§5-3彎曲正應力及其強度條件一.彎曲正應力工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁縱向對稱面：梁的軸線與橫截面的對稱軸所構成的平 面 對稱彎曲：當作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線?！?-3彎曲正應力及其強度條件一.彎曲正應力工程中以彎曲1純彎曲純彎曲：

FQ=0,

M=const

橫力彎曲：

FQ≠0,M≠const

Q≈純彎曲純彎曲：橫力彎曲：Q≈2在橫截面上，只有法向內力元素dN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內力元素d=τdA才能合成剪力在橫截面上，只有法向內力元素dN=σdA才能合成3純彎曲時梁橫截面上的正應力從三方面考慮：變形幾何關系物理關系靜力學關系1、變形幾何關系

純彎曲時梁橫截面上的正應力從三方面考慮：變形幾何關系物理關系4材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件5(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變為弧線的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。梁在純彎曲時的平面假設：梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。觀察到以下變形現象:(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長觀察到以下變形現6

再作單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態。推論：梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸再作單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓7中性層中性軸中性層中性層中性軸中性層8材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件92、物理關系正應力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應力為零(中性層y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量計算：1）由于中性軸z的位置未確定，故y無法標定；2）式中未知.（若已知M，與M有何關系？）2、物理關系正應力與它到中性層的距離成正比，中性層103、靜力學關系設中性軸為zyz橫截面對Z軸的靜矩M3、靜力學關系設中性軸為zyz橫截面對Z軸的靜矩M11令：截面對yz軸的慣性積截面對z軸的慣性矩由于y為對稱軸,上式自然滿足。令：截面對yz軸的慣性積截面對z軸的慣性矩由于y為對稱軸,12正應力計算公式：中性軸過截面形心中性層的曲率公式：正應力計算公式：中性軸過截面形心中性層的曲率公式：131）沿y軸線性分布，同一坐標y處，正應力相等。中性軸上正應力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區域。3）最大正應力發生在距中性軸最遠處。1）沿y軸線性分布，同一2）中性軸將截面分為受3）最大正應力14當中性軸是橫截面的對稱軸時：橫截面上的最大正應力：Wz抗彎截面模量當中性軸是橫截面的對稱軸時：橫截面上的最大正應力：Wz抗彎15

公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設，橫截面具有一對稱軸）

2）p(材料服從胡克定律）

對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產生剪切變形，使橫截面發生翹曲，不再保持為平面。彈性力學精確分析結果指出：當梁的跨高比大于5時，剪應力和擠壓應力對彎曲正應力的影響甚小，可以忽略不計。因此由純彎曲梁導出的正應力計算公式，仍可以應用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過1%。橫力彎曲時，彎矩不再是常量。公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設，橫截面具16圓環：Dyzd復習圓環：Dyzd復習17材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件18例11：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當最大正應力為最小時的支座位置。alaq⊕解：作彎矩圖支座位置a直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩值。當中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應力相等時，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對值為最小，從而使其最大正應力為最小。取有效值例11：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當最大正應力19二.梁的正應力強度條件強度條件：等直梁強度條件

對于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應力和許用彎曲壓應力兩個數值。強度條件為：請注意：梁的最大工作拉應力和最大工作壓應力有時并不發生在同一截面上。二.梁的正應力強度條件強度條件：等直梁強度條件對20一般情況下，許用彎曲正應力比許用拉(壓)應力略高。因為彎曲時除截面外邊緣達到最大正應力外，其余各處應力較小。而軸向拉(壓)時，截面上的應力是均勻分布的。

利用強度條件可以進行三方面的強度計算：1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核梁的強度。2、已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的截面尺寸。3、已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷。一般情況下，許用彎曲正應力比許用拉(壓)應力略高。因21例12：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？例12：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖22解：解：23例13：矩形截面梁當橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時，從正應力強度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？解：由公式可以看出，該梁的承載能力將是原來的2倍。例13：矩形截面梁當橫截面的高度增加一倍，寬度減24例14：主梁AB，跨度為L，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？例14：主梁AB，跨度為L，采用加副梁CD的方法提高承載能力25ABPaCD主梁AB副梁CDMM解：ABPaCD主梁AB副梁CDMM解：26主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由得主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由得27例15：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別為［σ+］和［σ-］，則y1和y2的最佳比值為多少?(Ｃ為截面形心)

