專題二分類討論題專題二分類討論題題型概述方法指導因題目已知條件存在一些不確定因素,解答無法用統一的方法或者結論不能給以統一表述的數學問題,我們往往將問題劃分為若干類,或若干個局部問題來解決.2017年安徽中考中,將近10年的結論判斷正誤題被分類討論題所代替,這給我們傳遞了一個信號,安徽中考壓軸填空題將改變題型.分類討論題難度大,同學們容易漏掉解,出題角度多,可以很好地考查同學們思維的條理性、縝密性、科學性.2020年中考壓軸填空題設置為分類討論題可能性非常大.題型概述方法指導因題目已知條件存在一些不確定因素,解答無法用題型概述方法指導1.對問題進行分類討論時,必須按同一標準分類,且做到不重不漏.解題中,分類討論一般分為四步:第一,確定討論的對象以及討論對象的取值范圍;第二,正確選擇分類標準,合理分類;第三,逐類、逐段分類討論;第四,歸納并做出結論.2.引起分類討論的七種基本形態.并非所有的數學問題都需要進行分類討論,但若涉及以下七種情況,常常需要進行分類討論使問題簡單化.(1)概念分段定義.像絕對值這樣分段定義的概念,在中學數學中還有直線的斜率等,當這些概念出現時,一般要進行分類討論.(2)公式分段表達.在解決數學問題時,常常要用到數學公式,若該公式是分段表達的,那么在應用到這些公式時,需分類討論.題型概述方法指導1.對問題進行分類討論時,必須按同一標準分類題型概述方法指導(3)實施某些運算引起分類討論.在解決數學問題時,不論是化簡、求值還是論證,常常要進行運算,若在不同條件下實施這些運算時會得到不同的結果,就需要分類討論.(4)圖形位置不確定.如果圖形的位置不確定,常常會引起分類討論,因此,如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結果時,首先要有分類討論的意識,其次要全面考察,分析各種可能的位置關系,然后合理分類討論,防止漏解.(5)圖形的形狀不同.當圖形的形狀不確定時,要對各種可能出現的形狀進行分析討論.(6)字母系數參與引起分類討論.字母系數的出現,常常會使問題出現多種不同的情況,從而影響問題結果,因此引起分類討論.(7)條件不唯一引起分類討論.由于條件不唯一,可能引起方程類型不確定,曲線種類不確定,位置關系不確定,形狀不確定等出現,需要對不同情況合理分類,正確討論.題型概述方法指導(3)實施某些運算引起分類討論.在解決數學問類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一圖形形狀不同引起的分類討論例1(2017·安徽,14)在三角形紙片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,將該紙片沿過點B的直線折疊,使點A落在斜邊BC上的一點E處,折痕記為BD(如圖1),減去△CDE后得到雙層△BDE(如圖2),再沿著過△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開,使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,則所得平行四邊形的周長為cm.

類型一類型二類型三類型一圖形形狀不同引起的分類討論類型一類型二類型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,∴AB=10cm,∠ABC=60°,∵△ADB≌△EDB,如圖2,平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=AG=10cm,∴平行四邊形的周長=40cm,綜上所述:類型一類型二類型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=類型一類型二類型三類型二圖形不確定引起的分類討論例2(2020·安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為.

解析:由題意知,點P在線段BD上,(1)如圖1所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,則點P為BD中點,故PE=DC=3;(2)如圖2所示,若DA=DP,則DP=8,類型一類型二類型三類型二圖形不確定引起的分類討論類型一類型二類型三例3(2012·安徽,10)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點,分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形,剩下的部分是如圖所示的直角梯形,其中三邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的邊長是(

)A.10類型一類型二類型三例3(2012·安徽,10)在一張直角三角類型一類型二類型三答案:C類型一類型二類型三答案:C類型一類型二類型三類型三運算引起的分類討論例4(2020·安徽,14)已知實數a,b,c滿足a+b=ab=c,有下列結論:②若a=3,則b+c=9;③若a-b=c,則abc=0;④若a,b,c中只有兩個數相等,則a+b+c=8.其中正確的是.(把所有正確結論的序號都選上)

