“中學數建模教初探結題報告鎮江市實驗級中學《中學數學建模教學初探》課題組(主人：楊勇)一、課題提出：數學是研究間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和會規律的科學語言和效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科的基礎，并在經濟科學、社科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用數學的應用越來越廣泛，正不斷地滲透到社會生活的方方面面。20世紀下葉以來，數學應用的巨大發展是數學發的顯著特征之。當今知識經時代，數學正在從幕后走向臺前，數學和計算技術的結合使得數學能夠在多方面直接為社會創造價值，同時，也為數學展開拓了廣闊的前景。我國數學教育在很長一段時間內對于數學與實際、學與其他學科的聯系未能給充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯實際方面需要大力加強。近年來，我國大學、中學數學建模的實踐表明，展數學應用的教學活動符合會需要，有利于激發學生學習數學的興趣，有于增強學生的應用意識，有于擴展學生的視野。數學課程應供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值開展“數學建模”的習活動，設立體現數學某些重要應用的專題課。高中數學課程應力求使學體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日生活及其他學科的聯系，促學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐力。1

數學應用題數量和分值在會考和高考中將逐步增加，中、檔題目將逐漸齊全并將在命題中轉變統的學科體系觀念結合活實際和社實踐，突出理論與識結合，理論與實踐結合，引導學生關心社會關心未來，實現高考命題改與中學教育、教學觀念改革的結合，成為推動質教育發展的重要內容。重視和加強中學數學建模教學初探”課題的研究和實踐學教學為實現上設想的突破口和出發點。二、課題究的目：著名數學家特海曾說學就是于模式的研究所謂數學模是指對于現實世界的某一特定研究對象為了某個定的目的，在做一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，通過數學語言表述出來的一數學結構，數學中的各種基本概念，都以各自應的現實原型作為背景而抽出來的數學概念。各種數學公式方式、定理、論體系等等，都是一些具的數學模型。舉個簡單的例子，二次函數就是個數學模型，很多數學問題至實際問題都可以轉化為二次函數來解決過對問題數化，模型構建，解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型法。我們的數學教學說到底際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數模型和怎樣構建模型的思想法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和際問題。具體的講數模型方法的操作程序大致上為：2

實際問題→析抽象→建立模型→數學問題↑↓檢驗←實際解←釋←數學解由此我們可看到培養學生運用數學建模解決實際問題的能力關鍵是把實際問題象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉實際問題的數學模型，然后把數學模型納入某知識系統去處理，這不但要學生有一定的抽象能力，而要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學的這種能力的獲得不是一朝夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的終，也就是要不斷的引導學用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事關系、空間關系和數學信息從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數模型，進而達到用數學模型解決實際問題學建模意識成為學生思問題的方法習慣。具體地說，過建模教學：1.培養學生簡化、概括實際問題的能力對于實際問抽象得到的數學模型學生應靈活運用所學到的識以及有關數學思想和方法一步尋求一般地或最優的方法，有利于更好地養學生的運算、推理以及靈運用現代計算工具的能力。3.培學生對解出的結果是符合實際是否需要調整或修改原來模型的評價意識4.模活動倡導團對合作精神，而良好協作精神可以使學生取長補短，充分發揮每個的特長，所以培養學生的交合作能力以及動手實踐能力也是建模教學追求目標。3

三、課題究內容我們認為，學完有關數學知識單元后，應安排該單元知識應用專題，重點是滲透學建模思想，提高學生創新意識和化歸等能力根據大綱要求和現行教材內，主要有：集合交、并、補的應用，不等式的用，函數的應用，指數函數和數函數的應用，三角函數的應用，向量的應用復數的應用，線性規劃的應，圓錐曲線的應用，等差數列和等比數列的應，較復雜的計數問題舉例，體幾何的應用等。此外，結合時代發展的特點涉及現代生活的經濟統計圖（識別、分析、繪制），數據擬合（最小二乘），動態規劃（貨郎擔問題，產計劃問題等），網絡規劃（繪制、計算、優），矩陣對策，股票、彩票行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供模型，蛛網模型，法律與犯罪題，就業與失業，廣告與稅款等等，亦可以專講座等形式向學生作介紹，可介紹有關跨學科的生態平衡、環境保護、人生命等方面的問題，以適應代要求。在此基礎上應上述內容對其建模的主要類型行化歸以適應學水平，減輕學負擔。3.1、建立或化歸為函數模型4

