空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1考點一考點二考點三考點四考點五2返回目錄

1.平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

，則

叫做平面α的法向量.2.直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l∥α

.

方向向量a向量au·v=0a1a2+b1b2+c1c2=03返回目錄

3.設(shè)直線l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),則l⊥α

.若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，則α⊥β

.4.空間的角(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為u1和u2，l1與l2所成的角為α，則cosα=

.

u∥v(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0u⊥va1a2+b1b2+c1c2=0|cos<u1,u2>|4

(2)已知直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,l與α的夾角為α，則sinα=

.(3)已知二面角α—l—β的兩個面α和β的法向量分別為v,u,則<v,u>與該二面角

.5.空間的距離(1)一個點到它在一個平面內(nèi)

的距離，叫做點到這個平面的距離.(2)已知直線l平行平面α，則l上任一點到α的距離都

，且叫做l到α的距離.

返回目錄

|cos<v,u>|相等或互補(bǔ)正射影相等5(3)和兩個平行平面同時

的直線，叫做兩個平面的公垂線.公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的

.兩平行平面的任兩條公垂線段的長都相等，公垂線段的

叫做兩平行平面的距離，也是一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離.(4)若平面α的一個

為m，P是α外一點，A是α內(nèi)任一點，則點P到α的距離d=

.返回目錄

垂直公垂線段長度法向量6返回目錄

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，且PA=AD，E,F分別為線段AB,PD的中點.求證：(1)AF∥平面PEC;(2)AF⊥平面PCD.一用向量證明平行、垂直問題7返回目錄

【證明】以A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)AB=a,PA=AD=1,則P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,,).(1)AF=(0,,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),∴AF=EP+EC,又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.【分析】可用空間向量的坐標(biāo)運算來證明.8返回目錄

【評析】用向量證明線面平行時，最后應(yīng)說明向量所在的基線不在平面內(nèi).(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0),∴AF·PD=(0,,)·(0,1,-1)=0,AF·CD=(0,,)·(-a,0,0)=0,∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.9＊對應(yīng)演練＊如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱BB1,CD,AA1的中點.證明：(1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

10（1）以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為1.則DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C1M=(1,-1,-).設(shè)平面ADE的法向量為m=(a,b,c),則m·DA=0a=0m·DE=0a+b+c=0.令c=2，得m=(0,-1,2).∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,-)=0+1-1=0,∴C1M⊥m.又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.返回目錄

11(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-1),設(shè)平面A1D1F的法向量為n=(x,y,z),則n·D1A1=0x=0n·D1F=0y-z=0.令y=2，則n=(0,2,1).∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.返回目錄

12返回目錄

如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.(1)求DP與CC′所成角的大小；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解.二用向量求線線角與線面角13返回目錄

【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.則DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1).連接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.設(shè)DH=（m，m，1）（m＞0）,由已知<DH,DA>=60°,由DA·DH=|DA||DH|cos<DH,DA>,可得2m=.解得m=，所以DH=（，，1）.14返回目錄

（1）因為cos<DH,CC′>=所以<DH,CC′>=45°,即DP與CC′所成的角為45°.（2）平面AA′D′D的一個法向量DC=(0,1,0).因為cos<DH,DC>=所以<DH,DC>=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.15【評析】（1）異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2）直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.返回目錄

16返回目錄

＊對應(yīng)演練＊如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分別為CD,PB的中點.(1)求證：EF⊥平面PAB;(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小.17（1）證明：以D為原點，DC,DA,DP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=1,AB=a，則C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（,0,0）,B(a,1,0),F（,,）.∴EF=（0,,）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).∴EF·AB=0,EF·PA=0.∴EF⊥ABEF⊥PA返回目錄

EF⊥平面PAB.18返回目錄

(2)∵AB=BC,∴a=.從而AC=(,-1,0)，AE=（,-1,0）,EF=（0,,）.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0x-y=0n·EF=0y+z=0.令x=,則y=1,z=-1,∴平面AEF的一個法向量為n=(2,1,-1).設(shè)AC與平面AEF所成角為α,則sinα=|cos<AC,n>|=.∴AC與平面AEF所成角為arcsin.19返回目錄

如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB，點E,M分別圖為A1B,C1C的中點，過A1,B,M三點的平面A1BMN交C1D1于點N.(1)求證:EM∥平面A1B1C1D1;(2)求二面角B—A1N—B1的正切值.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求之比較簡單.三用向量求二面角20返回目錄

