Mechanics

力學12Chap.7MechanicsofRigidBodies剛體力學3

剛體是不可形變的物體

(或物體內任意兩點間的間距不變)。

質點系的理想模型

剛體可以看作是大量的質點(質元)構成，

每個質元具有各自的速度和加速度。

4§7.1剛體運動的描述i.剛體的平動1.定義：在運動中，剛體上任意一條直線在各個時刻的位置都保持平行。

2.性質：

②每個質點具有相同速度和加速度。①每個質點具有相同軌跡。5ii.剛體繞固定軸的轉動1.定義：每個質點做圓周運動，圓心在固定轉軸上。2.性質：①剛體中始終保持不動的直線就是轉軸。②剛體上軸以外的質元繞軸轉動，轉動平面與軸垂直，圓心在軸上。③和轉軸相平行的線上各質元的運動情況完全一樣。主要問題:“忘掉不重要的or非本質的……”

某一時刻描述剛體的狀態量需要幾個?6角坐標：如圖示：建立O-xyz系，z軸與轉軸重合，O點任意選取除O點外，再選一個A點，此圖形的位置可由矢量來確定，而矢量的大小是不變的，方向只需由矢量與x軸的夾角θ來確定，此θ角稱為：繞定軸轉動剛體的角坐標

。θ角的正負規定：定軸轉動剛體轉動的方向和z軸成右手螺旋時，θ角為正，否則θ角為負。3.定軸轉動的描述7①運動學方程：，即：角坐標隨時間的變化規律。②描述剛體整體運動的物理量——角量，包括：角位移，角速度，角加速度。角位移：定軸轉動剛體在時間內角坐標的增量。任意質元的角位移是相同的——是一整體運動的量。面對z

軸觀察：逆時針轉動，；反之，。8即：瞬時角速度等于角坐標對時間的導數。面對z軸觀察逆時針轉動時：；反之，。角速度ω：在這一過程中，9角加速度α：

即：瞬時角加速度等于角速度對時間的導數。加速轉動，α與ω同號；，反之，。10③線量：描述定軸轉動剛體上任一質元運動的物理量：線位移，線速度，線加速度。yxOAθr線位移：

線速度：

線加速度：Note:ds的物理意義11由定軸轉動剛體角量和線量關系可知：角量：描述剛體整體運動的物理量；角量充分描述了剛體的定軸轉動狀態線量:：描述剛體任一質元運動的物理量，由角量可得線量物理量單位量綱物理量單位量綱角位移

rad1線位移

mM角速度rad/sT-1線速度m/sMT-1角加速度rad/s2T-2線加速度m/s2MT-212求導積分求導積分α(t)ω(t)θ(t)求導積分求導積分a(t)v(t)x(t)初始條件:t=0時,θ=θ0

ω=ω0

初始條件:t=0時,x=x0,v=v0

勻變速轉動(α=C)和勻變速直線運動(a=C)相對應：速度公式位移公式速度位移關系13iii.角速度方向規定右手螺旋法則：四指的方向和轉動方向一致，大拇指的指向就是的方向，沿轉軸，如圖示：必須滿足平行四邊形法則：(1)定義(2)角加速度14剛體的平面運動(1)定義剛體上各點均在平面內運動，且這些平面與一固定平面平行。(2)性質剛體上垂直于固定平面的任意直線上各點具有完全相同的運動狀況。15通常選擇此平面內剛體上某點B的位置坐標和繞過該點軸旋轉的角度θ來描述剛體的位置A。

或(3)平面運動的描述剛體的狀態量

vs.質點不同體系的區別？16B點是任意選取的，稱作基點。即：反映任意選定基點的運動，反映剛體繞過基點軸的轉動。因此：平面運動可分解為隨基點的平動和繞過基點軸的轉動。17

平面運動剛體上任一點的速度如圖：以B點為基點，建立如圖示的坐標系則：因此，而A點相對于基點B的速度矢量：（為剛體繞過基點軸的角速度）即：平面運動剛體上任一點的速度A等于隨基點B的平動速度與繞過基點B軸轉動的速度的矢量和。回憶轉動和非轉動坐標系間的坐標變換關系18此即為純滾動的條件。CABDEω例題：如圖所示，半徑為r的圓柱體做無滑滾動，畫出A、B、D點的速度矢量圖，并討論圓柱體只滾不滑的條件解：選圓柱的幾何中心C為基點，則圓柱邊緣上任一點的速度：考慮與地面接觸點E的速度：如果圓柱體只滾不滑，應滿足：兩邊對時間求導：19§7.2剛體的動量質心運動定理i.剛體的質心剛體的質心的計算，同質點系的質心的計算方法完全一樣

