高中必修五數學數列講義高中必修五數學數列講義高中必修五數學數列講義高中必修五數學數列講義第二章數列第一：數列及其通公式一．數列的見解1．數列的定：；2．表示法：；3．數列的分：；4．通公式：；5．推公式的見解：；注意：①數列與會合有本的區；②與數的區；③{an}與an的區；④不是每一個數列都有通公式；⑤an是n的函數。二．數列通公式的求法1．依據數列的有限，寫出數列的通公式。1．已知數列{an}的前幾，寫出數列的一個通公式（1）1，4，9，16，??；an=;（2）2,4,6,8,??；an=;3927813,LL,n（3）1,3,1,3,1,;2345a=6（4）9，99，999，9999，??；an=;（5）7，77，777，7777，??；an=;2（6）7，-77，777，-7777，??；an=;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555,??；an=;（8）1．-1，1，-1，??；an=;（9）1，0，1，0，??；an=;（10）11，101，1001，10001，??；an=;（11）11,22,33,44,??；an=;2345（12）1,3,7,5,LL；an=;24816（13）2,1,10,17,26,37，??；an=;37911132．數列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，??，中x,y,z的挨次是（）A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，1233．數列1，1，2，3，5，8，??；的第7是。1為奇數）4．數列{an}中，an，nn1（n2)為偶數）(n{an}的前5是。5.已知函數f(x)x-1，anf(n)(nN*)x(1)求：an1；（2）{an}是增數列是減數列？什么？32．已知數列的前n項和求數列的通項公式（1）已知數列{an}的前n項和為Sn2n2n1，求數列{an}的通項公式；（2）已知數列{an}的前n項和為Sn2n2n，求數列{an}的通項公式。注意：1.用數列的前n項和Sn求通項an的公式是：；2.什么時候運用an=Sn-Sn-1求出的公式擁有通用性：。練習：(3)已知數列{an}的前n項和為Sn(1)n1n,則通項an=;（4）已知數列{an}的前n項和為Sn32n則通項n=;,a（5）已知數列{an}的前n項和為Snlog1(1n),則通項an=;10（6）已知數列{an}的前n項和為Sn11L1n2n122n,則通項an2=;注意：（1）公式表示的是數列的前n項和與通項之間的關系。（2）要注意不要忽略n=1的情況，這是大家易犯錯的地方。43．用遞推公式求數列的通項公式（1）數列{an}中，a12,anan1(n2,3,4,L），則它的前5項1an1是。（2）數列{an}中，a11,a22,an2an1an,則a7。（3）數列（4）數列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an1an2，求數列{an}的通項公式；a12,an1ann，求數列{an}的通項公式；（5）數列（6）數列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an12an，求數列{an}的通項公式；a12,an1nan，求數列{an}的通項公式；n1第二節：等差數列.1.定義：假如一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列；這個常數叫做等差數列的公差，公差平常用字母d表示。2.通項公式：ana1(n1)d或anam(nm)d3.等差中項：a,A,b成等差數列，A叫a,b的等差中項（注：隨意兩個數都有ab等差中項）A24.證明一個數列是等差數列的方法：一般用an1and（常數），而不用其余等價形式，若的確沒法證明an1and，有時也可采納證明an1ananan1,(n2)來達成。5.等差數列的性質：5（1）d0，an單增；d0，an單減；d0，是常數列。（2）等差數列中隨意連續的三項也成等差數列，反之亦然。（3）一個數列是等差數列，則通項公式可寫成anknb（k,bR)，反之亦然。一個數列是等差數列，則其前n項和可寫成SnAn2Bn（A,BR)，反之亦然。（4）數列{an}是等差數列，若m+n=p+q，則amanapaq（5）數列{an}是等差數列，項數m,p,n成等差數列，那么am,ap,an也成等差數列。（6）數列{an}是等差數列，則Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差數列。二.