等邊三角形和等腰三角形的性質知識梳理等腰三角形：（－）等腰三角形的性質有關定理與其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊同等角”）。推論1：等腰三角形頂角的均分線均分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直均分線為對稱軸的軸對稱圖形；（二）等腰三角形的判斷有關的定理與其推論定理：若是一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角同等邊”。）推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，若是一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等邊三角形：定義：三條邊都相等的三角形性質：三邊相等，三角相等且都為60度，加等腰三角形性質。判斷：三條邊相等的三角形，三個角都為60度的三角形，有一個角是60度的等腰三角形。等邊三角形的判斷方法：1）有邊相等的三角形叫做等邊三角形；2）有角相等的三角形叫做等邊三角形；3）有個角都等于600的三角形叫做等邊三角形；4）有個角等于600的三角形叫做等邊三角形。典型例題例1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點。例2.如圖，已知：ABC中，ABAC，D是BC上一點，且ADDB，DCCA，求BAC的度數。1/10例3.已知：如圖，ABC中，ABAC，CDAB于D。求證：BAC2DCB。例4.如圖，ABC中，ABAC，A100，BD均分ABC。求證：ADBDBC。例5.如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE?都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求證：（1）△BCE≌△ACD．（2）CF=CH（3）FH//BD2/10線段的垂直均分線與角均分線專題學習【知識總結】1、線段的垂直均分線的性質定理：________________________F_______________________________________________________.如右圖，幾何語言表述為：∵______________________________∴______________________________.ACB2、線段的垂直均分線的性質定理的逆定理：_________________________________________________________________________.如右圖，幾何語言表述為：∵______________________________∴______________________________.3、線段中垂線的尺規作圖法：4、三角心的外心：三角形三邊的中垂線交于一點，它到__________________距離相等，這個點就叫做三角形的外心.5、角分線的性質定理：_________________________________________________________________________________________.如右圖，幾何語言表述為：____________________________________________________________.6、角均分線性質定理的逆定理：___________________________________________________________________________________.如右圖，幾何語言表述為：____________________________________________________________.7、角均分線的尺規作圖法：8、三角心的心：三角形三邊的角均分線交于一點，它到____________距離相等，這個點就叫做三角形的心.【例題剖析】例1：如圖，在△ABC中，AC=27，DE為AB的中垂線，△BCE的周長等于50，求BC的長.3/10例2：如圖，A、B是兩個庫房，直線CD是河，要在河上建碼頭，使碼頭到兩個庫房的距離相等，問庫房應建在什么地方？(保留作圖印跡即可)例3：如圖，求作點P，使P到C、D的距離相等，同時到角兩邊的距離也相等.例4：如圖，已知∠ACB、∠ADB都是直角，且AC＝AD，P是AB上任意一點．求證：CP＝DP．例5：如圖，△ABC的外角均分線∠DBC、∠ECB的均分線訂交于點F.求證：點F在∠A的均分線上.4/10例6：如圖，AD是△ABC的角均分線，EF是AD的中垂線，求證：(1)∠EAD=∠EDA；A(2)DF∥AC；(3)∠EAC=∠B.FBDCE例7：如圖，A、B、C三點在同素來線上，分別以AB、BC為邊在直線的同旁作等邊三角形ABD、BCE，連結AE交BD于M，連結CD交BE于N，連結MN，求證：BMN是等邊三角形。ED5M3N412ABC例8：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直均分線MN分別交BC、AB于點M、N．求證：CM＝2BM．題組一：5/101、如圖，AP均分∠BAC，且PE⊥AB，PF⊥AC，PE=3，則PF=_______.第1題第3題第4題2、在△ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC的均分線.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，則點D到AB的距離為_______.3、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=BC，AD是∠CAB的角均分線，DE⊥AB.若AB=8，則△DEB的周長是__________.4、如圖，在△ABC中，OB均分∠ABC，OC均分∠ABC，MN∥BC且過點O.若AB=8，AC=7，則△AMN的周長是_________.5、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，且DE⊥AB，DF⊥AC，求證：BE=DF.(要求證明過程中要用到角均分線性質定理)6、如圖，已知：AD⊥OB于D，BD⊥OA于C，AD、BC訂交于E，且EA=EB.求證：EO為∠AOB的均分線.題組二：1、如圖，0P是∠AOB的角均分線，PC⊥AO，PD⊥OB，則PD與PC的大小關系為( )A．PC>PDB．PC=PDC．PC<PDD．不能夠確定第1題第2題第3題2、如圖，有A、B、C三個居民小區的地址成三角形，現決定在三個小區之間修一個商場，使商場到三個小區的距離相等，則商場應建在( )A．在AC、BC兩邊高線的交點處B.在AC、BC兩邊中線的交點處C．在AC、BC兩邊垂直均分線的交點處D.在∠A、∠B的角均分線的交點處3、如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則∠A等于( )A．25oB.30oC.45oD.60o6/104、如圖，直線L過正方形ABCD的極點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的面積是_______.5、如圖，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO均分∠BAC．求證：OB＝OC．6、如圖，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與AC交于點E，請你判斷線段AC與BH有什么關系？并說明原由.課堂練習1．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且BDAE，AD與CE交于點F．（1）求證：ADCE；（2）求∠DFC的度數．AEFBCD7/10已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別是垂足。求證：AE＝AF。3．如圖⊿ABC中，∠ACB=900，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE于F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D.求證：AE=CD14.ABC中，ABAC，A120，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：DEBC。2EADBC5.如圖，在ABC中，D在AB上，且CAD和CBE都是等邊三角形，說明：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°8/106．以下列圖，在△ABC中，AB=AC，△ADB和△ACE都是等邊三角形，且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度數。課后作業一、選擇題1．正△ABC的兩條角均分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．以下三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個極點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm4．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF?的形狀是（）A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是（）A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能夠確定形狀6.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角均分線，且訂交于點F，則圖中的等腰三角形有（）A.6個B.7個C.8個D.9個7.等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不對二、填空題1．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．2．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．3．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是__________