理論力學(xué)課程導(dǎo)學(xué)靜力學(xué)基本概念和物體的受力分析平面力系平面力系平衡方程的應(yīng)用空間力系運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理第一章靜力學(xué)基本概念和物體的受力分析內(nèi)容提要一、基本概念1.力物體間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的形狀（內(nèi)效應(yīng)或變形效應(yīng)）和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（外效應(yīng)或運(yùn)動(dòng)效應(yīng)）發(fā)生改變。2.剛體任何情況下都不會(huì)發(fā)生變形的物體。剛體是力學(xué)中的一種理想化模型。3.平衡物體相對(duì)于慣性參考系靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。4.等效力系作用于物體且效應(yīng)（外效應(yīng)）相同的力系。二、靜力學(xué)公理1.二力平衡公理作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體處于平衡狀態(tài)的充分與必要條件是：這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。2.加減平衡力系公理在作用于剛體上的已知力系中，加上或減去任一平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。3.力的平行四邊形法則作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，其合力也作用在該點(diǎn)上，至于合力的大小和方向則由以這兩個(gè)力為邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來表示，而該兩個(gè)力稱為合力的分力。4.作用與反作用定律兩物體間相互作用的力總是等值、反向、共線且分別作用在這兩個(gè)物體上。5.剛化公理變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體置換為剛體，則平衡狀態(tài)保持不變。三、兩個(gè)推論1.力的可傳性原理作用于剛體上的力，其作用點(diǎn)可以沿作用線移動(dòng)而不改變它對(duì)該剛體的作用效果。2.三力平衡匯交定理若剛體受三個(gè)力作用而處于平衡，若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則第三個(gè)力的作用線也必定匯交于同一點(diǎn)，而且三個(gè)共面。四、約束、約束反力及常見的約束類型1.約束限制物體運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。2.約束反力約束施加于被約束物體的作用力稱為約束反力。3.常見的約束類型柔體約束；光滑的點(diǎn)、面、線約束；光滑鉸鏈約束；軸承約束；固定端約束。五、物體的受力圖及受力分析的步驟1.物體的受力圖表示物體所受全部外力（包括主動(dòng)力和約束力）的簡圖。受力圖是求解靜力學(xué)問題的依據(jù)。2.受力分析的步驟和注意事項(xiàng)：（1）明確研究對(duì)象，將研究對(duì)象從它周圍物體的約束中分離出來，單獨(dú)畫出其簡圖；（2）畫出研究對(duì)象所受的一切主動(dòng)力和約束反力；（3）約束力要符合約束的類型及其性質(zhì)；（4）當(dāng)分別畫兩個(gè)相互作用物體的受力圖時(shí)，要注意作用力和反作用力的關(guān)系；（5）通常應(yīng)先找出二力構(gòu)件，畫出它的受力圖，然后再畫其它物體的受力圖。

第二章平面基本力系內(nèi)容提要平面基本力系包括平面匯交力系和平面力偶系。一、平面匯交力系的合成與平衡1．力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿坐標(biāo)軸的分解（１）力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦，如圖2-1-1-1所示，它；(2-1)圖2-1-1-1圖2-1-2-（２）力沿坐標(biāo)軸的分解力沿坐標(biāo)軸的分力是一矢量，其合力與分力之間應(yīng)滿足力的平行四邊形法則。如圖2-1-2-1；(2-2)當(dāng)時(shí)，有；(2-3)由此可見，在一般情況下，力沿坐標(biāo)軸分解的分力的大小不等于力在坐標(biāo)軸上投影的大小。只有在直角坐標(biāo)系中，力在軸上的投影才與力沿該軸上的分量大小相等。如圖2-1-3圖2-1-（３）合力投影定理合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，即；(2-4)當(dāng)投影軸x與y垂直時(shí)，其合力的大小與方向?yàn)椋?2-5)2．平面匯交力系的合成（１）幾何法合力矢是力多邊形的封閉邊，合力作用線通過力系的匯交點(diǎn)。(2-6)（２）解析法當(dāng)兩坐標(biāo)軸間的夾角為時(shí)有(2-7)；(2-8)3．平面匯交力系的平衡（１）平衡的幾何條件力多邊形自行封閉。（２）平衡的解析條件力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，即；(2-9)上式稱為平面匯交力系的平衡方程。二、平面力偶系的合成與平衡1.力對(duì)點(diǎn)之矩（１）力對(duì)點(diǎn)之矩的概念力對(duì)點(diǎn)之矩（簡稱力矩）是力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，它在平面問題中是一代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力的作用線到矩心的垂直距離的乘積。其正負(fù)規(guī)定為：若力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。如圖2-2-1-1面積(2-10)圖2-2-1（２）力對(duì)點(diǎn)之矩的解析式設(shè)力的作用點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)坐標(biāo)為、，矩心C的坐標(biāo)為、，力在正交坐標(biāo)軸上的投影、，則力對(duì)矩心Ｃ的矩為(2-11)如圖2-2-1-1（３）合力矩定理合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即(2-12)2．力偶的性質(zhì)及等效定理（１）力偶無合力，即力偶不能與力等效，也不能與力平衡。（２）只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)或者改變力和力偶臂的大小，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。（３）作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶彼此等效的充要條件是這兩個(gè)力偶轉(zhuǎn)向相同和力偶矩的大小也相同。3．平面力偶系的合成平面力偶系的合成結(jié)果仍然為一力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。即(2-13)4．平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即(2-14)上式稱為平面力偶系的平衡方程。三、平面任意力系向一點(diǎn)簡化1.力線平移定理作用在剛體上的力的作用線向剛體上某點(diǎn)平移時(shí)，必須附加一力偶，該附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)該平移點(diǎn)之矩。2．力系的主矢和主矩（１）力系的主矢力系中各力的矢量和稱為力系的主矢，即(2-15)（２）力系對(duì)簡化中心的主矩力系中各力對(duì)簡化中心的矩的代數(shù)和稱為力系對(duì)簡化中心的主矩。即(2-16)在一般情況下，主矢不隨簡化中心改變而變化，而主矩將隨簡化中心的位置改變而變化。3．平面任意力系向一點(diǎn)簡化根據(jù)力線平移定理，可將作用在剛體上的平面任意力系向力系所在的平面內(nèi)任一點(diǎn)（簡化中心）簡化，得到一個(gè)作用在簡化中心的平面匯交力系和一平面力偶系，進(jìn)而可以合成為一個(gè)力和一個(gè)力偶，該力矢等于原力系的主矢，該力偶矩等于原力系對(duì)簡化中心的主矩。4．平面任意力系的簡化結(jié)果（１），，此種情況下主矩與簡化中心位置無關(guān)。（２），。合力=，此時(shí)主矢就是合力。（3），，此種情況可進(jìn)一步簡化為第二種情況。（4），，此種情況為平面任意力系的平衡條件。二、平面任意力系的平衡方程１．一矩式平衡方程；；(2-17)２．二矩式平衡方程；；(2-18)其中、兩點(diǎn)的連線不能與投影軸垂直。３．三矩式平衡方程；；(2-19)其中、、三點(diǎn)不能在同一直線上。三、特殊情況下的平衡方程１．平面平行力系的平衡方程；(2-20)軸不能與各力相垂直。；(2-21)矩心、的連線不能與各力作用線平行。２．平面匯交力系的平衡方程有以下三種形式；(2-22)；(2-23)軸不能與匯交點(diǎn)和矩心的連線相垂直。；(2-24)矩心、與匯交點(diǎn)不能共線。

