函數最值問題的常見求解方法最值問題，幾乎涉及到高中數學的各個分支，是歷年高考重點考查的知識點之一，有一些基礎題，也有一些小綜合的中檔題，更有一些以難題形式出現．它經常與三角函數、二次函數、一元二次方程、不等式及某些幾何知識緊密聯系．所以其解法靈活，綜合性強，能力要求高．解決這類問題，要掌握各數學分支知識，能綜合運用各種數學技能，靈活選擇合理的解題方法．考生的運算能力，分析問題和解決問題能力在這里充分展現．為幫助同學們探索這類型問題的解題規律，指導高考復習，本文將這類問題作一個簡單歸納．一、配方法例1：當—1<x<0時，求函數y二2x+2—3-4x的最大值和最小值.41解析：y=—3(2x-)2+，當—1<x<0時，<2x<1.顯然由二次函數的性質可得y=1,32min4y=3-max3二、判別式法對于所求的最值問題，如果能將已知函數式經適當的代數變形轉化為一元二次方程有無實根的問題，則常可利用判別式求得函數的最值．例2：已知y2一4xy+4x2+2x一1=0，求y的最值.解析：由已知，變形得4x2—2(2y—1)x+(y2—1)=0，xeR，則A>0，即有4(2y—1)2—16(y2—1)>0故y<.45因此y=，無最小值.max4yi=mm例3：若x、yeR且滿足：x2+y2+2xy+x—y=0yi=mmmax解析：由已知，變形得：y2+(2x—1)y+(x2+x)=0，yeR，則A>0，即有(2x—1)2—4(x2+x)>0，于是一8x+1>0，即x<.即x=.8max8同理，x2+(2y+1)x+(y2—y)=0，xeR，則A>0，即有(2y+1)2—4(y2—y)>0，于是8y+1>0,即卩y>—1.即y=—1.8min8注意：關于x、y的有交叉項的二元二次方程，通常用此法5x2+4*3x+1例4：已知函數y=，求y的最值.x2+1解析：函數式變形為：(y—5)x2—4p3y+(y—1)=0，xeR，由已知得y—5豐0,/.A=(—4*3)2—4(y一5)(y一1)>0，即:y2—6y—7<0,即:一1<y<7.因此y=7，y=—1.maxminax+b例5：已知函數y=(xeR)的值域為[—1,4]，求常數a,bX2+1ax+b77c解析：y=oyx2+y=ax+boyx2—ax+y—b=0x2+1?/xeRA=(一a)2一4y(y一b)>0，即4y2一4by一a2<0由題意：ye[—1,4]o(y+1)(y一4)<0oy2一3y一4<0o4y2一12y一16<0所以4b二12,a2=16，即b二3,a二±4注意：判別式求函數的值域或已知值域求參數，把轉化為關于x的二次函數F(x,y)=0，通過方程有,小ax2+bx+c實根，判別式A>0，從而求得原函數的值域或參數的值.形如y=114(a、a不同時為0),ax2+bx+c12222常用此法求得小兀sinx(1一sinx)例6：在0<x<條件下，求y=的最大值.2(1+smx)2解析：設t=sinx，因xe(o，2)，故0<t<1，則y=罟即(1+y)t2+(2y一1)t+y=0因為0<t<1，故y+1豐0，于是A=(2y-1)2-4y(y+1)>0即y<—8111將y=代入方程得t=e[0，1]，所以y=—83max8注意：因A>0僅為方程(1+y)t2+(2y一1)t+y=0有實根te[0，1]的必要條件，因此，必須將1y=6代入方程中檢驗，看等號是否可取.8三、代換法(一)局部換元法x2+p例7：求函數y=的最值.x2+4解析：令t=ix2+4，則t>2，函數y==t+—x2+4t當p>8時，y=t+->2,p-4，當t=2-4時取等號tp—4p—4當p<8時，令2<t<t，則y—y=(t+)—(t+)=(t—t)+12121t2t1212