如現實生活普遍存在著數據的利用、分析與預測，線性回、曲線擬合、最優化問題----最佳資、最小成本等，常常歸結為函數的值問題，通過建立相應的目函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和法解決。3.2、建立或化歸為方程或不等式模型現實世界中泛存在著數量之間的相等或不等關系資決策控制、資源保護、產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的關數量問題，常歸結為方程不等式求解。3.3、建立或化歸為數列模型現實生活中許多經濟問題，如增長率、利息（單利、復利、分期付款、現值、終值計算及應用，投資收益，折舊，庫存等與時間關的實際問題；生物工程中細胞繁殖與分裂等問題；人口增長、生態平衡環境保護，物理學上的衰變裂變等問題，常通過建立相應的數列模型求解3.４、建立化歸為幾何應用模型現實世界中及一定圖形屬性的應用問題，如航行、建筑、量、工廠選址、展開、疊、視圖、容器設計、空間量的計算、人造衛運行軌道等，常需建立相應幾何模型，應用幾何知識，轉化為用方程或不式，或三角知識求解。5

3.5、建立或化歸為概率統計模型：現實世界中及彩票與摸獎，市場統計，評估預測，風險決等常需建立或化歸為概統計模型求解。3.6、建立或化歸為邊緣學科模型：現實世界中自理、化、生、地、醫等方面的問題。四、實驗驟：本課題研究實踐的實施方案第一階段（一實施）：結合教材，以應用題為突破口，培學生運用數學建模方法的識，以簡單建模為主要目標。這一階段主要是提高學生運數學知識解決實際問題的興趣體到數學的價值，享到數學學習的樂趣，增強學好數學建模的信心由于剛開始接觸這一新的思方法，所以選取的例子要貼近教材內容，貼近生認知水平，貼近學生生活際，涉及的專業知識不能太多，且要易于理解此階段的重點是站在提高學素質的高度，把滲透數學建模的意識作為首要務，并注重培養學生的閱讀解能力和數學語言的轉換能力。同時，此階段生共同討論，分析尋找等量系或函數關系，將實際問題數學化，本階段主是落實簡單建模的教學目標6

第二階段（二實施安排與材內容有關的典型例，落實典案例教學目標，讓生初步掌握建模的常用方法。到了高二所學知識逐增多應結合教材內精心挑選典型案例，有計劃地讓生參與建模過程，初步掌握理論分析法、類比想分析法、數據分析法、模方法和人工假設法等中學階段適宜介紹的數學模方法，激發學生進一步學數學的熱情，拓寬學生視野，接觸更多的社會識和科學知識。此階段主要實典型案例教學目標為此應在教師導下改變傳統教方式，學生己獨立完成，然后由學生匯報并寫報告，使他能對經過提煉加工、忽略了要因素保留下來的諸因素之間的數量關系比較楚的實際問題，構建其數學型。第三階段（三實施）：落實綜合建模教學目標，以建模為心，小組為單位開展建模動，通過建模訓練，培養學生科學的思維方法提高創新能力。建模能力是題者對各種能力的綜合應用它涉文字理解能對實際的熟悉程度，相關知識的掌握程度，良好的心理素質，創新神和創造能力，以及觀察、析、綜合、比較、概括等各種科學思維方法的合應用。為此，在高三階段師生應組成“共同體”，在老師的點撥指導下以小組為單位開展建模活動同時提高學生獨立工作和相互合作的能力，小成員最好是優、良、中、差衡搭配，并輪流做組長負責召集、記錄和寫報，然后師生共同7

討論評定并結，教師重點在科學的思維方法上給予點撥和結。此時，有關課題可由教提供，亦可由學生提供，并可讓學生去實踐，強應用意識和經濟觀念，增生活、生產知識，提高學生的應用能力和創新力。同時，考慮高考的趨勢在復習時應對教學大、考綱所涉的、與中學水平相適應現實生產和生活中的應用問題進行詳盡的分類通過剖析典型例題，講述數建模的科學的思維方法，對現實問題進行良好遷移，使學生形成良好的數認知結構，切實掌握常見應用問題的解答思路技巧和方法，進而有效地提數學建模和應用技能，特別是高考和各類考試的應變能力。應注意的是在三階段有的課題花時較多教控制有一定度應予以注意，如果條件的地方，應鼓勵使用計算機。五、課題究的成：5.1、題研究和踐的步成果①到了將培養用數學的意識貫徹在“從實問題出發，行觀察、比較、分析、綜合抽象、概括和必要的邏輯推理，構建數學模型解決數學問題，從而解決實問題”的全過程之中。②教學中通過入貼近現實生活、生產和其學科為實際景的開放性或探索性例題使學生明確了數學是怎樣應用于解決這些實際題上去的，并能8