等差數列的前n項和：n(a1an)或Snn(n1)Snna1d22練習與應用：通項公式、前n項和公式的基本運算1．在等差數列{an}中，a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.2.在等差數列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1=.3.在等差數列{an}中，a15=8,a20=20,則a25=.4.在等差數列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求通項an.5.在等差數列{an}中，a15=8,a60=20,則a75=.6Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差數列6.在等差數列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項an.若m+n=p+q，則amanapaq6．在等差數列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=.3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個根，求a7+a8+a9+a10+a11=.8．在等差數列{an}中，a32，則該數列的前5項和為（）（A）10（B）16（C）20（D）329.在等差數列{an}中，Sn表示前n項和，且a2a818a5，則S9的值為（）（A）18（B）60（C）54（D）2710.等差數列{an}，S918,Sn240,an430,(n9)，則項數n為（）11．在等差數列{an}中，前4項的和為21，后4項的和為67，前n項的和為286，則項數n=.12.在等差數列{an}中，Sn表示前n項和，且S120,S130，當Sn獲得最大值時的n值為（）（A）6（B）7（C）12（D）不可以確立13.若{an}是等差數列，首項a10，a23a240，a23a240，則使前n項和Sn0建立的最大自然數n是（）（A）48（B）47（C）46（D）45714（04年重慶卷.文理a10,a2003a20040,a2003.a2004是：（）A4005B4006

9）若數列{an}是等差數列，首項0，則使前n項和Sn0建立的最大自然數nC4007D400815.等差數列{an}，{bn}的前n項和為Sn，Tn，且Sn7n1,求a11.Tn4n27b1116.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若A：1B：2C：1D：-12

a55，則S9的值為（）a39S517．在等差數列{an}中，am=n,an=m,且m≠n,則am+n=.18.已知等差數列{an}，Sn是其前n項和，關于不相等的正整數m,n，有Snm,Smn，則Smn的值為.其奇數項和、偶數項和1、若等差數列共有偶數項2n項（奇數項、偶數項各n項）：即S奇a1a3a5a2n1S偶a2a4a6a2n則S偶S奇nd，S偶S偶an1（中S奇S2nS奇an間一對）2、若等差數列共有奇數項2n1項（奇數項比偶數項多1項）：即則

S奇a1a3a5a2n1a2n1S偶a2a4a6a2nS奇S偶an1（an1為中間項），S偶S奇S偶n（項數之比）S2n1n1S奇19..等差數列{an}共有2n-1項，全部奇數項的和為132，全部偶數項的和為120，則n=.8假如等差數列{an}共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為。21．假如等差數列{an}的項數是奇數，a11，{an}的奇數項的和是175，偶數項的和是150，求這個等差數列的公差d。Sn的最值問題22.等差數列{an}中，an=2n-10,則Sn的最小值時n=.23.等差數列{an}中，an=2n-11,則Sn的最小值時n=.24．在等差數列{an}中,a125,S3S8,則前n項和Sn的最小值為（）A：-80B：-76C：-75D：-7425.已知等差數列{an}，Sn是其前n項和，且S5S6,S6S7,S7S8，則以下結論錯誤的選項是（）（A）d<0（B）a70（C）S9S5（D）S6與S7均為Sn的最大值.第三節：等比數列一。等比數列及其性質91。定義：（略）an1q(q0)（有既是等差又是等比的數列嗎？）an2。通項公式：ana1qn1；（anamqnm）3。等比中項：a,G,b成等比數列，G叫a,b的等比中項。注：隨意兩個實數都有等差中項，但不是隨意兩個實數都有等比中項，只有兩個實數同號時才有等比中項，等差中項只有一個，但等比中項有兩個。4。