1、2023年高考數學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1己知函數若函數的圖象上關于原點對稱的點有2對，則實數的取值范圍是（ ）ABCD2函數（， ， ）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（ ）A2，0B2， C2， D2， 3記集合和集合表示的平面

2、區域分別是和,若在區域內任取一點,則該點落在區域的概率為( )ABCD4某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（ ）A收入最高值與收入最低值的比是B結余最高的月份是月份C與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D前個月的平均收入為萬元5已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）ABCD6已知函數（，）的一個零點是，函數圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數的單調遞增區間是（ ）A（）B（）C（）D（）7已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）ABCD8執行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為3，則可輸入的實數值的個數為（ ）A1B2C3D49 “十二

3、平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為ABCD10某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為ABC2D11集合中含有的元素個數為（ ）A4B6C8D1212定義在上的奇函數滿足，若，則（ ）AB0C1D2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知實數滿足則點構成的區域的面積為_，的最大值為_14在中，角，的對邊分別為，若，且，則面積的最大值為_.15若

4、點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結論：為的重心；當時，平面；當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結論的序號是_.16請列舉用0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字且比210大的所有三位奇數：_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）己知，.（1）求證：；（2）若，求證：.18（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，設變換對應的矩陣為（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值19（12分）某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創業，在一個開學季內，每售出1

5、盒該產品獲利50元，未售出的產品，每盒虧損30元.根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學為這個開學季進了160盒該產品，以（單位：盒，）表示這個開學季內的市場需求量，（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤.（1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量的平均數和眾數；（2）將表示為的函數；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學季利潤不少于4800元的概率.20（12分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，

6、求的取值范圍.21（12分）已知數列的各項都為正數，且（）求數列的通項公式；（）設，其中表示不超過x的最大整數，如，求數列 的前2020項和22（10分）已知為各項均為整數的等差數列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求最大的正整數，使得.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】考慮當時，有兩個不同的實數解，令，則有兩個不同的零點，利用導數和零點存在定理可得實數的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關于原點對稱的點有2對，所以時，有兩個不同的實數解.令，則在有兩個不同的零點.又， 當時，

7、故在上為增函數，在上至多一個零點，舍.當時，若，則，在上為增函數；若，則，在上為減函數；故，因為有兩個不同的零點，所以，解得.又當時，且，故在上存在一個零點.又，其中.令，則，當時，故為減函數，所以即.因為，所以在上也存在一個零點.綜上，當時，有兩個不同的零點.故選：B.【點睛】本題考查函數的零點，一般地，較為復雜的函數的零點，必須先利用導數研究函數的單調性，再結合零點存在定理說明零點的存在性，本題屬于難題.2D【解析】由題意結合函數的圖象，求出周期，根據周期公式求出，求出，根據函數的圖象過點，求出，即可求得答案【詳解】由函數圖象可知：，函數的圖象過點，則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運

8、用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數的周期、最值，代入已知點坐標求出結果3C【解析】據題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區域內的概率，只要求、所表示區域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案【詳解】根據題意可得集合所表示的區域即為如圖所表示：的圓及內部的平面區域，面積為，集合，表示的平面區域即為圖中的，根據幾何概率的計算公式可得，故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型解決本題的關鍵是要準確求出兩區域的面積4D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化

9、率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤綜上，故選5A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A考點：函數的定義域6B【解析】根據函數的一個零點是，得出，再根據是對稱軸，得出，求出的最小值與對應的，寫出即可求出其單調增區間.【詳解】依題意得，即，解得或（其中，）.又，即（其中）.由得或，即或（其中，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調遞增區間是（）.故選：B【點睛】此題考查三角函數的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數值為零，屬于較易題目.7D【解析】由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然

10、后作出兩個函數的圖像，利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數中恒成立問題，利用了數形結合的思想，屬于難題.8C【解析】試題分析：根據題意，當時，令，得；當時，令，得，故輸入的實數值的個數為1考點：程序框圖9D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列. 等比數列的判斷

11、方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（）， 數列是等比數列；（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.10A【解析】 由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為 高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A11B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B12C【解析】首先判斷出是周期為的周期函數，由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，所以，.所以，又，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性和周期性，屬于基礎題.二、

12、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。138 11 【解析】畫出不等式組表示的平面區域，數形結合求得區域面積以及目標函數的最值.【詳解】不等式組表示的平面區域如下圖所示：數形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區域面積；令，變為，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規劃問題，涉及區域面積的求解，屬基礎題.14【解析】利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據同角三角函數的基本關系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：在中，.，即，當且僅當時等號成立，面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查

13、正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.15【解析】點在平面內的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以是正確的；取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以正確；若設，則由可得，然后對應邊成比例，可解，所以正確；由于，而的面積是定值，所以當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以錯誤.【詳解】因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，

14、所以正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以正確；若平面，則，設由得，易得，由，則，由得，解得，所以正確；當與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以錯誤.故答案為：【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.16231,321,301,1【解析】分個位數字是1、3兩種情況討論，即得解【詳解】0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字比210大的所有三位奇數有：（1）當個位數字是1時，數字可以是231,321,301；（2）當個位數字是3時數字可以是1故答案為：231,321,301，1【點睛】本題考查了

15、分類計數法的應用，考查了學生分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當且僅當時等號成立，故.（2）由基本不等式得，當且僅當時等號成立.將上面四式相加，可得，即.【點睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.18（1）（2）1或6【解析】（1）設，

16、根據變換可得關于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設，則，即，解得，則（2）設矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.19（1），眾數為150；（2） ；（3）【解析】（1）由頻率直方圖分別求出各組距內的頻率，由此能求出這個開學季內市場需求量的眾數和平均數；（2）由已知條件推導出當時，當時，由此能將表示為的函數；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率【詳解】（1）由直方圖可估計需求量的眾數為150 ，由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知

17、的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：估計需求量的平均數為：（2）當時，當時， （3）由（2）知 當時，當時，得開學季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查函數解析式的求法，考查概率的估計，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用20 (1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用 即可得的直角坐標方程；（2）設直線的參數方程為（為參數），代入，利用韋達定理、直線參數方程的幾何意義以及三角函數的有界性可得結果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為 ； （2）設直線的參數方程為（為參數）又直線與曲線：存在兩個交點，因此. 聯立直線與曲線：可得則聯立直線與曲線：可得，則即21（）；（）4953【解析】（）遞推公式變形為，由數列是正項數列，得到，根據數列是等比數列求通項公式；（），根據新定義和對數的運算分類討論數列的通項公式，并求前2020項和【詳解