引言復數(shù)理論的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長而又艱難的歲月．復數(shù)是世紀人們在解代數(shù)方程時引入的．年，意大利數(shù)學物理學家（卡丹）在所著《重要的藝術(shù)》一書中列出將分成兩部分，使其積為的問題，即求方程的根，它求出形式的根為和，積為．但由于這只是單純從形式上推廣而來引進，并且人民原先就已斷言負數(shù)開平方是沒有意義的．因而復數(shù)在歷史上長期不能為人民所接受．“虛數(shù)”這一名詞就恰好反映了這一點．直到十八世紀，（達朗貝爾）：（歐拉）等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了系統(tǒng)的復數(shù)理論，從而使人民終于接受并理解了復數(shù)．復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是在十九世紀奠定的，主要是圍繞（柯西），（魏爾斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作進行的．到本世紀，復變函數(shù)論是數(shù)學的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域的不斷擴大而發(fā)展成龐大的一門學科，在自然科學其它（如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等）及數(shù)學的其它分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）中，復變函數(shù)論都有著重要應用．第一章§1復數(shù)了解復數(shù)的概念及復數(shù)的模與輻角；掌握復數(shù)的代數(shù)運算復數(shù)的乘積與商﹑冪與根運算.重點：德摩弗公式.難點：德摩弗公式.1．復數(shù)域形如或的數(shù)，稱為復數(shù)，其中和均是實數(shù)，稱為復數(shù)的實部和虛部，記為，，稱為虛單位．兩個復數(shù)，與相等，當且僅當它們的實部和虛部分別對應相等，即且虛部為零的復數(shù)可看作實數(shù)，即，特別地，，因此，全體實數(shù)是全體復數(shù)的一部分．實數(shù)為零但虛部不為零的復數(shù)稱為純虛數(shù)，復數(shù)和稱為互為共軛復數(shù)，記為或設(shè)復數(shù)，，則復數(shù)四則運算規(guī)定：容易驗證復數(shù)的四則運算滿足與實數(shù)的四則運算相應的運算規(guī)律．全體復數(shù)并引進上述運算后稱為復數(shù)域，必須特別提出的是，在復數(shù)域中，復數(shù)是不能比較大小的．２．復平面從上述復數(shù)的定義中可以看出，一個復數(shù)實際上是由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定．因此，如果我們把平面上的點與復數(shù)對應，就建立了平面上全部的點和全體復數(shù)間的一一對應關(guān)系．由于軸上的點和軸上非原點的點分別對應著實數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱軸為實軸，稱軸為虛軸，這樣表示復數(shù)的平面稱為復平面或平面．引進復平面后，我們在“數(shù)”與“點”之間建立了一一對應關(guān)系，為了方便起見，今后我們就不再區(qū)分“數(shù)”和“點”及“數(shù)集”和“點集”．3．復數(shù)的模與幅角由圖1.1中可以知道，復數(shù)與從原點到點所引的向量也構(gòu)成一一對應關(guān)系（復數(shù)對應零向量）．從而，我們能夠借助于點的極坐標和來確定點，向量的長度稱為復數(shù)的模，記為圖1.1顯然，對于任意復數(shù)均有，，另外，根據(jù)向量的運算及幾何知識，我們可以得到兩個重要的不等式（三角形兩邊之和第三邊，圖1.2）圖1.2（三角形兩邊之差第三邊，圖1.3）圖1.3與兩式中等號成立的幾何意義是：復數(shù)，分別與及所表示的三個向量共線且同向．向量與實軸正向間的夾角滿足稱為復數(shù)的幅角，記為由于任一非零復數(shù)均有無窮多個幅角，若以表示其中的一個特定值，并稱滿足條件的一個值為的主角或的主幅角，則有注意：當時，其模為零，幅角無意義．從直角坐標與極坐標的關(guān)系，我們還可以用復數(shù)的模與幅角來表示非零復數(shù)，即有同時我們引進著名的歐拉公式：則可化為與式分別稱為非零復數(shù)的三角形式和指數(shù)形式，由式幾指數(shù)性質(zhì)即可推得復數(shù)的乘除有因此，公式與說明：兩個復數(shù)，的乘積（或商），其模等于這兩個復數(shù)模的乘積（或商），其幅角等于這兩個復數(shù)幅角的和（或差）．特別當時可得此即說明單位復數(shù)乘任何數(shù)，幾何上相當于將此數(shù)所對應的向量旋轉(zhuǎn)一個角度．另外，也可把公式中的換成（某個特定值），若為主值時，則公式兩端允許相差的整數(shù)倍，即有公式可推廣到有限個復數(shù)的情況，特別地，當時，有當時，就得到熟知的德摩弗公式：例求及用與表示的式子解：4.