第三章平面力系平衡方程的應(yīng)用內(nèi)容提要一、物體系統(tǒng)的平衡、靜定與靜不定概念１．物體系統(tǒng)的平衡（１）外力系統(tǒng)外任何物體作用于該系統(tǒng)的力稱為這個(gè)系統(tǒng)的外力。（２）內(nèi)力所研究的系統(tǒng)內(nèi)部各物體間相互作用的力稱為內(nèi)力，內(nèi)力總是成對(duì)地作用于同一系統(tǒng)上。因此，當(dāng)取系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，不必考慮這些內(nèi)力。（３）物體系統(tǒng)的獨(dú)立的平衡方程總數(shù)設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)物體組成。其中n１個(gè)物體受平面任意力系作用；n２個(gè)物體受平面匯交力系作用；n３個(gè)物體受平面平行力系作用；n４個(gè)物體受平面力偶系作用。則系統(tǒng)能夠列寫出的獨(dú)立的平衡方程的最大數(shù)目k為（其中二力構(gòu)件不算在內(nèi)）２．靜定與靜不定概念（１）靜定系統(tǒng)系統(tǒng)中所有未知量的總數(shù)小于或等于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的總數(shù)時(shí)，稱這系統(tǒng)為靜定系統(tǒng)。這類系統(tǒng)僅應(yīng)用剛體的靜力平衡條件，就可以求得全部未知量的解。（２）靜不定系統(tǒng)系統(tǒng)中所有未知量的總數(shù)大于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的總數(shù)時(shí)，稱這系統(tǒng)為靜不定系統(tǒng)或超靜定系統(tǒng)。這類問題僅應(yīng)用剛體的靜力平衡條件，不能求得全部未知量的解。3．物體系統(tǒng)的平衡問題常見的物體系統(tǒng)的平衡問題有三類，即（1）構(gòu)架；（2）多跨靜定梁；（3）三鉸拱。這三類問題都有其相應(yīng)的求解特點(diǎn)，在求解過程中能總結(jié)歸納。在求解這三類問題時(shí)通常要注意以下情況，如固定端約束、鉸上受力、分布荷載計(jì)算、二力構(gòu)件等。二、滑動(dòng)摩擦兩個(gè)相互接觸的物體，當(dāng)它們發(fā)生沿接觸面的相互滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，彼此間產(chǎn)生阻礙這個(gè)運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。１．靜滑動(dòng)摩擦力（１）方向與兩物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢方向相反。（２）大小由靜力平衡方程確定，且有(3-1)其中為最大靜滑動(dòng)摩擦力。２．最大靜滑動(dòng)摩擦力當(dāng)物塊處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力達(dá)到最大值。最大靜滑動(dòng)摩擦力與物體對(duì)支承面的正壓力成正比，即(3-2)其中稱為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，為無量綱常數(shù)，其值與相互接觸表面的材料、粗糙度、濕度、溫度等有關(guān)，一般由實(shí)驗(yàn)的方法測定。３．摩擦角與自鎖現(xiàn)象（１）全反力支承面的反力包括了兩個(gè)分量，即法向反力與靜滑動(dòng)摩擦力，這兩個(gè)力的合力稱為全反力，即(3-3)（２）摩擦角在臨界狀態(tài)下，全反力達(dá)到極值，該狀態(tài)下的全反力與支承面在接觸點(diǎn)的法線間的夾角稱為摩擦角，并且有(3-4)此式說明，摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。（３）自鎖現(xiàn)象如果作用于物體的主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角以內(nèi)，則不論這個(gè)力多大，物體總能保持靜止?fàn)顟B(tài)，這種現(xiàn)象稱為自鎖。４．動(dòng)滑動(dòng)摩擦當(dāng)兩物體接觸表面有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力。（１）動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)滑動(dòng)的速度方向相反。（２）動(dòng)摩擦力的大小與兩物體接觸間的正壓力成正比，即(3-5)其中稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，簡稱動(dòng)摩擦因數(shù)。在一般情況下，動(dòng)摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即三、滾動(dòng)摩阻當(dāng)一物體沿另一物體表面滾動(dòng)或具有滾動(dòng)趨勢時(shí)，除可能受到滑動(dòng)摩擦力外，還要受到一個(gè)阻力偶的作用，這個(gè)阻力偶稱為滾動(dòng)摩阻。１．滾動(dòng)摩阻（１）方向與相對(duì)滾動(dòng)方向或相對(duì)滾動(dòng)趨勢方向相反。（２）大小由平衡方程式確定，且滾阻力偶矩滿足(3-6)其中Ｍmax為滾阻力偶矩的最大值。２．滾阻力偶矩的最大值當(dāng)物體處于滾動(dòng)平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，滾阻力偶矩將將達(dá)到最大值。滾阻力偶矩的最大值與兩物體間的法向正壓力成正比，即(3-7)其中稱為滾阻系數(shù)，具有長度的量綱，其值可由實(shí)驗(yàn)的方法測定。四、具有摩擦的平衡問題的解題方法在具有摩擦的情況下，由靜力平衡方程和摩擦的物理方程聯(lián)合求解。一般說來有以下三種類型：１．判斷物體所處的狀態(tài)它是處于靜止、臨界或是滑動(dòng)情況中的哪一種。當(dāng)它們處于靜止或臨界平衡狀態(tài)時(shí)，還必須分析其運(yùn)動(dòng)趨勢，滑動(dòng)摩擦力和滾阻力偶必須與相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滾動(dòng)的趨勢方向相反。（１）靜止?fàn)顟B(tài)由靜力平衡方程確定摩擦力。（２）臨界平衡狀態(tài)由靜力平衡方程和式(3-2)或式(3-7)聯(lián)立求解，但必須正確分析摩擦力（包括滾阻力偶）的方向。（３）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其滑動(dòng)摩擦力為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。２．求具有摩擦?xí)r物體能保持靜止的條件由于靜滑動(dòng)摩擦力的大小可以在一定范圍內(nèi)變化，所以物體有一平衡范圍，這個(gè)平衡范圍有時(shí)是用幾何位置、幾何尺寸來表示的，有時(shí)是用力來表示的。３．求解物體處于臨界狀態(tài)時(shí)的平衡問題摩擦力由式(3-2)確定，結(jié)合靜力平衡方程式，可得到唯一解答。在求解方法上，一般有解析法和幾何法兩種，或者兩種方法的混合使用。第四章空間力系內(nèi)容提要一、空間匯交力系１．空間匯交力系的合成（１）空間力在坐標(biāo)軸上的投影①一次投影法如圖4-1-1-1所示，若已知力與三個(gè)坐標(biāo)軸正向間的夾角分別為、和，則力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為；；；(4-1)如已知力的三個(gè)投影，可以求出力的大小和方向，即大小：(4-2)方向：；；(4-3)②二次投影法已知力與坐標(biāo)面的仰角以及力在平面上的投影與軸間的夾角，則力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，，，如圖4-1-1-2所示。