利用有關方進行數學建模，從而解決這些實際問題的，從體現數學的實際應用價值和學的社會功能。③數學建模為段，激發了學生學習數學的極性，學會團結協作，建立良好人際關、相互合作的工作能力。④數學建模為心，培養了學生的動手能力創新精神．過建模過程中的思維方向多向性以及一題多模的探討，豐富了學生的思，激發學生的創新，從而為生將來成為具有創造性思維的人才奠定了基礎⑤數學建模的學目標為導向，促進了數學模理論的系訓練，有效地改變了過去進行應用題的解題訓練，避免陷入應用題的“海”，減輕了學生的負擔，實推進了數學素質教育的發展。⑥過數學建模段，培養學生的自我評價能。許多數學型的建立往往只有較好沒有最好，甚至同一個問題可能有多個相互獨的數學模型，這就給評價帶了很大的困難，但同時也是挑戰。在這樣一種件下可以更好地培養學生的我評價能力，學生正是在這種不斷修改不斷完的過程中，來反省自己，充自己，從而形成獨立思考的習慣和良好的自我價能力。52建數建模意的基本途①為了培學生的模意，中學數教師首先需要高自己建模識。9

這不僅意味我們在教學內容和要求上的變化意味著教育思想教學觀念的更新中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史發展動態之外，還需要不斷學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如把中學數學知識應用于現實活。北京大學附中張思明老師對此提供了非常型的事例：他在大街上看到則廣告店承接號影印么是A1型號？在弄清了種型號的比關系后，他便把這一材料引入到初中“相似形部分的教學中。這是一般人忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教的良好機會。②數學建教學還與現教材結合來研。教師應研究各個教學章節中可引入哪些模型問題講立體何時可引入正方體模或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來決；又如在解幾中講了兩點的距離公式后入兩點間的距離模型解一些具體問而儲蓄問題、信貸款問題則可結合在數列教學中。要經常滲透模意識，這樣通過教師的潛默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步悟到數學建模的廣泛應用，而激發學生去研究數學建模的興趣，提高他們用數學知識進行建模的能力③注意與它相關科的系。由于數學是生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且它學科與數學的聯系相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它科的呼應，這不但可以幫助生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模識的一個不可忽視的途徑。如教了正弦型函數后，可引導學生用模型函數y=Asin（wx+）10

寫出物理中動圖象或交流圖象的數學表達式。又如當學生化學中學到CHCL剛等物理性質時用立幾模型來驗證它們的鍵角為（-1/3）44=109°28′……可見這樣的模型意識不僅僅是抽象的數學識，而且將對他們學習其它科的知識以及將來用數學建模知識探討各種邊學科產生深遠的影響。④在教學還要結專題論與建模研究我們可以選適當的建模專題數法建模模線擬合法建討論析和研究悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的本方法。甚至可以引導學生通過對日常生活的察，自己選擇實際問題進行模練習而讓學生嘗到數學建模成功甜難于解決苦”借亦拓寬視、增長知識、積累經驗。這亦符合玻利亞的“動學習原則正所謂“學之道，問而得，不如求而得之深固也53把構建學建模識與培學生造性思維程統起來在諸多的思活動中，創新思維是最高層次的思維活動，是拓性、創造性人才所必具備的能力理工大學創新中心提出的養創造性思能力，主要應培養生靈活運用基本理論解決實際問題的能力。由，我認為培養學生創造性思的過程有三點基本要求。第一，對周圍的事物有積極的態度；第二，要敢提出問題；第三，善于聯想，善于理論聯系實。因此在數學教學中構建學的建模意識實質上是培養學生的創造性思維能，因為建模活動本身就是一創造性的思維活動具有一定的理論性具有較大的踐性；11

既要求思維數量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在模活動過程中，能培養學生立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問的最佳方法和途徑，可以培學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉換、構等能力。而這些數學能力正創造性思維所具有的最基本的特征。①發揮學的想象力，養學生的覺思眾所周知，學史上不少的數學發現來源于直覺思維，如笛爾坐標系、費爾馬大定、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應該說它們不任何邏輯思維的產物，而是學家通過觀察、比較、領悟、突發靈感發現的通過數學建模教學，使學生獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發問題，溝通各類知識之間的在聯系等是培養學生創新思維的核心。Y

D例:證明

sin

sin

sin149

sin221

sin293

0.