質量分立分布：

質量連續分布：20ii.計算質心的方法⑴對稱法：根據剛體質心的定義式可知，剛體的質心必定在剛體的對稱中心、對稱軸、對稱平面上⑵分割法：根據剛體的形狀，把剛體分成幾部分，轉化成求幾個質點的質心⑶積分法：選取合適的質元、坐標，通過做積分求出質心21例1：求半徑為a的均質半圓球的質心。解：常用的方法是對稱法，質點在對稱面，對稱軸，對稱中心等上。如圖建立坐標系o-xyz，則C在z軸上，取質量元為如圖示的薄圓板，厚度為dz，由于則：多重積分不用怕，一重一重來vs.多次求導22例2：如圖所示，在半徑為R的勻質圓板上鉆一個半徑為R/2的圓孔，求鉆孔圓板的質心.解：補上被鉆掉的小圓板,整個大圓板可看作由小圓板mA和月牙板mB組成。據質心計算公式：ABomBmAx由對稱性分析可知：大圓板的質心在o點，小圓板的質心在A點，要求的月牙板的質心在x

軸上的某一點，設為B23⒉剛體的動量守恒定律若剛體所受外力矢量和為零，則剛體的動量保持不變。

質點系的有關概念和規律都適用于剛體⒈剛體的動量：⒊剛體的質心運動定理：iii.

剛體的動量質心運動定理

=恒矢量如果基點選為質心時………剛體的運動方程部分24例3:求偏心飛輪對軸承的壓力：已知勻質飛輪質量m=5.0kg，半徑r=0.15m，轉速n=400r/min，質心C距轉軸O距離d=0.001m，飛輪所受重力忽略不計COd解:以飛輪為研究對象，設軸對其壓力為據質心運動定理：據牛頓第三定律，飛輪對軸的壓力：

轉軸偏離質心會產生較大附加壓力，使機座產生有害振動或使軸承變形，因此要盡量使質心位于轉軸上25§7.3剛體定軸轉動的角動量轉動慣量i.

剛體定軸轉動對軸上一點的角動量zωO大小:若方向:沿z軸正方向(a)r:到軸的距離26zOω(b)不沿z軸方向討論：剛體定軸轉動時，角動量矢量與角速度方向不一定相同。根據數學定義舉簡單例子來判斷,

而不是靠單純想象2728ii.

剛體對一定轉軸的轉動慣量

1、轉動慣量定義：

說明：轉動慣量與剛體的質量分布和轉軸的位置有關。其中：表示質點對轉軸的距離。2、轉動慣量的計算：①質量不連續分布情況：②質量連續分布的情況：取定坐標系后的內部屬性why轉動慣量?......最終目標:運動方程29例：證明空心圓盤對過質心與端面垂直的軸的轉動慣量：rR2R1dr證明：在坐標r處取寬度為dr的細圓環，轉動慣量為：令，即得細圓環的轉動慣量：令，即得圓盤的轉動慣量：30例：證明球體對任意直徑的轉動慣量為：證明：如圖所示，在坐標z處取高為dz的小圓柱作為質元，dzzRro31幾種常見剛體的轉動慣量323、平行軸定理

若兩軸平行，距離為d

，其中一軸過質心，剛體對它的轉動慣量為Ic,則剛體對一軸轉動慣量為：ycxcyiyyi'y'xixi'xx'midCO證明：如右圖示，剛體的二軸分別為z和z’軸，

由此可知：剛體對各平行軸的不同轉動慣量中，對質心軸的轉動慣量最小。334、垂直軸定理（僅適用于厚度無窮小的薄板，厚度）

即：無窮小厚度的薄板對一與它垂直的坐標軸的轉動慣量，等于薄板對板面內另兩互相垂直軸的轉動慣量之和。

證明：如圖所示，有：因此，注意：本定理對有限厚度板不成立。34iii、剛體定軸轉動的角動量定理轉動定理剛體對轉軸（假定為z軸）的角動量：應用質點系對z軸的角動量定理，可得定軸轉動剛體的角動量定理：其中為外力對z