圖4-1-1-1圖4-1-1（２）合力投影定理合力在某軸上的投影，等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。即(4-4)同理，(4-5)（３）空間匯交力系的合成空間匯交力系可以合成為一個(gè)合力，該合力的作用線通過力系的公共作用點(diǎn)，合力的大小和方向?yàn)?4-6)；；(4-7)２．空間匯交力系的平衡（１）空間匯交力系的平衡條件空間匯交力系平衡的充要條件是合力等于零，即(4-8)（２）空間匯交力系的平衡方程根據(jù)平衡條件，可得到空間匯交力系的平衡方程為；；(4-9)二、空間力偶系１．空間力偶理論（１）空間力偶的等效條件作用在同一平面內(nèi)或平行平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等，且力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶彼此等效。（２）力偶對(duì)剛體作用的三要素力偶矩的大小；力偶作用面的方位；力偶的轉(zhuǎn)向。（３）力偶矩矢用一矢量來表示力偶對(duì)剛體作用的三要素，矢量的模表示力偶矩的大小，矢量的方位與力偶作用面的法線方位相同，矢量的指向與力偶的轉(zhuǎn)向關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。力偶矩矢是一自由矢量。２．空間力偶系的合成與平衡（１）空間力偶系的合成空間力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即(4-10)合力偶矩矢在某一坐標(biāo)軸上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和，即(4-11)(4-12)(4-13)則得合力偶矩矢的大小和方向?yàn)?4-14)；；(4-15)（２）空間力偶系的平衡空間力偶系平衡的充要條件是合力偶矩矢等于零，即(4-16)空間力偶系的平衡方程：；；(4-17)三、空間任意力系1．空間力對(duì)點(diǎn)之矩和對(duì)軸之矩（1）空間力對(duì)點(diǎn)之矩在空間情況下，力對(duì)點(diǎn)之矩是一矢量，可用下式表示：(4-18)其中是矩心到力作用點(diǎn)的矢徑，x、y和z是力作用點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，、、是力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。（2）空間力對(duì)軸之矩空間力對(duì)軸之矩是一代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)按右手螺旋規(guī)則來確定，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)此平面與該軸的交點(diǎn)的矩，即(4-19)除按定義計(jì)算外，也可用以下幾種方法計(jì)算力對(duì)軸之矩：①若以知力在坐標(biāo)軸上的投影、和及該力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)、、，則力對(duì)各坐標(biāo)軸的矩可表示為(4-20)這三式也稱為力對(duì)軸之矩的解析式。②根據(jù)力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之距的關(guān)系，即力對(duì)某軸之矩等于力對(duì)該軸上任一點(diǎn)的矩矢在這軸上的投影，有(4-21)此關(guān)系如圖4-3-1（3）根據(jù)力對(duì)軸之矩來計(jì)算力對(duì)點(diǎn)之矩如已經(jīng)算出力對(duì)各坐標(biāo)軸之矩、和，且當(dāng)、、互為正交時(shí)，則力對(duì)點(diǎn)之矩的大小為(4-22)方向?yàn)?4-23)2．空間任意力系的簡化、合成與平衡（1）空間任意力系的簡化、力系的主矢與主矩空間任意力系向任一點(diǎn)（簡化中心）簡化后，一般可得作用于點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力的力矢稱為該力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，即(4-24)主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。這個(gè)力偶矩的矩矢稱為力系對(duì)簡化中心的主矩，它等于力系中各力對(duì)簡化中心的矩的矢量和，即(4-25)主矩的大小和轉(zhuǎn)向一般隨簡化中心的位置改變而變化。（2）空間任意力系的合成結(jié)果空間任意力系的最后合成結(jié)果可能是一個(gè)合力，或一個(gè)合力偶，或一個(gè)力螺旋或力系平衡。（3）空間任意力系的平衡空間任意力系平衡的充要條件是力系的主矢以及對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零，即，(4-26)由此可以得到空間任意力系的平衡方程：；；；；(4-27)

第五章運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容提要一、研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種基本方法1．矢量法運(yùn)動(dòng)方程(5-1)速度(5-2)加速度(5-3)2．直角坐標(biāo)法運(yùn)動(dòng)方程(5-4)速度(5-5)(5-6)加速度(5-7)(5-8)3．自然法運(yùn)動(dòng)方程(5-9)速度(5-10)加速度(5-11)二、三種基本方法的特點(diǎn)1．矢量法矢量法中可用一個(gè)式子同時(shí)表示運(yùn)動(dòng)參數(shù)的大小和方向，因此表達(dá)簡明、直接，常用于理論推導(dǎo)。2．直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法是一般常用的計(jì)算方法，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知的情況下，可以寫出其運(yùn)動(dòng)方程，并求得其速度和加速度。因此，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知時(shí)，常選用此方法。3．自然法自然法的特點(diǎn)是結(jié)合軌跡來確定沿軌跡運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，當(dāng)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用這種方法較方便。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡已知時(shí)，常用此方法。三、點(diǎn)的幾種特殊運(yùn)動(dòng)1．勻速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)＝常數(shù)，而時(shí)，點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)(5-12)2．勻速曲線運(yùn)動(dòng)當(dāng)＝常數(shù)，而時(shí)，點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)(5-13)3．勻變速曲線運(yùn)動(dòng)當(dāng)＝常數(shù)時(shí)，點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)(5-14)(5-15)(5-16)與同號(hào)，為勻加速運(yùn)動(dòng)；與異號(hào)，為勻減速運(yùn)動(dòng)。四、剛體的平動(dòng)1．剛體的平動(dòng)定義剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上任一直線始終保持平行于它的初始位置，稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的平行移動(dòng)，簡稱平動(dòng)。