CE分析：此題作為“三角”問題來處理，當然也可

B以證出來，從題中的數量特征來看，發現這些角都依

A

X次相差72°，聯想到正五邊的內角關系由此構造一個正五邊形如圖）由于

CD

.從而它們的個向量在Y軸上的分量之亦為0，故知原式成。這里，正五形作為建模的對象恰到好處地體現了題中角度數量特征。反映了學生銳的觀察能力與想象能力果沒有一定的建模訓練很創造”出如此潔、優美的證明的。正EL勒指出的“具有豐富知識和經驗的人，比只一種知識和經驗的人更容易產生新的聯想和獨的見解。12

y留的y為；顯然有y②構建建意識，養y留的y為；顯然有y恩格斯曾說由一種形式轉化為另一形式不是無聊游戲而是數的杠桿如果沒它就不能走很遠數學建模是把實際問題轉換成數學問題，因如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有的杠桿，對培養學生思維品的靈活性、創造性及開發智力、培養能力、提解題速度是十分有益的。如在教學中我曾給學生介紹過“洗衣問題一桶水，洗一衣服，如果我們直將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩，先在其中一份中洗滌，然在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不而喻，但如何從數學角度去釋這個問題呢？我們借助于液的濃度的概念把衣服上殘留臟物看成溶設那桶水的體積為x衣服的體積為y而衣服上臟物體積為z當然z非常小與xy比可忽略不計xy第一種洗法，衣服上殘留的臟物為；xx按第二種洗：第一次洗后衣服上殘留的臟物為；第二次洗后衣服上殘zyyzxy這就證明了二種洗法效果好一些。事實上，這問題可以更引申一步，如果把洗衣過程分為k步（k給定）則怎樣分才使洗滌效果最佳？13

2學生對這個題的進一步研究，無疑會激發其學習數學的主性，且能開拓學生創造思維能力，養成善于發現問題，獨立思2③以“構”為載，培學生的創能力“一個好的學家與一個蹩腳的數學家之間的差別，就在于者有許多具體的例子，后者則只有抽象的理論我們前面講建模”就是構造模型，模型的構造并是一件容易事，又需要足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則學生創造性思維和創造能力基礎：創造性地使用已知條件，創造性地應用學知識。如在一條筆直的大街上n房子座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應什么地方會面，走的路程之和才能盡可能地少分析：如何示房子的位置？構造數軸用數軸示筆直的大，幾座房子分別位于xx、…、x，不妨設x<x…<x,又設各座房中分別12n12n有a、a、…、a個孩，則問題就成12n

求實數x，f(x)=

a|x-x|ii最小。又如：求函2

的最小值。分析：學生先想到的用不等式求得最小值為，但忽略了號成立的條f件。若把函變換為，則可構造學模型“求過點A（0,-4及點（2sinθsin

2

θ的直AB斜的最小值而點（2θ，sin

2θ）的軌跡是拋物線段：

14

55

14

2x2)

結合圖象知f

(θ)的最小值為2x再如，用實例子說明yx[5,10)

x[10,20]所表示的意給變量賦予不同的內涵，就可得出函數不同的釋，我們從物理和經濟個角度出發構造出實例：（1）X示時間（單位：s示速度（單：m/s始計時后質點以10/s的初速度作勻加速運動加度為2m/s2秒鐘后質點20/s的速度作勻速運動10秒鐘后質點以2m/s

的加速度作減速運動，直到質運動到20秒末停下。（2季節性服飾在當季即將到來之時價格呈上升趨勢設某服飾開始時定價為10元并且每周7天漲價2元5周后開始保持元的價格平穩銷售10周后當季即將過去，平均每周削價2元，直到20周該服飾不再售。函數概念的成，一般是從具體的實例開始的，但在學習函時，往往較少考慮實際義題旨在通過學生根據己的知識經驗出函數的實解釋，體會到數學念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解的開放從上面兩個子可以看出，只要我們在教學中教師仔細地觀，精心的設計，可把一些較為抽象的問題，通過現象除去非本質因素，從中構造出最基的數學模型，使問題回到已知的數學知識領域并且能培養學生的創新力。15