軸的力矩；為剛體的角加速度在z

軸上的投影，可正可負。

剛體平面轉動:3個自由度要求

3個獨立運動方程,now……x’’,y’’,theta’’35注意:定軸轉動中軸方向沒變,非定軸轉動的運動方程?......還是平面運動么?.....36剛體轉動定律:作用于剛體上的外力對轉軸的力矩之和，等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積若為恒量若作用于剛體的外力對某軸的力矩為零，則剛體對該軸的角動量守恒。剛體定軸轉動的角動量守恒定律剛體轉動定律質心運動定理m是物體平動時慣性大小的量度，I是物體轉動時慣性大小的量度，因此稱為轉動慣量討論37例：圖示為放水用的弧形閘門，半徑為R，質量為m，重心C距轉軸o的距離為，對o軸的轉動慣量為

,開始提升閘門時,弧形部分加速度，求此時的拉力T和支撐力N（不計摩擦）yNo(z)mgCxTa38解：研究對象：弧形閘門和鋼架由轉動定理：由質心運動定理：yNo(z)mgCxTa建立坐標系：z軸垂直紙面指向讀者剛啟動瞬間，閘門質心速度為零，向心加速度為零得到基點選……初始狀態:位置+角速度etc3940例、雜技演員M、N的質量均為m。均勻細蹺板長l，質量為m′,支撐于中點o,若M從高h自由下落與板作完全非彈性碰撞，求N可彈的高度。解：取演員M、N

和蹺板為系統，以通過o點軸為轉軸，演員M與蹺板碰撞的過程，系統角動量守恒（為什么？）41碰撞前碰撞后式中為碰撞后演員和蹺板c的角速度，u

為碰撞后演員M、N

的線速度，由角動量守恒解得所以演員達到高度碰撞后初始速度離開蹺板?42i、力矩的功

下面我們來研究定軸轉動剛體在外力作用下轉動情況下,對剛體所做的功。

分解為：§7.4剛體定軸轉動的動能定理

力矩的功:剛體定軸轉動，力所做的功等于該力對轉軸的力矩對角坐標的積分。對z

軸的力矩xoy43由質點系動能定理知：ii.剛體定軸轉動的動能定理應用于定軸轉動剛體：而因此，剛體繞定軸轉動時，轉動動能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數和剛體定軸轉動的動能定理注意：剛體內一切內力做功之和等于零，無論剛體作何運動，都成立。無形變……內部勢能沒變化44iii.

剛體的重力勢能剛體的重力勢能：剛體與地球共有的重力勢能，等于各質元重力勢能之和：由上式知：剛體重力勢能決定于剛體重心距勢能零點的高度，與剛體的方位無關，與剛體運動形式無關。xyoCyC45例：如圖所示，滑輪為勻質圓柱，質量為m1，半徑為R;質量為m2的重物由靜止下落h，求重物下落

h

后的速度m1,Rm2haαTTm2gR解法1：隔離滑輪和重物，受力、運動情況如圖,α=a/R.據轉動定理：據牛二定律：46①+②，可求得設重物落下h后的速度為v

解法2：把滑輪、重物視為一個系統，滑輪角速度ω=v/R在下落過程中只有重力做功，由質點系動能定理：47例：長為L、質量為m的勻質細桿從水平位置開始釋放，求桿到鉛直位置時端點的速度及桿對光滑支點的作用力

NoCaCvm,Lmg解：設在鉛直位置時端點的速度為v桿的角速度ω=v/L，由平行軸定理可求得桿的轉動慣量：由機械能守恒：

的方向向左48在鉛直位置，外力矩為零，因而角加速度為零據質心定理：由牛三定律，桿對光滑支點的作用力N‘=-N，方向豎直向下。支撐力N的方向向上還是角度/位置關系給出49§7.5剛體平面運動的動力學xyox'y'Ci、剛體平面運動的基本動力學方程

運動學中，剛體平面運動視作隨任意選定基點的平動和繞基點軸的轉動.

動力學中，基點常選取在質心上，方便使用質心運動定理和對質心軸的角動量定理.

50動力學方程：

(1)O系中運用質心運動定理：

（1）分量：

（2）(2)在C系中應用剛體對z’

軸的角動量定理：

作用于剛體各力對質心軸的合外力矩和等于剛體對該軸的轉動慣量與剛體角加速度的乘積剛體對質心的轉動定理:剛體平面運動的基本動力學方程（1）+（2）51ii、作用于剛體上的力

FACFBa.