證明數列是等比數列的基本方法：an1q(q0)an5。相關性質：（1）數列{an}是等比數列，若m+n=p+q，則amanapaq（2）正項等比數列的對數列是等差數列，等差數列的指數列是等比數列。（3）數列{an}是等比數列，則a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m成等比數列嗎？（4）數列{an}是等比數列，則a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m還是等比數列。練習與應用：1。數列{an}是等比數列，則在①{anan1}；②{anan1}；③{anan1}；④{an3}；⑤{nan}；⑥{lgan}這6個數列中仍成等比數列的是。102。數列{an}是等比數列，a34,a716，求公比q。333。等差數列a,b,c三項的和為12，且a,b,c+2成等比數列，求a的值。4。數列{an}是等比數列，a1a3a5a7a932，求a55。數列{an}是等比數列，a19，an1，q2，則這個數列的項數為（）833A3B4C5D66。等比數列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=()A:5B:10C:15D:207。等比數列{an},a516,a88,a11（）A：-4B：±4C：-2D：±28。等比數列{an}，a3a8124,a4a7512，公比q為整數，則a10。9.等比數列{an}中，a1a230,a3a460,則a5a6（）A：90B：120C：15D：8010。等比數列{an}中，a9a10a,(a0),a19a20b,則a99a100（）9B：(b)910D：(b)10A：b8C：b9aaaa11。{an}是各項為正數的等比數列，a5a69，則log3a1log3a2log3a10=11（）A：12B：10C：8D：2log3512．已知數列{an}是各項都為正數的等比數列，設bnlog2an，求證數列{bn}是等差數列。13。已知等比數列{an}的a316，且a1a2a10265，求{an}的通項公式.14。各項均為正數的等比數列{an}中，若a4a710，則lga1lga2lga10；15．{an}為等比數列，（1）q2,S9977，求a3a6a99（2）前n項的和為Sn48,前2n項之和S2n60，求S3n12二。等比數列的前n項和。a1(1qn)a1anq1)Sna1a2Lan1q(q1qna1(q1)1．等比數列{an}中，a6a4216，a3a18，Sn40，求q和n。2．等比數列{an}中，a34,S312，求a1和q。3．等比數列{an}中，Sn49，S2n112，則S3n=。4．等比數列{an}中，a11,an512,Sn341,求q。5．求數列1,3,9,27,L,3n1,L的前n項和。6．求1,a21,(a21)2,L,(a21)n1,L的前n項和242n7．求2,22,L,2n,L，求前2k項的和。yyy8．求1,a,a2,L,an1,L的前n項和。139．等比數列{an},前n項和為48,前2n項和為60,前3n項的和為()A:183B:108C:75D:6310．{an}成等差數列，a1,a5,a13成等比數列，則該等比數列的公比為（）A：1B：2C：1D：124311．{an}成等差數列，{bn}成等比數列，q1,bi0(i1,2,,n)，若a1b1，a11b11，則（）A：a6b6B：a6b6C：a6b6D：a6b6或a6b612．x,a1,a2,y成等差數列，x,b1,b2,y成等比數列，則(a1a2)2的取值范圍是b1b2（）A：[4,)B：（0，4）C：(,0][4,)D：(,0)[4,)13．一個項數是偶數的等比數列，它的偶數項的和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為（）A．12B．10C．8D．6第四節數列的綜合應用一、數列乞降14（一）．公式法1．求1，4，7，10，?，（3n-2）,?的前n和。2．求數列22,24,L,22n,L，求前2k的和.yy2yn3．求S1aa2Lan（二）．分乞降1．乞降（1+2）+（3+4）+?+（2n-1+2n）2．(x-2)+(x2-2)+?+（xn-2）3.(a1)(a22)L(ann)154.乞降(x121n1y)(xy2)L(xyn)5.122334Ln(n1)6.1325Ln(2n1)（三）．裂項乞降1.乞降Sn1111223Ln(n1)2.11L(2n113351)(2n1)3..數列{an}成等比數列,各項都為正數，且q≠1,求證11L1n1lga1lga2lgan1lganlga1lganlga2lga34.1111)2334n(n5.11(2n135571)(2n3)6．