5.4、數學建模例題的設計應注意問題通過實踐和討們認為數學建模問題的編擬應使其有以下幾個要特征：①向性選編的數建模問題應在思想內容上富于時代息并注重真實性、科學、趣味性，既有助于中學素質教育，又能考查析問題解決問題的能力。②蔽性建模件應具有適的隱蔽性是考查和培養學生建能力的一個重要方。③始性所給材料應保其原始性來自廣播電視、刊雜志的信政府機關、企業單位的報告、計劃、統計資料等等，都是數建模問題原始資料的重要來，也可以引導學生親自到一線調查研究，注意累找課題。④擬性由于學生水平和齡特征的限制對社會生活中實際問題進行簡化處理使之成為適合于中學數學教育可用的形式。⑤合性由于應用帶有很強的現實生活色彩數量關系信息儲存式、實際情境設、語言表述形式等都不同于常規訓練中的簡單題，因此，建模課題應具有個層次的綜合性社會交流層上的綜合性括生活識、16

語言知識相關學科知識的綜2數學素質層次的綜合包括基知識、基本技能、本數學思想方法和能力的“多位一體”的綜合⑥創新性創新是民興旺的靈魂一個國家興旺發達的不竭力江澤民語），制建模例題時須考慮培養學生的創精神和創造力，為此，應注重一題模或多題一模、統計圖表等例題的編擬，密切注現代科學技術的發展，使學創新和高技術密切結合，溶入當代科學發展主流。六、存在問題：課題研究與踐的繼續深化還應注意的問題①應授予適中學生水平的數學建模理論與方法并過系統訓練以強化，形成一良好的認知結構，在中學階段應介紹哪些數學模理論和方法，須作進一步究。②教學時間活動時間的合理安排的探討。③用傳統的學方式是很難達到數學建模教學目的的文第一部分所介紹的實施方案從根本上改變了傳統的教師講、學生聽，使學真正成為學習活動的主體，實施中教學控制有一定難度，還須進一步實踐17

④教師自身質提高的問題實踐中我們感到教師的質和水平是學建模教學能成功的關鍵，同時也直接影響他（她）所教學的素質，我們應積極投身到施和推進素質教育的各項活動中去，更新教育念，不斷積累和更新專業知，其中包括較寬廣的人文和科學素養，當代重的如計算機語言等工具性學，不斷創新，提高自身素質。⑤關于數學模教學的評價評設計的要求是使教學評三方面有一較為客觀一、便于操作的標準，促進教師改進教學，激勵生努力學習，完成數學建模學的主要目標。⑥對師生的算機應用水平提出了很高的要求。他們往往由3～7人組成一個小組，共同究同一個問題。在建立一個數學模型的過程，往往要經歷以下過程：模型準備：解問題的實背景，明確其實際意義，搜集各種信息生通過市場查、查閱相關資料、利用因特網收集與問題相關的大量信息）模型假設：據實際對象特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的言提出一些恰當的假設。用數學語言來描述問。（將收集到的信息進行篩，選出有用的資料，進行適當的假設；實際問中有許多因素，在建立數學型時不可能、也沒有必要把它們毫無遺漏地全加以考慮，只能18

考慮其中的主要的因素，舍棄其中的次要因素。尤其在高階段更應大力簡化。）模型建立在假設的基礎上用適當的數工具來刻劃各變量之間的數學關系，建相應的數學結構。（在簡化假設的條件下，利問題內在規律建立數學模型模型求解利用獲取的數資料對模型的有參數做出計（助計算機的計算功）模型分析對所得的結果行數學上的析在理論上對模型的合理性進行分析，慮必要的誤差帶來的影響）模型檢驗將模型分析結果實際情形進比較以來驗證模型的準確性、合理性適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算果給出其實際含義并進行解釋如模型與實際吻合較差則應該修改假設再次重復建模過程。模型應用：用方式因問的性質和建模的目的而異。我們曾經與生共同解決過這樣一個問題：放風箏的數學模。要研究在空中漂浮不的風箏，需要很復雜的知識，可能包括了物理的流體力學的知識，也包括地理方面空氣對流的知識