1、第四章 抽樣和抽樣分布 第一節 隨機事件及其概率 第二節 隨機變量的概率分布 第三節 抽樣分布 第四節 正態分布和正態逼近一.抽樣樣二.試驗驗三.樣本本空間四.事件件及其概概率第一節隨隨機事事件及其其概率一、抽樣樣1.概念念從總體中中抽取部部分單位位，并進進行實際際調查，以推斷總總體。2.抽樣樣的兩種種方法：重置抽樣樣和不重重置抽樣樣兩種抽樣樣方法重置抽樣樣1.概念念：也稱有放放回的抽抽樣，從從總體中中抽取一一個單位位，登記記后再放回回總體參參加下一一次的抽抽取，連連續試驗驗n次。2.重置置抽樣排排列數：從總體N個單位位，抽取取樣本容容量為n個單位位的重置置試驗，可可能抽取取的樣本本點個數數：

2、不重置抽抽樣1.概念念：也稱無放放回的抽抽樣，每每次總體體中抽取取一個單單位，登記記后不再再放回原原總體，不參加加下一次次抽選，下一一次繼續續從總體體余下的的單位抽抽取樣本本單位，這樣樣繼續進進行n次次試驗。有n個單單位的樣樣本是由由n次連連續試驗驗構成的的，但因每次抽抽出不重重置，所所以實質質上等同同于同時時從總體中抽抽取n個個樣本單單位。不重置抽抽樣排列列數：不重置抽抽樣又分分為考慮慮順序和和不考慮慮順序的的情況（排列與與組合）。從10個個同學中中抽三個個擔任不不同職務務，有：從10個個同學中中抽三個個考察其其平均成成績，則則：二、試驗驗1.概念念：在相同條條件下，對事物物或現象象所進行行

3、的觀察察。例如：擲擲一枚骰骰子，觀觀察其出出現的點點數；產產品質量檢驗，考察其其是否是是合格品品等。2.試驗驗具有以以下特點點：可以在相相同的條條件下重重復進行行；每次試驗驗的可能結果果不止一個個，但試試驗的所所有可能能結果在在試驗之之前是確確切知道道的；在試驗結結束之前前，不能能確定該該次試驗驗的確切切結果；1.基本本事件如果一個個事件不不能分解解成兩個個或更多多個事件件，則這這個事件稱稱為基本本事件，也稱為為樣本點。通常樣本本點不止止一個單單位，而而是由許許多單位位構成，這時就要要連續n次試驗驗的結果果構成一一個樣本本點。2.樣本本空間以全部樣本點為為元素的的集合，稱為樣樣本空間間。三、樣

4、本本空間試驗樣本空間拋一枚硬幣拋擲一顆骰子抽出一件產品檢測一場足球比賽正面向上，反面向上1，2，3，4，5，6點合格，不合格獲勝，失利，平局拋擲兩枚硬幣抽兩件產品檢測（正，正），（反，正），（反，反）練習題寫出隨機機試驗的的樣本空空間1.記錄錄某班一一次統計計學測試試的平均均分數2.某人人騎自行行車在公公路上行行駛，觀觀察該騎騎車人在在遇到第第一個紅紅燈停下下來以前前已經遇遇到的綠綠燈個數數。3.生產產產品，直到有有10件件正品為為止，記記錄生產產產品的的總件數數。1.事件件：隨機機試驗的的每一個個可能結結果(任任何樣本本點集合合)例如：擲擲一枚骰骰子出現現的點數數為32.隨機機事件：每次試試

5、驗可能能出現也也可能不不出現的的事件例如：擲擲一枚骰骰子可能能出現的的點數3.必然然事件：每次試試驗一定定出現的的事件，用表示。例如：擲擲一枚骰骰子出現現的點數數小于74.不可可能事件件：每次次試驗一一定不出出現的事事件，用用表示。例如：擲擲一枚骰骰子出現現的點數數大于6四、事件件及其概概率5.事件件的概率率（1）事件A的概率是是對事件件A在試驗中中出現的的可能性大大小的一一種度量量（2）表示事事件A出現可能能性大小小的數值值，事件件A的概率表表示為P(A)（3）概率的的定義有有：古典典定義、統計定定義和主主觀概率定定義6.概率率的統計計定義在相同條條件下進進行n次隨機試試驗，事事件A出現m次