若平動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡是直線，則稱剛體作直線平動(dòng)；若平動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡是曲線，則稱剛體作曲線平動(dòng)。2．剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征（1）剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同并彼此平行；（2）在每一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相等；（3）在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的加速度也相等。因此，剛體的平動(dòng)可以簡化為一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來研究。五、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定義剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其上（或其延展部分）有一條直線始終保持不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)均在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)。3．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)方程（5-17）角速度（5-18）角加速度（5-19）此處與都是代數(shù)量，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)與異號(hào)時(shí)，剛體做減速轉(zhuǎn)動(dòng)。4．兩種特殊轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（＝常數(shù)）：（5-20）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（，＝常數(shù)）：（5-21）5．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度速度（5-22）加速度，（5-23）全加速度大小和方向（5-24）（5-25）6．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)速度和加速度的矢積表示若沿轉(zhuǎn)軸作出剛體的角速度矢和角加速度矢，則定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度（5-26）加速度（5-27）7．定軸輪系的傳動(dòng)比（5-28）對(duì)于外嚙合，兩輪的轉(zhuǎn)向相反；對(duì)于內(nèi)嚙合，兩輪的轉(zhuǎn)向相同。第六章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)內(nèi)容提要一、基本概念１．靜坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系（１）靜坐標(biāo)系在分析問題過程中，認(rèn)定不動(dòng)的坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系，簡稱靜系或定系。如不特別聲明，通常以固連于地球的坐標(biāo)系作為定系。（２）動(dòng)坐標(biāo)系固連于相對(duì)定系運(yùn)動(dòng)著的參考體上的坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐標(biāo)系，簡稱為動(dòng)系。２．三種運(yùn)動(dòng)（１）絕對(duì)運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。（２）相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。（３）牽連運(yùn)動(dòng)動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。物體的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可看成是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。在研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的過程中，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)都是指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，它們可以是直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)來描述和分析。而牽連運(yùn)動(dòng)是指動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)，由于動(dòng)系固連于運(yùn)動(dòng)的剛體上，所以牽連運(yùn)動(dòng)是剛體的運(yùn)動(dòng)，它可以是平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)或其它更復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)來描述與分析。３．三種速度和加速度（１）絕對(duì)速度（加速度）動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定系的速度（加速度），稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度（絕對(duì)加速度），記為。（２）相對(duì)速度（加速度）動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的速度（加速度），稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度（相對(duì)加速度），記為。（３）牽連速度（加速度）某瞬時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)（稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)），相對(duì)于定系的速度（加速度），稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度（牽連加速度），記為。必須清楚牽連速度和牽連加速度的確切含義：是指某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。因?yàn)椴煌矔r(shí)，動(dòng)點(diǎn)分別與動(dòng)系上的重合點(diǎn)不同，所以牽連點(diǎn)并不是動(dòng)系上的某一固定點(diǎn)，故牽連速度和牽連加速度不是指動(dòng)系上任意一點(diǎn)的速度和加速度。除了動(dòng)系作平動(dòng)這一特殊情況外，動(dòng)系上各點(diǎn)相對(duì)定系的速度和加速度是不完全相同的，因此，不能把動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度籠統(tǒng)地說成是動(dòng)系的速度與加速度，而應(yīng)明確認(rèn)識(shí)到動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度是動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的那個(gè)點(diǎn)（真正起牽帶動(dòng)點(diǎn)作用的點(diǎn)）在該瞬時(shí)的速度和加速度。二、速度合成定理和加速度合成定理1．速度合成定理在每一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于牽連速度與相對(duì)速度的矢量和，即（6-1）這個(gè)定理對(duì)任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)都適用。