曲線的復數(shù)方程例連接及兩點的線段的參數(shù)方程為過及兩點的直線（圖）的參數(shù)方程為例平面上以原點為心，為半徑的圓周的方程為平面上以為心，為半徑的圓周的方程為例平面上實軸的方程為，虛軸的方程為.§復平面上的點集平面點集的幾個基本概念;掌握區(qū)域的概念;了解約當定理.重點：區(qū)域的概念,約當定理.難點：區(qū)域的概念.幾個基本概念定義滿足不等式的所有點組成的平面點集（以下簡稱點集）稱為點的，記為．顯然，即表示以為心，以為半徑的圓的內(nèi)部定義設(shè)為平面上的一個點集，若平面上一點的任意鄰域內(nèi)巨有的無窮多個點，則稱為的內(nèi)點．定義若的每個聚點都屬于，則稱為閉集．若的所有點均為內(nèi)點，則稱為開集定義若，，均有則稱為有界集，否則稱為無界集．區(qū)域與約當曲線定義若非空點集滿足下列兩個條件：為開集．中任意兩點均可用全在中的折線連接起來，則稱為區(qū)域.定義若為區(qū)域的聚點且不是的內(nèi)點，則稱為的界點，的所有界點組成的點集稱為的邊界，記為，若，使得，則稱為的外點定義區(qū)域加上它的邊界稱為閉區(qū)域，記為有關(guān)區(qū)域的幾個例子例平面上以點為心，為半徑的圓周內(nèi)部（即圓形區(qū)域）：例平面上以點為心，為半徑的圓周及其內(nèi)部（即圓形閉區(qū)域）例與例所表示的區(qū)域都以圓周為邊界，且均為有界區(qū)域例上半平面下半平面它們都以實軸為邊界，且均為無界區(qū)域．左半平面右半平面它們都以虛軸為邊界，且均為無界區(qū)域．例圖1.4所示的帶形區(qū)域表為.其邊界為與，亦為無界區(qū)域．例圖所示的圓環(huán)區(qū)域表為其邊界為與，為有界區(qū)域．定義設(shè)及是兩個關(guān)于實數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，則由方程所確定的點集稱為平面上的一條連續(xù)曲線，稱為的參數(shù)方程，及分別稱為的起點和終點，對任意滿足及的與，若時有，則點稱為的重點；無重點的連續(xù)曲線，稱為簡單曲線（約當曲線）；的簡單曲線稱為簡單閉曲線．若在上時，及存在節(jié)不全為零，則稱為光滑（閉）曲線．定義由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線．定義（約當定理）任一簡單閉曲線將平面唯一地分為、、三個點集（圖1.5），它們具有如下性質(zhì)：圖1.5彼此不交．與一個為有界區(qū)域（稱為的內(nèi)部），另一個為無界區(qū)域（稱為的外部）若簡單折線的一個端點屬于，另一個端點屬于，則與必有交點．對于簡單閉曲線的方向，通常我們是這樣來規(guī)定的：當觀察這沿繞行一周時，的內(nèi)部（或挖）始終在的左方，即“逆時針”（或“順時針”）方向，稱為的正方向（或負方向）．定義設(shè)為復平面上的區(qū)域，若內(nèi)任意一條簡單閉曲線的內(nèi)部全含于，則稱為單連通區(qū)域，不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域．例如，例所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域，例所示的區(qū)域為多連通區(qū)域．（請讀者針對定義自己作圖思考）§復變函數(shù)理解復變函數(shù)的概念;了解復變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念.重點：復變函數(shù)的概念.難點：復變函數(shù)的幾何表示.復變函數(shù)概念定義設(shè)為一復數(shù)集，若存在一個對應法則，使得內(nèi)每一復數(shù)均有唯一（或兩個以上）確定的復數(shù)與之對應，則稱在上確定了一個單值（或多值）函數(shù)，稱為函數(shù)的定義域，值的全體組成的集合稱為函數(shù)的值域．例如，及均為單值函數(shù)，及均為多值函數(shù)．今后如無特別說明，所提到的函數(shù)均為單值函數(shù)．設(shè)是定義在點集上的函數(shù)，若令，則、均隨著、而確定，即、均為、的二元實函數(shù)，因此我們常把寫成若為指數(shù)形式，，則又可表為其中，均為、的二元實函數(shù)．由和兩式說明，我們可以把復變函數(shù)理解為復平面上的點集和復平面上的點集之間的一個對應關(guān)系（映射或變換），這是由于在復平面上我們不再區(qū)分“點”（點集）和“數(shù)”（數(shù)集）．故今后我們也不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換．復變函數(shù)的極限和連續(xù)性定義設(shè)于點集上有定義，為的聚點，若存在一復數(shù)，使得，，當時有則稱沿于有極限，記為定義的幾何意義是：對于，存在相應的，使得當落入的去心時，相應的就落入的．這就說明與的路徑無關(guān)．即不管在上從哪個方向趨于，只要落入的去心內(nèi)，則相應的就落入的內(nèi)，而在數(shù)學分析中，中只能在軸上沿著的左，右兩個方向趨于，這正是復分析與數(shù)學分析不同的根源．今后為了簡便起見，在不致引起混淆的地方，均寫成可以類似于數(shù)學分析中的極限性質(zhì)，容易驗證復變函數(shù)的極限具有以下性質(zhì)：若極限存在，則極限是唯一的．