類型一類型二類型三類型三運算引起的分類討論②若a=3,則b類型一類型二類型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正確;由a,b,c只有兩個數相等,分三種情況:(1)a=b≠c,因為a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=c≠b,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合題意舍去;(3)b=c≠a,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.綜上所述,若a,b,c中只有兩個數相等,則a+b+c=8.④正確.答案:①③④類型一類型二類型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正確12345671.(2017·青海西寧)若點A(m,n)在直線y=kx(k≠0)上,當-1≤m≤1時,-1≤n≤1,則這條直線的函數解析式為y=x或y=-x

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解析:分類討論單調性,可知圖形過點(-1,-1)和(1,1)或者圖象過點(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.12345671.(2017·青海西寧)若點A(m,n)在直12345672.(2020·山東棗莊)如圖1,點P從△ABC的頂點B出發,沿B→C→A勻速運動到點A.圖2是點P運動時,線段BP長度y隨時間x變化的關系圖象,其中M為曲線部分的最低點,則△ABC的面積是12

.

解析:動點P的運動過程:①當動點P在BC上時,BP由0到5逐漸增加,所以可得BC=5;②當動點P在AC上時,BP先變小后變大且當BP⊥AC時,BP最小為4;③當動點P在AB上時,BP由5到0逐漸減小,所以可得AC=5,由題意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底邊上高為4,BP⊥AC時,勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC12345672.(2020·山東棗莊)如圖1,點P從△AB12345673.(2020·浙江紹興)過雙曲線y=(k>0)的動點A作AB⊥x軸于點B,P是直線AB上的點,且滿足AP=2AB,過點P作x軸的平行線交此雙曲線于點C.如果△APC的面積為8,則k的值是12或4

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APC=8,可求S△ABO=2,即k=4.12345673.(2020·浙江紹興)過雙曲線y=(1234567123456712345674.(2020·山東德州)如圖,反比例函數y=與一次函數y=x-2在第三象限交于點A,點B的坐標為(-3,0),點P是y軸左側的一點,若以A、O、B、P為頂點的四邊形為平行四邊形.則點P的坐標為(-4,-3),(-2,3)

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12345674.(2020·山東德州)如圖,反比例函數y=1234567①構成平行四邊形ABOP時,如圖1,點P在y軸右側,舍去;②構成平行四邊形OAPB時,如圖2,AP∥BO,AP=BO=3,因為A(-1,-3),所以P(-4,-3);③構成平行四邊形OABP時,如圖3,BP∥AO,BP=AO,所以P(-2,3),綜上所述點P的坐標為(-4,-3),(-2,3).1234567①構成平行四邊形ABOP時,如圖1,點P在y軸1234567123456712345675.(2020·山東淄博)已知拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),將這條拋物線向右平移m(m>0)個單位,平移后的拋物線與x軸交于C、D兩點(點C在點D的左側).若B、C是線段AD的三等分點,則m的值為2或8

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解析:易求點A(-3,0),B(1,0),若平移中C在AB之間且B、C是線段AD的三等分點,則AC=CB,此時C(-1,0),m=2;若平移中C在B點右側且B、C是線段AD的三等分點,則AB=BC,此時C(5,0),m=8.12345675.(2020·山東淄博)已知拋物線y=x2+12345676.(2020·合肥、安慶名校聯考)如圖1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,點M從點A出發,以每秒2個單位長度的速度沿AB方向在AB上運動,以點M為圓心,MA長為半徑畫圓,如圖2,過點M作NM⊥AB,交☉M于點N,設運動時間為t秒.(1)填空:BD=

,BM=

;(請用準確數值或含t的代數式表示)