TOC\o"1-5"\h\zp-4p-4(t—t)=(t—t)(1一)，因為2<t<t,p<8，即有tt2112tt121212p-4p-4y一y=(t一t)(1-)<0，所以y=t+在[2,+^)內遞增.ttt12所以當p>8時,當p<8時,y.=2Jp-4，無最大值;y=，無最大值.min2例8：求函數y二x+v1-2x的最值.解析：設t=、：1一2x(t>0)，則由原式得y=-—(t-1)2+1<1當且僅當t=1即x0時取等號.故ymax二1，無最小值.例9：已知0<a<^2,求函數y=(sinx+a)(cosx+a)的最值.解析：y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2令sinx+cosx=tTOC\o"1-5"\h\z__12—11貝y-\：2<t<且sinxcosx=，于是y=[(t+a)2+a2-1]22當t=、：2時，y=a2+\：2a+；當t=—a時，y=(a2—1).max2min2注意：若函數含有sinxcosx和sinx+cosx,可考慮用換元法解.(二)三角代換法(有時也稱參數方程法)例10:已知x、yeR,1<x2+y2<4.求u二x2+xy+y2的最值.解析：設x二tcos9,y=tsin9,(t為參數)因1<x2+y2<4，故1<12<4u=12(cos29+cos9sin9+sin29)=12(1+—sin20)2故當12=4且sin20=1時，u=6；當12=1且sin20=-1時，u1+=S1+=Smin55S=4-5sinacosa當sin2a二1時，ymax54——sin2a2510510=；當sin2a=—1時，y==一4—53min4+51322所以113+SSmaxmin138=+=—10105例12:求函數y二(a2-x2)x(Ixl<a)的最值.解析:令x=acosa，則y=a2sin2a-acosa=a3sin2acosa又令t=sin2acosa,則12=sin4acos2a=—sin2a-sin2a-2cos2a21sin2a+sin2a+2cos2a<2()3427—2J3—~9~即有-空a3<y<空a399所以ymax2J3y=-a3min9注意:利用重要不等式時，要滿足“一正二定三相等”例13：已知x、yeR且3x2+2y2=6x,求x+y的最值.解析：化3x2+2y2=6x為(x—1)2+3-=1，得參數方程為<x=1+cose

y=￥inex+y=1+cose^26sine=1+40嶼")故(x+y)=1+￥，(x+y)=1-斗0max2min2(三)均值換元法例14:已知a+b=1，求證：a4+b4的最小值為8解析：由于本題中a、b的取值范圍為一切實數，故不能用三角換元，但根據其和為1,11a=■—+t，b=——t，(teR)，貝0我們可以令a4+b4=(a2+b2)2—2a2b2=[(+1)2+(丄—t)2]2—2(丄+1)2(—t)22222=(1+2t2)2—2(]—12)2=(—+2t2+4t4)—(——12+2t4)11=—+3t2+2t4n——???a4+b4的最小值為1.在t二0即a=b=1時取等號—2四、三角函數有界法對于xeR，總有Isinxl<1,Icosxl<1例15:求函數y二sin2x一2cos2x的最值.I/V解析：y=sin2x—2cos2x=sin2x—cos2x—1=、2sin(2x—)—14兀因為Ism(2x—)I<1，故4當sin(2x—)=1時，y=—1；當sin(2x—)=一1時，y.=r2—1.4max4mm五、均值不等式法例16：在任意三角形內求一點，使它到三邊之積為最大．解析：設三角形的三邊長分別為a、b、c,面積為S，三角形內一點P到三邊的距離分別為x、y、zax+by+cz=2Sax+by+cz=2S(定值)ax-by-cz<(ax+by+cz3)3即xyz<—S327abc(ax=by=cz時取等號)因此，當此點為三角形的重心時(這時APAB、APBC、APAC面積相等)，它到三邊之積為最大.例17:有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形,將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？解析：依題意，矩形盒子底邊長為(30—2x)cm，底邊寬為(14—2x)cm，高為xcm．/.盒子容積V—(30—2x)(14—2x)x=4x(15—x)(7—x)x(顯然：15—x>0、7—x>0、x>0)—a—b+1=0

15a—ax=7b—bx=x—a—b+1=0

15a—ax=7b—bx=x解得：a=4，b=4，x=3?從而44=骨哼—4)(21=骨哼—4)(21—琴)x<5764444故矩形盒子的最大容積為576cm3.44也可：令V=(15a—ax)(7—x)bx或V=(15—x)(7a—ax)bxabab注意：均值不等式應用時，要注意等號成立的條件(一正二定三相等)，當條件不滿足時要靈活運用拆項、湊項、湊系數、平方等技巧湊配系數，適當時可以用待定系數法來求.例18：已知sin2a+sin2P+sin2丫二1（a、P、y均為銳角），那么cosacos卩cosy的最大值等于解析：因a、P、y均為銳角，所以cosacos卩cosy二cos2acos2pcos2y■(cos2a+cos2p+cos2y)'1—sin2a+1—sin2p+1—sin2y)26氣(3)3=$3)3二"V當且僅當sin2a=當且僅當sin2a=sin2P=sin2y=1時取等號故cosacos卩cosy的最大值為2詣"9-例19:求函數例19:求函數y=ab+sin2xcos2x的最小值（a解析：ab+解析：ab+sin2xsin2x=a+acot2x+b+btan2x>a+b+2\abtan2xcot2x=a+b+2\：ab當且僅當actg2當且僅當actg2x=btg2xa即tg2x=、：-時,函數y取得最小值a+b+2壬ab六、單調性法（一）利用若干次“>”（或“<”）求函數的最值11例20：求函數y=+在（0,—）內的最小值.sinxcosx2TOC\o"1-5"\h\z,11sinx+cosx、2解析：y=+=>-=sinxcosxsinxcosxJsinxcosx兀當x=時，sinx=cosx,sin2x=1.上式中的兩個“>”中的等號同時成立，所以y>2、.：2是4"精確的”不等式.因而y.=2邁min另：此題還可用換元t=sinx+cosx以及函數單調性來判斷xb（二）形如y=+—的函數的最值ax（1）a>0，b>0時，函數在（—8，-、；ab］內遞增，在lab，0）內遞減，在（0，vab］內遞減，在［<ab，+8）內遞增.（2）a<0，b<0時，函數在（—8，—、：ab］內遞減，在［-VOb，0）內遞增，在（0，.［ab］內遞增，在hab，+8）內遞減.（3）a<0，b>0時，函數在（—8，0）內遞減，在（0，+8）內遞減.（4）a>0，b<0時，函數在（—8，0）內遞增，在（0，+8）內遞增.