式（6-1）是一個(gè)矢量方程，在平面問題中共有大小和方向六個(gè)要素，若已知其中某四個(gè)要素，即可求出其余的兩個(gè)未知要素。作速度矢量圖時(shí)，必須注意使圖示的、和vr符合，即應(yīng)為以和為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線。2．牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和，即（6-2）3．牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度的矢量和，即（6-3）其中科氏加速度等于動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢與相對(duì)速度的矢積的兩倍，即（6-4）對(duì)于平面機(jī)構(gòu)問題，式（6-2）和（6-3）為一矢量方程，其中每一項(xiàng)都有大小和方向兩個(gè)要素，因?yàn)槠矫媸噶糠匠掏队翱傻脙蓚€(gè)的代數(shù)方程，所以這時(shí)只能求得兩個(gè)未知要素。科氏加速度是由于牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的，即當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，牽連速度的變化除決定牽連加速度外，還會(huì)引起相對(duì)速度的方向發(fā)生變化；而相對(duì)速度的變化除決定相對(duì)加速度外也會(huì)引起牽連速度（大小和方向）發(fā)生變化，由這兩部分相互影響而組成的附加加速度就是科氏加速度。因此，必須注意：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，；（6-5）4．動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系的選取原則（１）動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系必須分別選取在三個(gè)不同的物體或點(diǎn)上。（２）定系一般固連在地球上或固連在相對(duì)地球靜止的剛體上；而動(dòng)系則須固連在相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)著的剛體上。（３）動(dòng)點(diǎn)不能選在與動(dòng)系固連的剛體上，否則動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系之間不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，也就不能構(gòu)成點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)問題。（４）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選取應(yīng)使動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡明顯而簡單，否則會(huì)使加速度問題的分析求解困難或無法進(jìn)行。第七章剛體的平面運(yùn)動(dòng)內(nèi)容提要一、主要概念1．剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其上任一點(diǎn)至某個(gè)固定平面的距離保持不變，則稱該剛體作平面運(yùn)動(dòng)。2．剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡化剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。3．剛體平面運(yùn)動(dòng)方程如圖7-1所示，為確定平面圖形在平面內(nèi)的位置，只需給出圖形內(nèi)任一線段的位置，而此線段的位置則可由其上任一點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)、以及線段與x軸的夾角來表示，所以剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程為，，(7-1)點(diǎn)稱為基點(diǎn)。圖7-1圖7-24．剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解引入以基點(diǎn)為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系后，平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以分解為隨著這平動(dòng)坐標(biāo)系的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）和繞這平動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。其中，平動(dòng)部分的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)部分的角速度和角加速度則與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。二、平面圖形上各點(diǎn)的速度1．基點(diǎn)法（合成法）平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和（圖7-2），即(7-2)其中，方向垂直于，并與平面圖形的角速度的轉(zhuǎn)向一致。一般選取平面圖形上速度已知或較容易求出的點(diǎn)作為基點(diǎn)。2．速度投影法平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等，這就是速度投影定理（圖（a）（b）圖9-37-3（a））。即(7-3)或此定理對(duì)于任何形式的剛體運(yùn)動(dòng)都成立。根據(jù)速度投影定理求速度的方法稱為速度投影法。3．速度瞬心法只要平面圖形的角速度不為零，則此瞬時(shí)圖形必定存在唯一的速度為零的點(diǎn)，稱為平面圖形的瞬時(shí)速度中心（簡稱速度瞬心）。如果取速度瞬心K為基點(diǎn)，則平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)繞速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，即(7-4)其方向垂直于，并與圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。可見，只要知道某瞬時(shí)速度瞬心的位置和圖形的角速度，就可以求出該瞬時(shí)圖形上各點(diǎn)的速度（圖7-3（b））。這就是速度瞬心法。平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度分布就像繞速度瞬心作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的情形一樣，其大小與各點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比（圖7-3（b））。在不同情況下，速度瞬心的位置的確定可參看圖7-4。圖7-4以上求平面圖形上點(diǎn)的速度的三種方法，基點(diǎn)法是基本方法，不僅能求解平面圖形上各點(diǎn)的速度，而且還能求出圖形的角速度。速度投影法和瞬心法是由基點(diǎn)法推導(dǎo)出來的，利用速度投影法時(shí)不能求出圖形的角速度；速度瞬心法既能求解平面圖形上各點(diǎn)的速度，也能求出圖形的角速度，但須先正確確定速度瞬心的位置。有些復(fù)雜機(jī)構(gòu)，可將三種方法配合使用。三、平面圖形上各點(diǎn)的加速度加速度的分析主要用基點(diǎn)法，即平面圖形上任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。即（7-5）其中方向垂直于，并與的轉(zhuǎn)向一致。方向由點(diǎn)指向基點(diǎn)。一般選平面圖形上加速度已知或容易求出的點(diǎn)作為基點(diǎn)。因?yàn)樵谝话闱闆r下，將由基點(diǎn)法給出的加速度合成公式，向AB連線上投影時(shí)，的投影固然為零，但的投影卻不為零，所以、兩點(diǎn)的加速度和在其兩點(diǎn)連線上的投影不相等，故不存在像速度投影定理那樣簡單且具一般意義的加速度投影定理。只在平面圖形的角速度的瞬時(shí)，才有任意兩點(diǎn)的加速度在其連線上的投影彼此相等這種瞬時(shí)存在的特殊情況，故一般而言，求平面圖形上點(diǎn)的加速度沒有投影法。