(2)當☉M與BD相切時,①求t的值;②求△CDN的面積.(3)當△CND為直角三角形時,求出t的值.12345676.(2020·合肥、安慶名校聯考)如圖1,在1234567解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,∠BAD=90°,在Rt△ABD中,AB=9,BC=12,根據勾股定理得,由運動知,AM=2t.∴BM=AB-AM=9-2t,故答案為:15,9-2t.(2)①如圖1,☉M切BD于E,∴ME⊥BD,∴∠BEM=∠BAD=90°,∵∠EBM=∠ABD,∴△BME∽△BDA.②∵MN=AM=2t=4,∴CD邊上的高為AD-MN=12-4=8,∴S△CDN=×9×8=36.1234567解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,由運動知,A1234567(3)如圖2,過點N作直線FG⊥MN,分別交AD,BC于點F,G,∴FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t,∴DN2=DF2+FN2=(12-2t)2+(2t)2,∴CN2=CG2+GN2=(12-2t)2+(9-2t)2,①當∠DNC=90°時,DN2+CN2=CD2,∴(12-2t)2+(2t)2+(12-2t)2+(9-2t)2=81,化簡,得4t2-33t+72=0,∵Δ=(-33)2-4×4×72<0,∴此方程無實數根.②當∠DCN=90°時,點N在BC上,BN=BA=2t=9,∴t=4.5,綜上所述,t=4.5秒.1234567(3)如圖2,過點N作直線FG⊥MN,分別交A12345677.(2020·湖南婁底)如圖,拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標軸相交于點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是拋物線的頂點,E是線段AB的中點.(1)求拋物線的解析式,并寫出D點的坐標;(2)F(x,y)是拋物線上的動點;①當x>1,y>0時,求△BDF的面積的最大值;②當∠AEF=∠DBE時,求點F的坐標.12345677.(2020·湖南婁底)如圖,拋物線y=ax1234567解:(1)∵與x軸交點為A(-1,0),B(3,0),∴設表達式為y=a(x+1)(x-3)(a≠0).∵與y軸交于C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1.∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,D(1,4).(2)①過F作FH⊥x軸,交BD于H,由題意,F是線段BD上方拋物線上的動點,FH把△BDF分成兩個都以FH為底的三角形,它們高的和為2,1234567解:(1)∵與x軸交點為A(-1,0),B(31234567設直線BD的表達式為y=mx+n(m≠0),∵經過B(3,0),D(1,4),∴y=-2x+6.∴S△BDF=yF-yH=(-x2+2x+3)-(-2x+6)=-x2+4x-3.∵a=-1<0,開口向下,有最大值,∴當x=2時,S△BDF最大為1.1234567設直線BD的表達式為y=mx+n(m≠0),∴1234567②分類討論:Ⅰ.過點E作l∥BD,與拋物線交點為所求.∵l∥BD,∴∠AEF=∠DBE.設l的表達式為y=-2x+t,∵過E(1,0),∴t=2,y=-2x+2,聯立直線和拋物線表達式,Ⅱ.作直線l關于x軸對稱的直線l',l'與拋物線的交點之一為所求,∵l和l'關于x軸對稱,∴l'的表達式為y=2x-2.聯立直線和拋物線表達式,1234567②分類討論:Ⅱ.作直線l關于x軸對稱的直線l'12345671234567專題二分類討論題專題二分類討論題題型概述方法指導因題目已知條件存在一些不確定因素,解答無法用統一的方法或者結論不能給以統一表述的數學問題,我們往往將問題劃分為若干類,或若干個局部問題來解決.2017年安徽中考中,將近10年的結論判斷正誤題被分類討論題所代替,這給我們傳遞了一個信號,安徽中考壓軸填空題將改變題型.分類討論題難度大,同學們容易漏掉解,出題角度多,可以很好地考查同學們思維的條理性、縝密性、科學性.2020年中考壓軸填空題設置為分類討論題可能性非常大.題型概述方法指導因題目已知條件存在一些不確定因素,解答無法用題型概述方法指導1.對問題進行分類討論時,必須按同一標準分類,且做到不重不漏.解題中,分類討論一般分為四步:第一,確定討論的對象以及討論對象的取值范圍;第二,正確選擇分類標準,合理分類;第三,逐類、逐段分類討論;第四,歸納并做出結論.2.引起分類討論的七種基本形態.并非所有的數學問題都需要進行分類討論,但若涉及以下七種情況,常常需要進行分類討論使問題簡單化.(1)概念分段定義.像絕對值這樣分段定義的概念,在中學數學中還有直線的斜率等,當這些概念出現時,一般要進行分類討論.(2)公式分段表達.在解決數學問題時,常常要用到數學公式,若該公式是分段表達的,那么在應用到這些公式時,需分類討論.題型概述方法指導1.對問題進行分類討論時,必須按同一標準分類題型概述方法指導(3)實施某些運算引起分類討論.在解決數學問題時,不論是化簡、求值還是論證,常常要進行運算,若在不同條件下實施這些運算時會得到不同的結果,就需要分類討論.(4)圖形位置不確定.如果圖形的位置不確定,常常會引起分類討論,因此,如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結果時,首先要有分類討論的意識,其次要全面考察,分析各種可能的位置關系,然后合理分類討論,防止漏解.(5)圖形的形狀不同.當圖形的形狀不確定時,要對各種可能出現的形狀進行分析討論.(6)字母系數參與引起分類討論.字母系數的出現,常常會使問題出現多種不同的情況,從而影響問題結果,因此引起分類討論.(7)條件不唯一引起分類討論.由于條件不唯一,可能引起方程類型不確定,曲線種類不確定,位置關系不確定,形狀不確定等出現,需要對不同情況合理分類,正確討論.題型概述方法指導(3)實施某些運算引起分類討論.在解決數學問類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一圖形形狀不同引起的分類討論例1(2017·安徽,14)在三角形紙片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,將該紙片沿過點B的直線折疊,使點A落在斜邊BC上的一點E處,折痕記為BD(如圖1),減去△CDE后得到雙層△BDE(如圖2),再沿著過△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開,使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,則所得平行四邊形的周長為cm.

