高中排列組合知識點匯總及典型例題(全)高中排列組合知識點匯總及典型例題(全)高中排列組合知識點匯總及典型例題(全)V:1.0精細整理，僅供參考高中排列組合知識點匯總及典型例題(全)日期：20xx年X月一．基本原理1．加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數等于各類方法數相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數等于各步方法數相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復使用，求方法數時常用基本原理求解。二．排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一1.公式：1.2.(1)(2)；(3)三．組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不同的m元素中任取m個元素的組合數，記作Cn。1.公式：①；②；③；④若四．處理排列組合應用題1.①明確要完成的是一件什么事（審題）②有序還是無序③分步還是分類。2．解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：①直接法；②間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數原理得出結論。注意：分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：①元素分析法；②位置分析法。3．排列應用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優先考慮、特殊位置優先考慮；（3）．相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內部進行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團體”排列問題——采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）．數字問題（組成無重復數字的整數）①能被2整除的數的特征：末位數是偶數；不能被2整除的數的特征：末位數是奇數。②能被3整除的數的特征：各位數字之和是3的倍數；③能被9整除的數的特征：各位數字之和是9的倍數④能被4整除的數的特征：末兩位是4的倍數。⑤能被5整除的數的特征：末位數是0或5。⑥能被25整除的數的特征：末兩位數是25，50，75。⑦能被6整除的數的特征：各位數字之和是3的倍數的偶數。4．組合應用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:（2）．“含”與“不含”用間接排除法或分類法:3．分組問題：均勻分組：分步取，得組合數相乘，再除以組數的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數相乘，再除以均勻分組的組數的階乘。4．分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數，分步取，得組合數相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數的階乘。5．隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結果用數值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業廣告有A44種，從而應當填A22·A44＝48.從而應填48．例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1)甲排在最右端時,有種排法；(2)甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有種排法，乙有種排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=504種排法例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有A種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A·1=840種.1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.2．從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內，有種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內，有種選法；（4）如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法分析：本題考查利用種數公式解答與組合相關的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內的去掉，得到符合條件的選法數：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.1．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數為()A．40 B．50C．60 D．70[解析]先分組再排列，一組2人一組4人有Ceq\o\al(2,6)＝15種不同的分法；兩組各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10種不同的分法，所以乘車方法數為25×2＝50，故選B.2．有6個座位連成一排，現有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A．36種 B．48種C．72種 D．96種[解析]恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法，故選C.3．只用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有()A．6個 B．9個C．18個 D．36個[解析]注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選四個數字共有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有Aeq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(2,3)＝6(種)排法，所以共有3×6＝18(種)情況，即這樣的四位數有18個．4．男女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]設男生有n人，則女生有(8－n)人，由題意可得Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝30，解得n＝5或n＝6，代入驗證，可知女生為2人或3人．5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A．45種 B．36種C．28種 D．25種[解析]因為10÷8的余數為2，故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，那么共有Ceq\o\al(2,8)＝28種走法．6．某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A．24種 B．36種C．38種 D．108種[解析]本題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有Ceq\o\al(1,3)種分法，然后再分到兩部門去共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有Ceq\o\al(1,3)種方法，由分步乘法計數原理共有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＝36(種)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為()A．33 B．34C．35 D．36[解析]①所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1的有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12個；②所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1個1的有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝18個；③所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有2個1的有Ceq\o\al(1,3)＝3個．故共有符合條件的點的個數為12＋18＋3＝33個，故選A.8．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是()A．72 B．96C．108 D．144[解析]分兩類：若1與3相鄰，有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(個)，若1與3不相鄰有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個)故共有72＋36＝108個．9．如果在一周內(周一至周日)安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種[解析]先安排甲學校的參觀時間，一周內兩天連排的方法一共有6種：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任選一種為Ceq\o\al(1,6)，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學校參觀，安排方法有Aeq\o\al(2,5)種，按照分步乘法計數原理可知共有不同的安排方法Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(2,5)＝120種，故選C.10．安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________種．(用數字作答)[解析]先安排甲、乙兩人在后5天值班，有Aeq\o\al(2,5)＝20(種)排法，其余5人再進行排列，有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)排法，所以共有20×120＝2400(種)安排方法．11．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有________種不同的排法．(用數字作答)[解析]由題意可知，因同色球不加以區分，實際上是一個組合問題，共有Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝1260(種)排法．12．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數字作答)．[解析]先將6名志愿者分為4組，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有Aeq\o\al(4,4)種分法，故所有分配方案有：eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝1080種．13．要在如圖所示的花圃中的5個區域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區域不同色，有________種不同的種法(用數字作答)．[解析]5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法．若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72種．14.將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【解析】標號1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號共有種方法甲乙排中間,丙排7號或不排7號，共有種方法故共有1008種不同的排法排列組合二項式定理1，分類計數原理完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨立的完成這個事情）分步計數原理完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列

排列定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列數定義；從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素的所有排列的個數公式=規定0！=13，組合組合定義從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素的所有組合個數=性質=排列組合題型總結直接法1.特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數字組成無重復的四位數，試求滿足下列條件的四位數各有多少個（1）數字1不排在個位和千位（2）數字1不在個位，數字6不在千位。分析：（1）個位和千位有5個數字可供選擇，其余2位有四個可供選擇，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）當1在千位時余下三位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252二間接法當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252Eg有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數

分析：：任取三張卡片可以組成不同的三位數個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數-=432Eg三個女生和五個男生排成一排女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）兩端不能排女生兩端不能全排女生如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3在一個含有8個節目的節目單中，臨時插入兩個歌唱節目，且保持原節目順序，有多少中插入方法？

分析：原有的8個節目中含有9個空檔，插入一個節目后，空檔變為10個，故有=100中插入方法。捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1．四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（）,2，某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有（）（注意連續參觀2天，即需把30天種的連續兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是19所學校選28天進行排列）閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有種五平均分推問題eg6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發？

平均分成三堆，平均分給甲乙丙三人一堆一本，一堆兩本，一對三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應一種方案）一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1，分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種2，六本不同的書，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人就有x種3，5，合并單元格解決染色問題Eg如圖1，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數字作答）。分析：顏色相同的區域可能是2、3、4、5．下面分情況討論:(ⅰ)當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2