第Page\*MergeFormat21頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat21頁(yè)第23講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_α(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限考點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對(duì)于一些問題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的．2.若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型．3.對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．[典例]1．（2022·廣東惠州·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東潮州·二模）已知，，則______．[舉一反三]1．（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則(

)A． B． C． D．2．（2022·廣西·高三階段練習(xí)）已知角a終邊落在第二象限，且，則（

）A． B．1 C． D．3．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河北張家口·三模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若，則__________；___________．6．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則___________.7．（2022·河北唐山·三模）若，則___________．8．（2022·山東聊城·高三期末）已知，且，則的值為________.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且．（1）求的值；（2）求的值．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知是角終邊上一點(diǎn)，求，，的值；（2）已知，求下列各式的值：①；②．考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1．學(xué)會(huì)巧妙過渡，熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”2．明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向(1)切化弦，統(tǒng)一名．(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．[典例]1．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）(

)A．3 B．4 C． D．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求.[舉一反三]1．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．-34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若且求的值；（3）求滿足的的取值集合.考點(diǎn)3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．2．注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響．[典例]1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，求的值．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知，求的值（2）已知，，求的值．[舉一反三]1．（2022·遼寧葫蘆島·二模）若，則（

）A． B． C．-3 D．32．（2022·湖南衡陽(yáng)·三模）已知為角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過點(diǎn)，且，則tanθ=____________．5．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，，則___________.6．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則__________，__________．7．（2022·山東·聊城二中高三開學(xué)考試）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，，求的值.8．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且.（1）求的值；（2）求的值第23講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_α(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限考點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對(duì)于一些問題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的．2.若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型．3.對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．[典例]1．（2022·廣東惠州·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋遥裕?故選：A.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.3．（2022·廣東潮州·二模）已知，，則______．【答案】【解析】，得，，因?yàn)椋裕剩蚀鸢笧椋篬舉一反三]1．（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是第一象限角，∴，，∵角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴．故選：D．2．（2022·廣西·高三階段練習(xí)）已知角a終邊落在第二象限，且，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，因?yàn)榻莂終邊落在第二象限，所以，則，故選：D.3．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕蔬x：B．4．（2022·河北張家口·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，所以.故選：A5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若，則__________；___________．【答案】

【解析】解：因?yàn)椋裕郑獾没颍ㄉ崛ィ裕蚀鸢笧椋海?．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則___________.【答案】【解析】由題意，，因?yàn)椋裕獾?故答案為：.7．（2022·河北唐山·三模）若，則___________．【答案】4【解析】因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方得，即，所以，因此，故答案為：4.8．（2022·山東聊城·高三期末）已知，且，則的值為________.【答案】【解析】，，又，所以，所以，，故答案為：9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1），，，，，，，．（2）由（1），可得，，，，，．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知是角終邊上一點(diǎn)，求，，的值；（2）已知，求下列各式的值：①；②．【解】（1）是角終邊上一點(diǎn)，則，，.（2）由，則，①.②考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1．學(xué)會(huì)巧妙過渡，熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”2．明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向(1)切化弦，統(tǒng)一名．(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．[典例]1．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）(

)A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】＝＝．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求.【解】解：（1）（2）角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，[舉一反三]1．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B.2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.3．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【解析】，所以..故選：D4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若且求的值；（3）求滿足的的取值集合.【解】（1）；（2）由（1）可得，則，，即；（3）由題意得，，，即，所以的取值集合為.考點(diǎn)3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．2．注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響．[典例]1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，求的值．【解】原式====-，因?yàn)椋裕詾榈谝幌笙藿腔虻谒南笙藿牵?1)當(dāng)為第一象限角時(shí)，=，所以=，所以原式=-.(2)當(dāng)為第四象限角時(shí)，=-，所以=-，所以原式=.綜上，原式=.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知，求的值（2）已知，，求的值．【解】(1)所以（2）由，則，所以由，則設(shè)，則由，所以[舉一反三]1．（2022·遼寧葫蘆島·二模）若，則（

）A． B． C．-3 D．3【答案】C【解析】，分子分母同除以，，解得：故選：C2．（2022·湖南衡陽(yáng)·三模）已知為角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為角終邊上一點(diǎn)，，.故選：C.3．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，有，所以，故選：C．4．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過點(diǎn)，且，則tanθ=____________．【答案】【解析】角θ的終邊過點(diǎn)，即點(diǎn)在第四象限，解得：（舍去）或.故答案為：.5．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，，