另外，與速度瞬心的概念類似，平面圖形在每一瞬時(shí)，一般也在平面圖形內(nèi)存在一加速度等于零的點(diǎn)，稱為平面圖形的加速度瞬心。一般情況下，速度瞬心與加速度瞬心不在同一點(diǎn)，而且確定加速度瞬心常很麻煩，故求平面圖形上點(diǎn)的加速度時(shí)，一般不用加速度瞬心法。第八章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程內(nèi)容提要一、動(dòng)力學(xué)基本定律1．第一定律（慣性定律）質(zhì)點(diǎn)如不受力作用，則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，即作勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止。2．第二定律（力與加速度關(guān)系定律）質(zhì)點(diǎn)受力作用而產(chǎn)生的加速度，其方向與作用力合力的方向相同，其大小與作用力合力的大小成正比，而與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比。3．第三定律（作用與反作用定律）任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用的力，總是大小相等、方向相反，沿同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。第一定律表明：任何物體都具有慣性，而力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。第二定律表明：質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量；物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體上的力，同時(shí)也與物體的慣性有關(guān)。第二定律定量地描述了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變（通過加速度表示出來）與作用力之間的關(guān)系。第一定律可視為第二定律的特殊情況。第三定律表明：兩物體間相互作用力的關(guān)系；由于作用和反作用，引起了機(jī)械運(yùn)動(dòng)在相互作用的兩物體間發(fā)生傳遞。第三定律不僅對(duì)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)適用，對(duì)物體作任何運(yùn)動(dòng)也適用；該定律是研究解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的依據(jù)。總之，動(dòng)力學(xué)基本定律的實(shí)質(zhì)在于表明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最基本的規(guī)律。二、動(dòng)力學(xué)基本定律的適用范圍和參考系1．適用于運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體（質(zhì)量遠(yuǎn)大于基本粒子）。2．適用于慣性參考系（即動(dòng)力學(xué)基本定律適用的參考系）。大多數(shù)工程問題中，常把與地球固連的坐標(biāo)系作為慣性參考系。對(duì)于需要考慮地球自轉(zhuǎn)影響的某些問題，可取以地球中心作為原點(diǎn)、三個(gè)坐標(biāo)軸分別指向三個(gè)恒星的地心坐標(biāo)系作為慣性參考系。而在天文計(jì)算中，則可取以太陽中心作為原點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)軸分別指向三個(gè)恒星的日心坐標(biāo)系作為慣性參考系。三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程動(dòng)力學(xué)基本定律中的第二定律建立了作用于質(zhì)點(diǎn)的合力和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化（通過加速度表示出來）以及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m三者間的定量關(guān)系，即（8-1）它是研究質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的基礎(chǔ)，故稱其為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。工程實(shí)際中的大多數(shù)問題常把與地球固連的坐標(biāo)系作為慣性參考系，其常以其為靜參考系。因此，動(dòng)力學(xué)基本方程（8-1）中的加速度應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度。四、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程1．矢量形式（8-2）其中是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的矢徑。2．直角坐標(biāo)形式（8-3）其中是合力在固定直角坐標(biāo)系各軸上的投影；是質(zhì)點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)。3．自然形式（8-4）其中，，是加速度在切線、主法線和副法線正向的投影；、和是合力在相應(yīng)軸上的投影。根據(jù)問題的需要，還可以有其它坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，如極坐標(biāo)形式、柱坐標(biāo)形式、球坐標(biāo)形式等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作一般的曲線運(yùn)動(dòng)，特別是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，為簡便宜采用直角坐標(biāo)形式求解；而當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿已知曲率半徑的曲線運(yùn)動(dòng)，特別是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿已知半徑的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則宜采用自然形式進(jìn)行求解。五、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題1．第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。2．第二類問題：已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解第一類問題，一般只需進(jìn)行微分運(yùn)算；而求解第二類問題，一般要進(jìn)行積分運(yùn)算，屬于微分方程的積分問題，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件（即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的坐標(biāo)和速度）確定積分常數(shù)。另方面還應(yīng)根據(jù)力的性質(zhì)（常力或時(shí)間、距離、速度等的函數(shù)），而把加速度靈活地改寫為相應(yīng)的形式，如，等，便于分離變量進(jìn)行積分。六、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基本方程（8-5）其中為牽連慣性力；為科氏慣性力。式（8-5）是質(zhì)點(diǎn)對(duì)于非慣性坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程，它描述了質(zhì)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的基本規(guī)律。七、牽連慣性力與科氏慣性力的兩重性牽連慣性力與科氏慣性力統(tǒng)稱為歐拉慣性力，它具有虛假的和真實(shí)的兩重性。1．虛假性表現(xiàn)在：（1）它并非像真實(shí)力那樣是物體與物體之間相互的機(jī)械作用，它們既沒有施力物體，也不存在相應(yīng)的反作用力，因而無法用牛頓第三定律加以解釋。