6、，則比比值m/n稱為事件件A發生的頻率。隨著n的增大，該頻率率圍繞某某一常數數P上下擺動動，且波波動的幅幅度逐漸漸減小，趨向于于穩定，這個頻率的穩穩定值即即為事件件A的概率，記為例如，投投擲一枚枚硬幣，出現正正面和反反面的頻頻率，隨著投擲擲次數n的增大，出現正正面和反反面的頻頻率穩定在1/2左右試驗的次數正面 /試驗次數1.000.000.250.500.750255075100125第二節隨隨機變量量及其分分布一、隨機機變量的的概念二、離散散型隨機機變量的的概率分分布三、連續續型隨機機變量的的概率分分布一、隨機機變量的的概念1.概念隨機事件件的數量量表現就就稱為隨隨機變量量。例如:投擲兩枚枚

7、硬幣出出現正面面的數量量；從班班級同學中中抽10個，抽中中女生的的人數。2.分類根據取值值情況的的不同分分為離散散型隨機機變量和和連續型隨隨機變量量（1）離離散型隨隨機變量量如果隨機機變量X的取值都可可以逐個個列舉出出來X1,X2，則X稱為離散型隨隨機變量量離散型隨隨機變量量的一些些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產品一家餐館營業一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數顧客數銷售量顧客性別0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性為0,女性為1（2）連連續型隨隨機變量量如果X的所有可能能取值不不可以逐逐個列舉舉出來，而是取數軸軸上某一一區間內內的任意意點，則則稱該隨

8、隨機變量為連續型隨隨機變量量連續型隨隨機變量量的一些些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X 00 X 100X 0二、離散散型隨機機變量的的概率分分布1.離散型隨隨機變量量X的所有可可能取值及其取這這些值的概率按順序排排列起來來就形成成概率分布布。2.通常用下下面的表表格來表表示X = xix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn3.概率分布布的性質質：隨機變量量取值的的概率是是非負的的，即pi0；隨機變量量所有取取值的概概率總和和等于1，即（i1，2，n）4.離散散型隨

9、機機變量的的概率分分布（實例）【例】如規定打打靶中域域得3分，中域域得2分，中域域得1分，中域域外得0分。今某某射手每每100次射擊，平均有有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外外。則考考察每次次射擊得得分為0,1,2,3這一離散散型隨機機變量，其概率率分布為為X = xi0 1 2 3P(X=xi)pi0.05 0.10 0.55 0.305.離散散型隨機機變量的的數學特特征離散型隨隨機變量量的數學學期望離散型隨隨機變量量的方差差離散型隨隨機變量量的數學學期望（1）在離散散型隨機機變量X的一切可可能取值值的完備備組中，各可能能取值xi與其相對對應的概概率pi乘積之和和。（2）計算公公

10、式為（3）性性質第三章所所講的平平均數的的性質也也完全適適合于數數學期望。對對于抽樣樣分布通通常要考考慮多個個變量的的情況，所以以還要補補充兩條條性質。n個隨隨機變量量代數和和的數學學期望等等于它們們的數學學期望之之和。n個獨立隨機變量量連乘積積的數學學期望等等于它們們數學期期望的乘乘積離散型隨隨機變量量的方差差（1）隨機變變量X的每一個個取值與與期望值值的離差差平方的數數學期望望，記為為D(X)，或Var(X)，或它用來描描述離散散型隨機機變量取取值的分分散程度度（2）計算公公式為離散型隨隨機變量量的方差差（實例）【例】投擲一枚枚骰子，出現的的點數是是個離散散型隨機機變量，其概率率分布為為如

11、下。計算數數學期望望和方差差X = xi1 2 3 4 5 6P(X =xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：數學期望望為：方差為：三、連續續型隨機機變量的的概率分分布連續型隨隨機變量量可以取取某一區區間或整整個實數軸上的的任意一一個值。它取任何何一個特特定的值值的概率率都等于于0，所以不能能列出每每一個值值及其相相應的概概率，通通常研究它它取某一一區間值值的概率率（一）密密度函數數f(x)1.f(x)表示隨隨機變量量X在點點x上的的概率密密度，所以稱為為密度函函數。2.f(x)不是概概率。3.通常常把密度度函數的的圖形稱稱為分布布曲線。在平面直直角坐標標系中畫畫出f(

12、x)的圖形，則對于于任何實實數ab，P(aXb)是該曲線線下從a到b的面積f(x)xab概率是曲線下的面積（二）密密度函數數具有以以下性質質：1.密度度函數是是非負負函數，即2.隨機機變量X落在區區間內內的的概率等等于它的的密度函函數在該該區間上上的定積積分。即即：其幾何意意義就是是概率等等于區區間上分布曲曲線和X軸圍成成的面積積。3.由于于是是必必然事件件，所以以（三）分分布函數數1.連續型隨隨機變量量的概率率也可以以用分布布函數F(x)來表示2.分布函數數定義為為根據分布布函數，P(aXb)可以寫為為分布函數數與密度度函數的的圖示1.密度函數數曲線下下的面積積等于12.分布函數數是曲線線下