類型一類型二類型三類型一圖形形狀不同引起的分類討論類型一類型二類型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,∴AB=10cm,∠ABC=60°,∵△ADB≌△EDB,如圖2,平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=AG=10cm,∴平行四邊形的周長=40cm,綜上所述:類型一類型二類型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=類型一類型二類型三類型二圖形不確定引起的分類討論例2(2020·安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為.

解析:由題意知,點P在線段BD上,(1)如圖1所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,則點P為BD中點,故PE=DC=3;(2)如圖2所示,若DA=DP,則DP=8,類型一類型二類型三類型二圖形不確定引起的分類討論類型一類型二類型三例3(2012·安徽,10)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點,分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形,剩下的部分是如圖所示的直角梯形,其中三邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的邊長是(

)A.10類型一類型二類型三例3(2012·安徽,10)在一張直角三角類型一類型二類型三答案:C類型一類型二類型三答案:C類型一類型二類型三類型三運算引起的分類討論例4(2020·安徽,14)已知實數a,b,c滿足a+b=ab=c,有下列結論:②若a=3,則b+c=9;③若a-b=c,則abc=0;④若a,b,c中只有兩個數相等,則a+b+c=8.其中正確的是.(把所有正確結論的序號都選上)

類型一類型二類型三類型三運算引起的分類討論②若a=3,則b類型一類型二類型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正確;由a,b,c只有兩個數相等,分三種情況:(1)a=b≠c,因為a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=c≠b,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合題意舍去;(3)b=c≠a,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.綜上所述,若a,b,c中只有兩個數相等,則a+b+c=8.④正確.答案:①③④類型一類型二類型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正確12345671.(2017·青海西寧)若點A(m,n)在直線y=kx(k≠0)上,當-1≤m≤1時,-1≤n≤1,則這條直線的函數解析式為y=x或y=-x