例15：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別28解：解：29例16：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=160MPa，校核該梁的強度。

例16：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=130解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全31例17：圖示三種截面梁，材質、截面內Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經濟。

例17：圖示三種截面梁，材質、截面內Ｍmax、σmax全相同32解：由題意可知即解：由題意可知即33例18：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σ+]=30MPa，許用壓應力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強度。例18：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σ+]=30MPa，許用壓34C截面：B截面：滿足強度要求本題和可不必計算為什么？C截面：B截面：滿足強度要求本題和可不必計算為什么？35例19：簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。例19：簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=36解：C點的應力C截面的彎矩由得解：C點的應力C截面的彎矩由得37例20：簡支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應變片，已知材料的E=200GPa，試問該應變片所測得的應變值應為多大？

例20：簡支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應變片，已知38解：C截面下邊緣的應力C截面的彎矩應變值解：C截面下邊緣的應力C截面的彎矩應變值39例21：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。例21：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=140解：解：41例22：我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

（使Wz最大）例22：我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=42解：由此得≈3:2解：由此得≈3:243例23:跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖示，已知材料許用拉、壓應力分別為和試根據截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的一個參數，并校核此梁的強度。BAP=80KN1m2m22060220解：設z軸過形心最為合理時z例23:跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖示，已知材料許用拉、壓應44BAP=80KN1m2m22060220z

=24mm＜梁滿足強度要求還需校核最大工作壓應力嗎？BAP=80KN1m2m22060220z=24mm＜45例24:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：

(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。P=20KN解:作彎矩圖由強度條件(1)矩形b=6cmh=12cm(2)圓形d≈11.3cm(3)工字形查型鋼表，取16號工字鋼例24:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。試在下46工字形截面最省料，圓形截面最費料。

你知道為什么嗎？合理選擇截面形狀是梁設計中的一個重要問題

本題中，工字形截面的彎曲截面系數略小于臨界值，其最大工作應力將略大于許用應力，但不超過5%，這在工程中是允許的。工字形截面最省料，圓形截面最費料。

你知道為什么嗎47例25：一槽形截面鑄鐵梁，試求梁的許可荷載已知b=2m,FCBDAbbb12040180y2020解:求出中性軸位置作彎矩圖z86134⊕Fb/2Fb/4分析可知，不論截面B或截面C，梁的強度均由最大拉應力控制例25：一槽形截面鑄鐵梁，試求梁的許可荷載已知b=2m,FC48§5-3彎曲正應力及其強度條件一.彎曲正應力工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁縱向對稱面：梁的軸線與橫截面的對稱軸所構成的平 面 對稱彎曲：當作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線。§5-3彎曲正應力及其強度條件一.彎曲正應力工程中以彎曲49純彎曲純彎曲：

FQ=0,

M=const

橫力彎曲：

FQ≠0,M≠const

Q≈純彎曲純彎曲：橫力彎曲：Q≈50在橫截面上，只有法向內力元素dN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內力元素d=τdA才能合成剪力在橫截面上，只有法向內力元素dN=σdA才能合成51純彎曲時梁橫截面上的正應力從三方面考慮：變形幾何關系物理關系靜力學關系1、變形幾何關系

純彎曲時梁橫截面上的正應力從三方面考慮：變形幾何關系物理關系52材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件53(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變為弧線的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。梁在純彎曲時的平面假設：梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。觀察到以下變形現象:(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長觀察到以下變形現54

