界的難完全問題例：在一個周六的晚上你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人會主人向你提議說一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示就須環顧整個大廳個個地審視每一個人是有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，13717421可寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。人們發現所有的完全多項式確定性問題可轉換為一類叫做滿足性問題邏運算問題。既然這類問題的所有能答案，都可以多式時內計算，人們于是就猜想，是否這類問題存一個確定性法可在多項式時間內直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想管我們編寫程序是否靈巧定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解看邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂·克于1971年述的。霍奇猜二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法想法是問在怎樣的程度上們可以把給定對象形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成這技巧是變得如此有用得它可以用許多不同的方式來推廣終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是在一推廣中，程序幾何出發點變得模糊起來某意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件奇想斷言于所謂射影代數這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱代數閉的幾何部件的(有理線性)組合。龐加萊想如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶么我們可以既不扯斷它不它離開表面使慢慢移動收縮為一個點一方面如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上么扯斷橡皮帶或者輪胎面有辦法把它收縮到一點的們說，

蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是。大約在一百年以前龐萊已經知道二維球本質上可由單連通性來刻畫，他提三維球四維空間中與原點單位距離的點的全)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。在年11月2003年月間俄羅斯的數學格里戈·佩爾在發表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾化猜。在佩雷爾曼之后，先后有2組究者發表論補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯·克萊納和約翰洛倫比亞大的翰摩根和麻省理工學院的剛2006年8月第25屆國際數學家大會授予佩雷爾菲爾茲。學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。黎曼假有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如、35、……等這樣的數稱素數它在純數及其應用中都起著重要作用在所有自然數中這素數的分布并不遵循任何規的式；然而，德國數學黎曼1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta數ζ(s)的態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0所有有意義的解都在一條直線上已經對于開的1,500,000,000個驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍素數分的許多奧秘帶來光明。黎曼假設之否認：其實雖然因素數分布而起是一個歧途偽數素數的普遍公式告訴我們，素數與偽素數由它們的變量集決定的。具體參偽素及數條。楊-米爾存在和質量缺口量子物理的定律是以經典力學的頓定對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的約半個世紀以前振和爾斯發現子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系楊米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實羅克哈文斯坦歐洲粒子物理研究和波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格程沒有已知的解特是被多數物理學家所確認、并且在他們的對于夸克的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實一題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。納衛爾-斯托方程存在性與光滑

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船的流跟隨著我們的現噴式飛機飛行數學家和物理學深信無是微風還是湍流都以通過理解納維葉－斯托克斯程的解，來對它們進行釋和預言。雖然這些方程是19世寫下的，我們對們的理解仍然極少戰于對數理論作出實質性的進展我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。想數學家總是被諸如那樣的數方程的所有整數解的畫問題著迷歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上馬蒂雅謝維奇指出希伯特第十問題是不可解的即不在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解解一個阿貝爾簇的點時赫和斯訥通