與都存在，則有另外，對于復變函數(shù)的極限與其實部和虛部的極限的關(guān)系問題，我們有下述定理：定理設(shè)函數(shù)于點集上有定義，為的聚點，則的充要條件及證明：因為從而由不等式可得及故由即可得必要性部分的證明．由可得充分性部分的證明．定義設(shè)于點集上有定義，為的聚點，且，若則稱沿于連續(xù)．根據(jù)定義，沿于連續(xù)就意味著：，，當時，有與數(shù)分中的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)相似，復變函數(shù)的連續(xù)性有如下性質(zhì)：若，沿集于點連續(xù)，則其和，差，積，商（在商的情形，要求分母不為零）沿點集于連續(xù)．若函數(shù)沿集于連續(xù)，且，函數(shù)沿集于連續(xù)，則復合函數(shù)沿集于連續(xù)．其次，我們還有定理設(shè)函數(shù)于點集上有定義,,則在點連續(xù)的充要條件為：,沿于點均連續(xù).事實上,類似于定理的證明,只要把其中的換成,換成即可得到定理的證明.例設(shè)試證在原點無極限,從而在原點不連續(xù).證明：設(shè),則因此故不存在,從而在原點不連續(xù).定義若函數(shù)在點集上每一點都連續(xù),則稱在上連續(xù),或稱為上的連續(xù)函數(shù).特別地,當為實軸上的區(qū)間時,則連續(xù)曲線就是上的連續(xù)函數(shù)其次,若為閉區(qū)域,則上每一點均為聚點,考慮其邊界上的點的連續(xù)性時,只能沿的點來取.與數(shù)學分析相同,在有界閉集上連續(xù)的伏辯函數(shù)具有以下性質(zhì)：在上有界,即,使得在上有最大值和最小值.在上一致連續(xù),即,使對上任意兩點,,只要就有復變小結(jié)1.幅角（不贊成死記，學會分析）-∏<argz≤∏Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z1/z2)=Argz1-Argz22.求根：由z==r(cos+isin)得==(cosn+isinn)當r=1時，=（*1）當w= （*2）例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解3.復函數(shù)：a.一般情況下：w=f(z),直接將z=x+iy代換求解但遇到特殊情況時：如課本P12例1.13（3）可考慮：z==r(cos+isin)代換。b.對于P12例題1.11可理解為高中所學的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.對于P15例題1.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達式后判斷正負號來確定其圖像。d.判斷函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是否連續(xù)可借助課本P17定義1.84.解析函數(shù)，指數(shù)，對數(shù)，冪、三角雙曲函數(shù)的定義及表達式，能熟練計算，能熟練解初等函數(shù)方程a.在某個區(qū)域內(nèi)可導與解析是等價的。但在某一點解析一定可導，可導不一定解析。b.柯西——黎曼條件，自己牢記:（注意那個加負那個不加）c.指數(shù)函數(shù):復數(shù)轉(zhuǎn)換成三角的定義。d.只需記?。篖nz=ln[z]+i(argz+2k)e.冪函數(shù)：底數(shù)為e時直接運算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）當?shù)讛?shù)不為e時，w==(冪指數(shù)為Ln而非ln)能夠區(qū)分： 的計算。f.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：只需記?。杭捌渌勺约涸囍ネ茖б幌隆７慈侵星叭齻€最好自己記住，特別因為下一章求積分會用到(如第三章的習題9)5.復變函數(shù)的積分a.注：只有當函數(shù)解析即滿足柯西-黎曼公式時求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:與路徑無關(guān)。而與路徑有關(guān)。b.柯西-古薩基本定理：當函數(shù)f(z)在以簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：重要公式c.柯西積分公式和高階導數(shù)公式及其應用于計算積分：d.調(diào)和函數(shù)：一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。6.級數(shù)a.熟知課本P59定理4.2及其推導（其中1最重要）性質(zhì)。b.阿貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。c.冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）d.泰勒級數(shù)：五個重要初等函數(shù)展開式：其余可由式：直接推導。（注意各展開式的[z]取值范圍）e.洛朗展開式:與泰