此0是一個不動點。如果c豐0是一個不動點，即f(c)=c，那么f(―c)=-f(c)=-c說明—c也是一個不動點，而且—c豐c。或者說，奇函數的非零不動點是成對出現的，由題目條件，可知結論成立。例2，給定函數f(x)=3x+a，a,b為常數。x+b。如果函數f(x)有兩個關于原點對稱的不動點，求a,b應該滿足的條件。。在(1)的條件下，取a=&y=f(x)的圖像上A,A'兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，P為函數f(x)圖像上的另外一點，而且其縱坐標大于3,求點P到直線AA'距離的最小值，以及取得最小值時點P的坐標。解：設x°是函數f(x)圖像上的不動點，則有3x+af(x0)=E二x00整理得x2+(b-3)x-a-0 (*)00由題意知方程(*)有兩個根，而且絕對值相等，符號相反。由韋達定理得m由此得b=3，a>0,f(x)=3+—x+32)。在因此，a,b應該滿足的條件是：b=3,a>0,a豐92)。在(1)的條件下，取a=&則f(x)=土83x+8由 3x+8由 =xx+3故A(2巨,2叮2)，A'=(-2巨-2邁)設P(x,y)，則y>3。由3x+8得函數f(x)的兩個不動點x=2邁，x=-2邁12>3，解得x<-3x+3直線AA'的方程為y=x。設點P到直線AA'的距離為d。d=…=丄|x-止亠x2-9)+1=丄[(-x-3)+丄+6]2 <2x+3 2—x—3 <2 —x—3n丄(2+6)=4、.邁2當且僅當—x-3=一1，即x=-4時上式等號成立，此時,-x-3x=_4,y=4故點P到直線AA'距離的最小值為4、/2，此時點P的坐標為(_4,4)。五、其它a.還有很多其它不動點定理Brouwer不動點定理:n維歐氏空間中的閉單位球有不動點性質，即如果S表示這個球，f:STS是任意連續函數，則存在一個點nnnxGS，使得f(x)=x0n00

在經濟均衡理論中的應用例如，經典的Leontieff模型。假設每生產一個產品有N個生產者，p,i二1,2,...,NiX表示生產者P的全部產品，X表示P生產的產品被Pi i ij i jY=Y=X—乞xii ijj=1上式含義：P的全部產品數與由生產者P,P,...,P消耗的總數之i12N差。Y稱為商品i的“最后要求”。i閉合的Leontieff模型假設Y=0,i=1,2,...,N。ia=二稱為“產品系數”jXi如果a是常數，那么(I—A)X=Y，其中A=(a)，TOC\o"1-5"\h\zij ijX=(X,...,X)，Y=(Y,...,Y)。1N 1N一般情況下，假設a為正連續函數。ij/(x)稱為“要求函數”表示當P的收益為x，而花費在由ij iPj生產的產品G上的資本總數。顯然，f(x)=0。j ii現在，如果每個生產者由于買另外生產者的商品而花掉其收益，那么有如下關系式X仝f(X) (1)ijj般的經濟規律認為，生產者P的收益x按照這樣的方式確ii定，即由生產者賣出的每個產品的總額必等于由另外的生產者買進產品的總值，用數學語言表示，有關系式X=￡f(x) ⑵jiji現在，假設函數f是非線性連續函數，則可知存在點X二(XX)ij1N適合關系式(2)。定理：假設函數f都是正的連續函數，滿足條件(1)，則存在ij點X=(XX)適合關系式(2)。1NSchauder不動點定理:Banach空間中每個凸緊集，對于連續映射有不動點性質。在偏微分方程的處理中有很多應用引言中例子的證明我們把大照片抽象成矩形K(ABCD)，小照片抽象成矩形1K(A'BCD')。而照片的疊放可以看成是從K至UKuK的連續2121映射(由伸縮和旋轉的連續形變)。假設那個不動點為O點，見下圖。要證明的結論可以轉化為：存在O點，使得AOAB與AOA'B'相似。證明：延長A'B'交AB于點P，然后過A,A',P三點作圓O，過1B,B',P作圓O，記圓O和作圓O的另一個交點為O。212因為點O,B',P,B在圓O上，所以ZOB'A'=ZOBP。2(因為ZOB'A=ZBOP+ZBPO=ZB'BP+ZB'BO=ZOBP)又因為點O,A',A,P在圓O上，所以ZOA'P=ZOAP1因此，AOAB與AOA'B'相似。這就說明，在O點上，大小照片中的景物”是相同的。思考題：A是定義在［2,4］上而且滿足如下條件的函數申(x)組成的集合：(1)，對任意的xe［2,4］，都有申(x)e(1,2)；(2)，存在常數L(0<L<1)，使得對任意x,xe［1,2］，都有12I申(2x)一申(2x)l<LIx一xI。1212。設申(x)=31+x，xe［2,4］，證明：申(x)eA。。設申(x)eA，如果存在xe(1,2)，使得x=申(2x)，那么這樣000的x是唯一的。0。設申(x)eA'任取xg(1,2)，令x二申