作用在剛體上的力是滑移矢量作用在剛體上的力可產生兩種效果：一是使剛體產生隨質心的平動加速度，二是使剛體產生繞質心的角加速度。在示意圖中，將力沿著力的作用線由A點滑移到B點，并不改變力對剛體的兩種作用效果。

作用在剛體上的力可以沿力的作用線任意滑動52因此：對于剛體，力的三要素：大小，方向，作用線。

b．力偶和力偶矩

力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對力。力偶作用效果：力偶不改變質心的運動狀態，只改變剛體的轉動狀態。力偶矩:力偶對任一點o

的力矩表示的方向垂直紙面向外；d

表示力偶之間的距離。

F-Fr1r2r21o531.5N1.5N0.2m3N3N0.1m

特點：⑴

力偶矩方向與力偶作用面垂直，二力與力偶矩方向構成右手螺旋系；大小等于兩力間距離與力的乘積⑵

力偶矩的大小、方向與參考點o無關

⑶凡是力偶矩相等的力偶，對剛體作用效果完全相同54c．力的平移定理

考慮到作用在剛體上的力的兩種效果和力偶矩的概念，我們可以把作用在剛體上的力平移到質心再附加一力偶矩FCCF55例：如圖所示，圓柱體的質量為m，半徑為R，在傾角為α的斜面上作無滑滾動，求質心加速度和靜摩擦力

acfNαCαmg解：圓柱體受力及運動情況如圖所示由于只滾不滑，所以由質心定理：對質心軸應用轉動定理：由①②解得：56例：如圖示，已知汽車質量為m，前后輪距離為L，質心距前輪距離為l，高為h，輪子與地之間的滑動摩擦系數為μ，求汽車剎車時，前后輪對地面的壓力是多少？aclhmgf1f2N1N2CL解：剎車時，輪子不再轉動，整個汽車做二維平動，車受力如圖所示。應用質心定理：57建立質心參考系，以質心為軸，應用轉動定理：由①③求得：⑴對前輪或后輪支點，是否可應用轉動定理？

⑵若車靜止，則據牛三定律，前后輪對地的壓力大小分別為N1,N2，方向向下。討論：58iii.

剛體平面運動的動能克尼希定理剛體平面運動的動能=剛體隨質心的平動動能

+剛體繞質心的轉動動能對于剛體平面運動，動能定理表現為：

59例：質量為m，半徑為R的圓柱在高為h的斜面頂端由靜止開始無滑滾下，求滾到斜面底端時質心的速率

解：在無滑滾動條件下，只有重力做功，因此可以應用動能定理或機械能守恒定律求解：hNfmg60§7.6剛體的平衡i.剛體的平衡方程(a)剛體在平面力系作用下平衡的充分必要條件：

z

軸是過任一點O垂直于剛體平面的轉軸。

確定剛體平面運動的位置只需3個獨立變量61

(b)剛體平衡方程的等價形式：

（1）(連線不與x軸垂直)xoo'Foo'與x軸不正交,若正交,如圖示,力雖然滿足3個方程，但剛體并不平衡（2）(三點不共線)oo'Fo"o,o',o"不共線。若共線，如圖示,力雖然滿足3個方程，但剛體并不平衡62ii.桿的受力特點

鉸鏈連接：桿套在一個被稱為鉸銷的圓柱體上，桿可繞圓柱體轉動。鉸銷對桿的作用力可簡化為過鉸銷中心（節點）的一個力和對節點的摩擦力矩。代表外界施加給桿的負荷，為桿的自重。QWABFAFBMAMB63則桿僅受到過節點的兩個力的作用，在平衡狀態下，這兩個力等大、反向、作用在兩節點連線上如果滿足下面2個條件：①鉸銷光滑（）②沒有外界負荷或負荷過節點,且桿的自重可忽略或過節點FAFBQWABFAFBMAMB64例題：如圖示，A、B、C

處均為光滑鉸鏈連接，兩個桿的質量可忽略,外界負荷F=100N,其余條件如圖示,求直角彎桿在B點和C點受的力，ACD

桿在A點受的力ABCFBFCFC'Fxy0.5m0.5m0.5mDFA解：設桿A點受力為FA,方向待求，作用在直角彎桿上的兩個力FB