11(3n114472)(3n1)167.1141512)1323n(n8.111613)14253n(n9．求1111212312n1（四）．位相減、其余1．135L2n1222232n2.12222323n2n3.352n12222n4．乞降x3x25x3L(2n1)xn5．1+2×3+3×7+?+n(2n-1)176.已知數列{an+1}是等比數列，a11，q2，求a12a23a3nan放及其余1．12223242L992100222＋132＋142＋12．數列，，，??的前10和（）。22－132－142－1（A）17（B）1111（C）1143（D）118955121321321113.乞降Sn223L11nn1114.求S11532n12n135.求f(x）4x2，求f(1)f(2)f(1998):4x19991999199911L126.求：132n2227.1n(n1)1223Ln(n1)(n1)222181118．2(n11)132n2n二、用已知數列的前n項和求數列的通項公式（前文已有）三、用遞推公式求通項1．已知數列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2,求{an}的通項公式。2。已知數列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項公式。3。已知數列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項公式。．已知數列n，知足，1n+1n+1，求{an的通項公式。4{a}a=2,a=an(n}1)點擊：凡是擁有an+1=an+f(n)形式都可運用此法，此中f(n)表示可乞降的數列。5．已知數列{an}，知足，a1=2,an=3an-1,（n≥2）求{an}的通項公式。6．已知數列{an}，知足，a1=1,an1nan求{an}的通項公式。n1．已知數列n}知足，a1,2n1anan1(nN,n2)，求{an的通項公式。7{a}19規律：。8．已知數列{an}，知足，a1=2,an+1=2an+1,求{an}的通項公式。9．已知數列{an}，知足，a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通項公式。點擊：an1kanb型通項公式可用此法。10*．a15,an12ann5，求{an}的通項公式。11*.已知數列{an}a11,an12an2n，求{an}的通項公式。*已知數列n}a11,an13an2n，求{an}的通項公式。12.{a13*.a15,an12ann5，求{an}的通項公式。點擊：a15,an1kanf(n)型通項公式可用此法。遞推公式的變形1．已知數列{an}，知足，a1=1,an12an1anan0，求{an}的通項公式。2．已知數列n}，知足，1an15an求{an}的通項公式。2{aa=1,5an203．項為1的正項數列，(n1)an21nan2an1an0，求數列的通項公式。四．Sn與an的互相轉變1．已知數列{an}知足，a11,an2SnSn1,(n2)，（1）問數列{1}能否為等2Sn差數列。（2）求Sn和an.2．已知數列{an}知足，Sn2ann，求數列{an}的通項公式。3．已知數列{an}，知足log2(1Sn)n1，求通項an.4．已知數列{an}知足，S14，當n2時，an1(SnSn1),求Sn和an.25．正數數列{an}，2Snan1，求數列{an}的通項公式。216．（05，山東）已知數列{an}，a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5(nN*)，（1）求數列{an}的通項公式。（2）求a12a23a3nan幾個必然嫻熟掌握的綜合題目1.已知數列{an}是等差數列，前n項和為Sn且a1a2a33；a7a98求數列{an}的通項公式.（2）設數列{bn}知足，bn1，求數列{bn}的前n和SnTn.2.（05濟南2模）已知數列{an}的前n項和Sn是n的二次函數，且a12,a22,a36an.求Sn和na.3.已知數列{an}知足，a12a23a3nann(n1)(n2)，求數列{an}的通項公式。224.數列數列{an}，知足a11，當n2時，a1a2a3ann2，求數列{an}的通項公式。5.設函數f(x)x，數列{an}中，a11，n2時，前n項和Sn知足Snf(Sn1)2x1（1）求數列{an}的通項公式；（）設bSn，求{bn的前n項和T。2n16.已知點列Pn(an,bn)(nN)在直線L:y2x1上，且P1為L與y軸的交點，數列an是公