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解析:分類討論單調性,可知圖形過點(-1,-1)和(1,1)或者圖象過點(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.12345671.(2017·青海西寧)若點A(m,n)在直12345672.(2020·山東棗莊)如圖1,點P從△ABC的頂點B出發,沿B→C→A勻速運動到點A.圖2是點P運動時,線段BP長度y隨時間x變化的關系圖象,其中M為曲線部分的最低點,則△ABC的面積是12

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解析:動點P的運動過程:①當動點P在BC上時,BP由0到5逐漸增加,所以可得BC=5;②當動點P在AC上時,BP先變小后變大且當BP⊥AC時,BP最小為4;③當動點P在AB上時,BP由5到0逐漸減小,所以可得AC=5,由題意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底邊上高為4,BP⊥AC時,勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC12345672.(2020·山東棗莊)如圖1,點P從△AB12345673.(2020·浙江紹興)過雙曲線y=(k>0)的動點A作AB⊥x軸于點B,P是直線AB上的點,且滿足AP=2AB,過點P作x軸的平行線交此雙曲線于點C.如果△APC的面積為8,則k的值是12或4

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APC=8,可求S△ABO=2,即k=4.12345673.(2020·浙江紹興)過雙曲線y=(1234567123456712345674.(2020·山東德州)如圖,反比例函數y=與一次函數y=x-2在第三象限交于點A,點B的坐標為(-3,0),點P是y軸左側的一點,若以A、O、B、P為頂點的四邊形為平行四邊形.則點P的坐標為(-4,-3),(-2,3)

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12345674.(2020·山東德州)如圖,反比例函數y=1234567①構成平行四邊形ABOP時,如圖1,點P在y軸右側,舍去;②構成平行四邊形OAPB時,如圖2,AP∥BO,AP=BO=3,因為A(-1,-3),所以P(-4,-3);③構成平行四邊形OABP時,如圖3,BP∥AO,BP=AO,所以P(-2,3),綜上所述點P的坐標為(-4,-3),(-2,3).1234567①構成平行四邊形ABOP時,如圖1,點P在y軸1234567123456712345675.(2020·山東淄博)已知拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),將這條拋物線向右平移m(m>0)個單位,平移后的拋物線與x軸交于C、D兩點(點C在點D的左側).若B、C是線段AD的三等分點,則m的值為2或8

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解析:易求點A(-3,0),B(1,0),若平移中C在AB之間且B、C是線段AD的三等分點,則AC=CB,此時C(-1,0),m=2;若平移中C在B點右側且B、C是線段AD的三等分點,則AB=BC,此時C(5,0),m=8.12345675.(2020·山東淄博)已知拋物線y=x2+12345676.(2020·合肥、安慶名校聯考)如圖1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,點M從點A出發,以每秒2個單位長度的速度沿AB方向在AB上運動,以點M為圓心,MA長為半徑畫圓,如圖2,過點M作NM⊥AB,交☉M于點N,設運動時間為t秒.(1)填空:BD=

,BM=

;(請用準確數值或含t的代數式表示)

(2)當☉M與BD相切時,①求t的值;②求△CDN的面積.(3)當△CND為直角三角形時,求出t的值.12345676.(2020·合肥、安慶名校聯考)如圖1,在1234567解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,∠BAD=90°,在Rt△ABD中,AB=9,BC=12,根據勾股定理得,由運動知,AM=2t.∴BM=AB-AM=9-2t,故答案為:15,9-2t.(2)①如圖1,☉M切BD于E,∴ME⊥BD,∴∠BEM=∠BAD=90°,∵∠EBM=∠ABD,∴△BME∽△BDA.②∵MN=AM=2t=4,∴CD邊上的高為AD-MN=12-4=8,∴S△CDN=×9×8=36.1234567解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,由運動知,A1234567(3)如圖2,過點N作直線FG⊥MN,分別交AD,BC于點F,G,∴FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2