（2）實(shí)際作用于質(zhì)點(diǎn)的力不因坐標(biāo)系的不同選擇而異，而牽連慣性力與科氏慣性力則隨坐標(biāo)系的不同選擇而變。2．真實(shí)性表現(xiàn)在：當(dāng)觀察者處于非慣性參考系中時(shí)，就能感受到這種慣性力的存在，并可通過儀器加以測量，它具有與真實(shí)力一樣的動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)的效應(yīng)。它在質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)和實(shí)際作用的力完全一樣，可以與實(shí)際的力一樣來進(jìn)行分解、合成、簡化等方面的處理。八、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾種特殊情況1．相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)此時(shí)，因?yàn)槠絼?dòng)坐標(biāo)系的角速度，所以，式（8-5）成為（8-6）2．相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)此時(shí)，因?yàn)椋瑒?dòng)系的角速度，所以，，式（8-5）成為（8-7）3．相對(duì)平衡此時(shí)，所以式（8-5）成為（8-8）4．相對(duì)靜止此時(shí)，，所以，式（8-5）成為（8-9）第九章動(dòng)量定理內(nèi)容提要一、動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。動(dòng)量是矢量，其方向與質(zhì)點(diǎn)速度的方向。2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量主矢，簡稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，它等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量Ｍ與其質(zhì)心速度的乘積，即（9-1）二、力的沖量力的沖量表示力在一段時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)。力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，用表示。沖量是矢量，其方向與力的方向一致。力的元沖量（9-2）它的方向與力的方向相同。力在時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為（9-3）三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于它的力，即（9-4）或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的微分等于作用力的元沖量，即（9-5）2．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量在一段時(shí)間間隔內(nèi)的變化量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在該段時(shí)間間隔內(nèi)的沖量，又稱為質(zhì)點(diǎn)的沖量定理，即（9-6）四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（外力的主矢），即（9-7）將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上，有（9-8）即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定軸上的投影對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一軸上投影的代數(shù)和。2．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的變化量，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在這段時(shí)間內(nèi)沖量的矢量和，又稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理，即（9-9）將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上，有（9-10）即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在某固定軸上投影的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)沖量在同軸上的投影的代數(shù)和。動(dòng)量定理建立了動(dòng)量與外力沖量之間的關(guān)系，因此涉及到速度、力和時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用動(dòng)量定理求解較簡便。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理表明，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。作用于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量，但能改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各部分的動(dòng)量。五、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（或在某固定軸上投影的代數(shù)和）恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量（或在該軸上的投影）保持不變，即如果，則常矢量如果，則常量（9-11）動(dòng)量守恒定理可用于求解系統(tǒng)中一部分的速度，或與速度有關(guān)的量。六、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力的主矢），即（9-12）將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上，有（9-13）或投影到自然軸系上，有（9-14）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理建立了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與其所受外力之間的關(guān)系。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力無關(guān)，而只與外力系的主矢有關(guān)。內(nèi)力雖然不能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理常用來求解作用于系統(tǒng)上的未知力，尤其是約束反力。2．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（主矢）恒等于零，則質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)；若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變；如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心的速度在該軸上的投影是常量；若開始速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。第十章動(dòng)量矩定理內(nèi)容提要一、動(dòng)量矩1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某固定點(diǎn)之矩，稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)的動(dòng)量矩，即（10-1）它是定位矢量，其方向垂直于質(zhì)點(diǎn)的矢徑與它的動(dòng)量所構(gòu)成的平面，指向由右手法則確定。2.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩的矢量和，稱為這質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量主矩或動(dòng)量矩，即（10-2）將上式投影到以點(diǎn)為原點(diǎn)的固定直角坐標(biāo)軸上，有（10-3）即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)此軸之矩的代數(shù)和。