再作單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態。推論：梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸再作單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓55中性層中性軸中性層中性層中性軸中性層56材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件572、物理關系正應力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應力為零(中性層y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量計算：1）由于中性軸z的位置未確定，故y無法標定；2）式中未知.（若已知M，與M有何關系？）2、物理關系正應力與它到中性層的距離成正比，中性層583、靜力學關系設中性軸為zyz橫截面對Z軸的靜矩M3、靜力學關系設中性軸為zyz橫截面對Z軸的靜矩M59令：截面對yz軸的慣性積截面對z軸的慣性矩由于y為對稱軸,上式自然滿足。令：截面對yz軸的慣性積截面對z軸的慣性矩由于y為對稱軸,60正應力計算公式：中性軸過截面形心中性層的曲率公式：正應力計算公式：中性軸過截面形心中性層的曲率公式：611）沿y軸線性分布，同一坐標y處，正應力相等。中性軸上正應力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區域。3）最大正應力發生在距中性軸最遠處。1）沿y軸線性分布，同一2）中性軸將截面分為受3）最大正應力62當中性軸是橫截面的對稱軸時：橫截面上的最大正應力：Wz抗彎截面模量當中性軸是橫截面的對稱軸時：橫截面上的最大正應力：Wz抗彎63

公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設，橫截面具有一對稱軸）

2）p(材料服從胡克定律）

對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產生剪切變形，使橫截面發生翹曲，不再保持為平面。彈性力學精確分析結果指出：當梁的跨高比大于5時，剪應力和擠壓應力對彎曲正應力的影響甚小，可以忽略不計。因此由純彎曲梁導出的正應力計算公式，仍可以應用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過1%。橫力彎曲時，彎矩不再是常量。公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設，橫截面具64圓環：Dyzd復習圓環：Dyzd復習65材料力學__彎曲正應力及其強度條件課件66例11：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當最大正應力為最小時的支座位置。alaq⊕解：作彎矩圖支座位置a直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩值。當中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應力相等時，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對值為最小，從而使其最大正應力為最小。取有效值例11：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當最大正應力67二.梁的正應力強度條件強度條件：等直梁強度條件

對于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應力和許用彎曲壓應力兩個數值。強度條件為：請注意：梁的最大工作拉應力和最大工作壓應力有時并不發生在同一截面上。二.梁的正應力強度條件強度條件：等直梁強度條件對68一般情況下，許用彎曲正應力比許用拉(壓)應力略高。因為彎曲時除截面外邊緣達到最大正應力外，其余各處應力較小。而軸向拉(壓)時，截面上的應力是均勻分布的。

利用強度條件可以進行三方面的強度計算：1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核梁的強度。2、已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的截面尺寸。3、已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷。一般情況下，許用彎曲正應力比許用拉(壓)應力略高。因69例12：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？例12：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖70解：解：71例13：矩形截面梁當橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時，從正應力強度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？解：由公式可以看出，該梁的承載能力將是原來的2倍。例13：矩形截面梁當橫截面的高度增加一倍，寬度減72例14：主梁AB，跨度為L，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？例14：主梁AB，跨度為L，采用加副梁CD的方法提高承載能力73ABPaCD主梁AB副梁CDMM解：ABPaCD主梁AB副梁CDMM解：74主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由得主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由得75例15：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別為［σ+］和［σ-］，則y1和y2的最佳比值為多少?(Ｃ為截面形心)

例15：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別76解：解：77例16：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=160MPa，校核該梁的強度。

例16：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=178解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全79例17：圖示三種截面梁，材質、截面內Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經濟。

例17：圖示三種截面梁，材質、截面內Ｍmax、σmax全相同80解：由題意可知即解：由題意可知即81例18：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σ+]=30MPa，許用壓應力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強度。例18：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σ+]=30MPa，許用壓82C截面：B截面：滿足強度要求本題和可不必計算為什么？C截面：B截面：滿足強度要求本題和可不必計算為什么？83例19：簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。例19：簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=84解：C點的應力C截面的彎矩由得解：C點的應力C截面的彎矩由得85例20：簡支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應變片，已知材料的E=200GPa，試問該應變片所測得的應變值應為多大？

例20：簡支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應變片，已知86解：C截面下邊緣的應力C截面的彎矩應變值解：C截面下邊緣的應力C截面的彎矩應變值87例21：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。例21：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=188解：解：