2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．2．如圖，網格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．若的展開式中的系數之和為，則實數的值為（）A． B． C． D．14．設，，則的值為（）A． B．C． D．5．函數（其中，，）的圖象如圖，則此函數表達式為（）A． B．C． D．6．是拋物線上一點，是圓關于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．7．計算等于()A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數，其導函數為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或9．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．10．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．211．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．12．已知集合則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若恒成立，則的取值范圍是___________.14．某校高三年級共有名學生參加了數學測驗（滿分分），已知這名學生的數學成績均不低于分，將這名學生的數學成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學生中數學成績在分以下的人數為；③這名學生數學成績的中位數約為；④這名學生數學成績的平均數為．15．設的內角的對邊分別為，，．若，，，則_____________16．將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，則函數在區間上的值域為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數）和曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.19．（12分）已知函數，函數，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調性（2）求實數和a的值（3）證明20．（12分）已知數列滿足，，，且.（1）求證：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.22．（10分）已知函數f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數的底，k為常數）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據平面向量基本定理，用來表示，然后利用數量積公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎題.2、C【解析】

根據三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養.3、B【解析】

由，進而分別求出展開式中的系數及展開式中的系數，令二者之和等于，可求出實數的值.【詳解】由，則展開式中的系數為，展開式中的系數為，二者的系數之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.4、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導公式求得的值，利用同角三角函數關系式求得的值，進而求得的值，最后利用正切差角公式求得結果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關三角函數求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，正切倍角公式，同角三角函數關系式，正切差角公式，屬于基礎題目.5、B【解析】

由圖象的頂點坐標求出，由周期求出，通過圖象經過點，求出，從而得出函數解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點應對應正弦曲線中的點，所以，解得，故函數表達式為．故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數圖象及性質，三角函數的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數形結合思想，屬于基礎題.6、C【解析】

求出點關于直線的對稱點的坐標，進而可得出圓關于直線的對稱圓的方程，利用二次函數的基本性質求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設點關于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關于直線的對稱圓的方程為，設點，則，當時，取最小值，因此，.故選：C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用，考查計算能力，屬于中等題.7、A【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數值，結合對數運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查對數運算，屬于基礎題.8、D【解析】

先通過得到原函數為增函數且為偶函數，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構造函數，則由題可知，所以在時為增函數；由為奇函數，為奇函數，所以為偶函數；又，即即又為開口向上的偶函數所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據導函數構造原函數，偶函數解不等式等知識點，屬于較難題目.9、C【解析】

利用的前項和求出數列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.10、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．11、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.12、B【解析】

解對數不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數不等式解法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求導得到，討論和兩種情況，計算時，函數在上單調遞減，故，不符合，排除，得到答案。【詳解】因為，所以，因為，所以.當，即時，，則在上單調遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題是解題的關鍵.14、②③【解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學生中數學成績在分以下的人數為，故②正確；設這名學生數學成績的中位數為，則，解得，故③正確；④這名學生數學成績的平均數為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．15、或【解析】試題分析：由，則可運用同角三角函數的平方關系：，已知兩邊及其對角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點：運用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）16、【解析】

根據圖像的平移變換得到函數的解析式，再利用整體思想求函數的值域.【詳解】函數的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移變換、值域的求解，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數方程化成普通方程，再分別求出極坐標方程；（2）寫出點M和點N的極坐標，根據極徑的定義分別表示出和，利用三角函數的性質求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標方程為，，極坐標方程．（2）由題可知，，當時，.【點睛】本題考查了參數方程、普通方程和極坐標方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數的恒等變換，屬于中檔題.18、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，設，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30°，列出等式，即得解.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接交于點，連接，則是平面與平面的交線，因為平面，故，又因為是的中點，所以是的中點，故.（Ⅱ）由條件可知，，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設，則，設平面的法向量為，則，即，故取因為直線與平面所成角的大小為30°所以，即，解得，故此時.【點睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學生邏輯推理，空間想象，數學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）在區間單調遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內，再次求導，可得在區間上恒成立，從而可得結論；（2）由，可得，由可得，聯立解方程組可得結果；（3）由（1）知在區間單調遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結合放縮法可得結果.【詳解】（1）由已知可得函數的定義域為，且，令，則有，由，可得，可知當x變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區間單調遞增；（2）由已知可得函數的定義域為，且，由已知得，即，①由可得，，②聯立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區間單調遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區間單調遞增，故當時，，，可得在區間單調遞增，因此，當時，，即，亦即，這時，故可得，取，可得，而，故.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導數證明不等主要方法有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出函數的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數證明.20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據題目所給遞推關系式得到，由此證得數列為等比數列，并求得其通項公式.然后利用累加法求得數列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數列的前項和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點睛】本小題主要考查根據遞推關系式證明等比數列，考查累加法求數列的通項公式，考查錯位相減求和法，屬于中檔題.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，可得關于的一元二次方程，設出的坐標，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標，利用根與系數關系可化簡證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設直線CD的方程為，代入，得：設，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是難題．22、（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉化為方程有兩個不同解，求導，研究