（３）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩，等于這剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，即（10-4）（４）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩間關(guān)系質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩，等于其質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)的矩與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩之矢量和，即（10-5）式中rC為質(zhì)心對(duì)定點(diǎn)的矢徑。二、動(dòng)量矩定理1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)的矩，即（10-6）將上式投影到以點(diǎn)為原點(diǎn)的固定直角坐標(biāo)軸上，得（10-7）即質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一軸的矩。2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和（主矩），即（10-8）將上式投影到以為原點(diǎn)的固定直角坐標(biāo)軸上，得（10-9）即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部外力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。3．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)某固定點(diǎn)（或固定軸）的主矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變，即如果，則常矢量（10-10）如果，則Lx＝常量（10-11）4．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系在相對(duì)于以質(zhì)心速度作平動(dòng)的坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系各點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量對(duì)質(zhì)心的主矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩，即（10-12）應(yīng)用動(dòng)量矩定理時(shí)，一般應(yīng)取固定點(diǎn)或固定軸、質(zhì)心為其矩心或矩軸。對(duì)于任意點(diǎn)或軸一般不具有上述動(dòng)量矩定理的簡單形式。對(duì)于剛體的加速度瞬心，或加速度指向質(zhì)心的速度瞬心，其動(dòng)量矩定理的形式與固定點(diǎn)一樣。動(dòng)量矩定理主要用于求解帶有轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題。應(yīng)用時(shí)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)對(duì)于所取固定軸的角速度必須是在同一慣性坐標(biāo)系中的角速度，即都必須是絕對(duì)角速度。不論各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定軸取矩，還是各外力對(duì)該軸取矩，均應(yīng)采用同一正負(fù)號(hào)規(guī)則。通常取與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度同轉(zhuǎn)向的動(dòng)量矩或力矩為正值，反之為負(fù)值較為簡便。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的主矩，即（10-13）四、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。隨質(zhì)心的平動(dòng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來描述，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來描述，于是得剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程（10-14）第十一章動(dòng)能定理內(nèi)容提要一、力的功力的功是力在一段路程中對(duì)物體作用的累積效應(yīng)。1．常力在直線路程中的功為（11-1）其中為常力與運(yùn)動(dòng)方向的夾角。2．變力在曲線路程中的功：變力的元功（11-2）變力在路程中的功（11-3）其解析式為（11-4）一般而言，功的計(jì)算是一個(gè)曲線積分，它不僅與力的作用點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而且與其運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。3．幾種常見力的功：（1）重力的功重力的功等于物體的重量與其重心在運(yùn)動(dòng)始末位置的高度差的乘積，即（11-5）（2）彈性力的功彈性力的功等于彈簧初變形的平方和末變形的平方之差與彈簧剛度系數(shù)乘積的一半，即（11-6）（3）牛頓引力的功為（11-7）（4）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上外力或力偶的功作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與剛體微小轉(zhuǎn)角的乘積的積分，即（11-8）（5）約束反力的功理想約束的約束反力的功等于零。常見的理想約束有光滑支承面、鉸鏈、始終拉索而不可伸長的繩索、剛性連接等。物體沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，摩擦力不做功。二、功率力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功，稱為功率，即（11-9）或（11-10）功率方程（11-11）三、動(dòng)能動(dòng)能是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種度量，它不僅能表示機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，而且可用以研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式的運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)化問題。動(dòng)能恒為正值。1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度平方乘積的一半稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，即（11-12）2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即（11-13）3．剛體的動(dòng)能：（1）平動(dòng)剛體的動(dòng)能平動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體的質(zhì)量與速度平方的乘積之半，即（11-14）（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方的乘積之半，即（11-15）（3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于它以質(zhì)心速度作平動(dòng)時(shí)的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能之和，即（11-16）（4）柯尼西定理質(zhì)點(diǎn)系在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能等于它隨質(zhì)心一起平