例21:求函數y=4sin2xCOS2x+的最值.16sin2xcos2x11解析：函數y=4sin2xcos2x+=Sin22x+16sin2xcos2x4sin22x令t=sin22x，則te［0，1］，于是y=t+匕在(0，］］內遞減，在［］，1］內遞增.t22所以當t=2，即sin2xcos2x=8時，y.=1；無最大值.28min2sinx-cos2x例22：求函數y=的最大值.sin2x+sin2x+2sinx-1解析：y=—⑶心1):-2=(sinx+1)+(-=^)sinx+1sinx+1令sinx+1=t，則0vt<2，函數y=t+—在（0，+s）內遞增.所以在（0，2］內也是遞增的.當tt=2，即sinx=1時，y=1.max七、平方開方法例23:已知a、b是不相等的正數，求函數y=acos2x+bsin2x+sin2x+bcos2x的最值.解析：因a、b是不相等的正數，cosx與sinx不能同時為0,故y>0.(a-b)2y2=a+b+2sin22x+ab當sin22x=當sin22x=1時,y2max=2(a+b)，ymax=\：2(a+b)當sin22x=0時,y2=a+b+2.ab，miny=、；a+Jbmin八、數形結合法有些代數和三角問題，若能借助幾何背景和幾何直觀而求其最值，常能受到直觀明快，化難為易的功效.4sinx-1例24:求函數y=的最值.3cosx-64（sinx-丄）sinx-—解析：將函數式變形為y=3cF，只需求函數u=—的最值?把u看成兩點A（2，4），B（cosx，sinx）連線的斜率，（B即為單位圓上的點）,則當直線AB為單位圓的切線時，其斜率為最大或最小.設過A點的單位圓的切線方程為y-；=k（x-2），即kx-y+-2k=0.44

512.從而函數TOC\o"1-5"\h\zI--2kI3512.從而函數則圓心到切線的距離為￡=】，解得：‘-，k2=-3455最大值為y=x^=1；最小值為y=x（—）=--max34min3129九、利用二次函數的性質例25：設x例25：設x>0，y>0且x+2y=一，求當x、y為何值時，和最小值，并求出最大值和最小值.11解析：由x+2y=一，得x=一一2y???u=log”8（；-2y）y+4y2+1]=log”,（—12y2+4y+1）‘32‘314由x>0，y>0且x+2y=可得0<y<，從而1<-12y2+4y+1<（當43u=log丿（8xy+4y213+1）取得最大值y=0時左邊取1''=”號，y=時右邊取“=”號），由對數函數的圖象及其性質，即61141u=0.max當x=、y=時，u=logG-）；當x=、u=0.max66mm￡32例26:求函數y二3cosx-2-cos2x的最值.31解析：y=-cos2x+3cosx-1二：一2（cosx-才）2+瓦3故當cosx=4時，ymax二要使y有意義，必須有—cos2x+3cosx3故當cosx=4時，ymax二二芋；當cosx=一（或1）時，y=0.TOC\o"1-5"\h\z842min例27:求函數y=2-4msinx-cos2x的最值.解析：y=2-4msinx-（1-2sin2x）=2（sinx-m）2+1-2m2因為IsinxI<1，結合二次函數圖象及其性質：當me（一8，-1]時，y=3一4m，y=3+4m.maxmin當me[-1，0]時，y=3一4m，y=1-2m2.maxmin當me[0，1]時，y=3+4m，y=1-2m2.maxmin當me[1，+s）時，y=3+4m，y=3-4m.maxmin十、放縮法TOC\o"1-5"\h\z例28：若a、b、ceR+，且a+b+c=3，貝yja+1+^b+1+、：c+1的最大值是()(a+1)+2a+3解析:Pa+1?\2<—=——同理,?邁<字，、:E?迂<