【解析】(1)證明:建立圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,AA1=a(a＞0)，則A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a).∵E為A1B的中點，M為CC1的中點,∴E（2a,a,）,M（0,2a,）.∴EM=(-2a,a,0).∴EM∥平面A1B1C1D1.21(2)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z).∵A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0,）,∴由n⊥A1B,n⊥BM，2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.∴令z=a,則n=（,,a）.而平面A1B1C1D1的法向量為n=(0,0,1)，設(shè)二面角為θ，則cosθ=又∵二面角為銳二面角,∴cosθ=從而tanθ=.即二面角B—A1N—B1的正切值為.得∴返回目錄

22返回目錄

【評析】第(2)問如果直接作二面角的平面角很復(fù)雜，采用法向量起到了化繁為簡的作用.這種求二面角的方法應(yīng)引起我們重視.需要注意的是兩平面法向量的夾角可能與所求的二面角相等，也可能與所求的二面角互補(bǔ)，要注意所求角的范圍.23返回目錄

＊對應(yīng)演練＊三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，（1）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A—CC1—B的大小.24（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），∵BD：DC=1：2，∴BD=BC,∴D點坐標(biāo)為（，，0）.∴AD=（，，0），BC=（-，2，0），AA1=(0,0,),∵BC·AA1=0，BC·AD=0，∴BC⊥AA1，BC⊥AD，又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD，又BC平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.返回目錄

25（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0）為平面ACC1A1的一個法向量，設(shè)平面BCC1B1的一個法向量為n=（l，m，n），則BC·n=0，CC1·n=0，-l+2m=0，l=m-m+n=0，n=m，取m=1，則n=（,1,），cos<m,n>=即二面A—CC1—B為arccos.返回目錄

∴∴26返回目錄

四用向量求距離在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.【分析】由平面SAC⊥平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本題可以取AC中點O為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.27返回目錄

【解析】取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）.28∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,),MB=(-1,,0).設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，CM·ｎ=3x+y=0MN·n=-x+z=0，則x=，y=-，∴n=（，-，1）.∴點B到平面CMN的距離d=.返回目錄

取z=1,則29【評析】點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平行平面間的距離、異面直線間的距離等都是高考考查的重點內(nèi)容，可以和多種知識相結(jié)合，是諸多知識的交匯點.本題考查了點到平面的距離和垂直、夾角問題，這是命題的方向，要給予高度重視.返回目錄

30＊對應(yīng)演練＊如圖示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.（1）求證：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的余弦值.（3）求點C到平面APB的距離.返回目錄

31（1）證明:∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.返回目錄

32（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中點E，連接BE，CE.∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角.∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),∴cos∠BEC=.∴二面角B—AP—C的余弦值為.返回目錄

33（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長即為點C到平面APB的距離.如（2）中建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵BH=2HE，∴點H的坐標(biāo)為（,,）.∴|CH|=.∴點C到平面APB的距離為.返回目錄

34五向量的綜合應(yīng)用如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.(1)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求證:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;(3)當(dāng)BE為何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.返回目錄

35【分析】(1)由EF是△PBC的中位線可得EF∥PC,從而可解答第(1)問.(2)可證AF與PE所在的平面垂直來證明第(2)問.也可轉(zhuǎn)化為證明AF·PE=0.(3)設(shè)出BE的長度,表示出平面PDE的法向量,從而利用求線面角的公式求出BE的長度.返回目錄

【解析】(1)證明:當(dāng)點E為BC的中點時,EF與平面PAC平行.∵在△PBC中,E,F分別為BC,PB的中點,∴EF∥PC.又EF平面PAC,而PC平面PAC,∴EF∥平面PAC.36(2)證明:以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(0,1,0),F（0,，）,D(,0,0).設(shè)BE=x,則E(x,1,0),∴PE·AF=(x,1,-1)·（0,,）=0.∴PE⊥AF.返回目錄

37(3)設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),m·PD=0m·PE=0,而AP=(0,0,1),依題意PA與平面PDE所成角為45°,∴sin45°=得BE=x=或BE=x=(舍).故BE=時,PA與平面PDE所成角為45°.返回目錄

得m=（,1-,1）.由38

【評析】(1)開放性問題是近幾年高考的一種常見題型.一般來說,這種題型依據(jù)題目特點,充分利用條件不難求解.(2)對于探索性問題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解問題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無解則不存在.返回目錄

39在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點.（1）求直線BE與A1C所成角的余弦值；（2）在線段AA1上是否存在點F，使CF平面B1DF？若不存在，求出︱AF︱，若不存在，請說明理由.＊對應(yīng)演練＊返回目錄

40（1）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為AC=2a，∠ABC=90°,所以AB=BC=