13、小于于x0的面積f(x)xx0F ( x0 )（四）連連續型隨隨機變量量的期望望和方差差1.連續型隨隨機變量量的數學學期望為為2.方差為第三節抽抽樣樣分布基本概念念重置抽樣樣分布及及其數值值特征不重置抽抽樣分布布及其數數值特征征一、基本本概念1.抽樣樣分布：從一個總總體中抽抽取樣本本容量相相同的所所有可能能樣本之后后，計算算樣本統統計量的的值及取取該值的的相應概率率，就組組成了樣樣本統計計量的概概率分布，簡稱稱抽樣分分布。樣本統計量總體未知參數樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量樣本統計量抽樣分布樣本統計量所有可能值的概

14、率分布主要樣本本統計量平均數比率（成數）方差.參數數和統計計量（總體指指標和抽抽樣指標標）總體參數數（總體體指標）（parameter）根據全及及總體各各個單位位的標志志值或標標志屬性性計算的的，反映映總體某某種屬性性或特征征的綜合合指標稱稱為全及及指標。全及指標標值具有有唯一性性。常用的全全及指標標有總體平均均數（）（或總體成數數P）、總體標準準差（或總體方差差2）。統計量（抽樣指指標）由抽樣總總體各單單位標志志值計算算出來反反映樣本特征征，用來來估計總總體的綜綜合指標標稱為統計量量（抽樣樣指標）。它是一個個隨機變變量。3.統計計量的特特點統計量（抽樣指指標）是是隨機變變量，隨隨著抽到到的樣

15、本本單位不不同其取取值也會會有變化化。統計量是是樣本變變量的函函數，用用來估計計總體參參數，因因此與總總體參數數相對應應。要了解本本班男同同學的身身高，從從總共30名男男同學中抽取取5名同同學測量量他們的的身高，用這5名同學的平平均身高高來估計計本班男男同學的的身高。樣本點：樣本空間間：樣本統計計量：4.統計計量的計計算樣本平均均數：樣本方差差：樣本成數數：二、重置置抽樣分分布（一）樣樣本平均均數的分分布樣本平均均數的分分布是總總體中全全部樣本本平均數數的可能取值值和與之之相應的的概率組組成。下面用一一個例子子來說明明該問題題某班組5個工人人的日工工資為34、38、42、46、50元。現用重置

16、置抽樣的的方法從從5人中中隨機抽抽2個構構成樣本本。共有有52=25個個樣本。樣本平均均數的均均值、方方差及標標準差：抽樣平均均數的標標準差反反映所有有的樣本本平均數數與總體體平均數數的平均均誤差，又稱為為抽樣平均均誤差，用表表示示。（二）兩兩個重要要結論：1.重置置抽樣的的樣本平平均數的的平均數數等于總總體平均均數,即即2.重置置抽樣的的抽樣平平均數的的標準差差等于總總體標準準差除以以樣本單單位數的的平方根根。即樣本抽樣樣分布原總體分分布以上兩個個結論具具有普遍遍意義，其一般般推導見見課本p113。這一等式式可以看看出兩項項重要事事實（1）抽樣平均誤誤差比總總體標準準差小的的多，僅僅為其。例

17、如一個個縣的糧糧食畝產產高低懸懸殊，畝畝產標準準差為80公斤，如果果隨機抽抽取100畝求求平均畝畝產，那那么樣本本平均畝產量的的差異就就顯著減減小，平平均誤差差只及總總體畝產產標準差的，即所以用樣樣本平均均畝產來來代表總總體平均均畝產是是更有效效的.（2）抽抽樣平均均誤差與與總體標標準差成成正比變變化，而與與樣本容容量n的的平方根根成反比比變化。例如在同同一個總總體中，如果抽抽樣單位位數擴大大原來的4倍倍，則抽抽樣平均均誤差就就縮小一一半，如如果抽樣平均誤誤差增加加一倍，則樣本本單位數數只需要要原來的1/4。（三）總總體成數數的估計計總體成數數p是指具有有某種特特征的單單位在總總體中的的比重。

18、在前前面我們們已經知知道，成成數是一一個特殊殊平均數，設總總體單位位總數目目是N，總體中有有該特征征的單位位數是N1。設X是0、1變量， 即：總體體單位有有該特征征，則X取1，否則取取0，則有：現從總體體中抽出出n個單位，如果其其中有相相應特征征的單位位數是n1，則樣本成成數是：成數P也是一個個隨機變變量，利利用樣本本平均數數的分布布性質結結論，即即有：例題Eg.已已知某批批零件的的一級品品率為80，現用重重置抽樣樣方法從從中抽取取100件，求求樣本一一級品率率的抽樣樣平均誤誤差。三、不重重置抽樣樣分布（一）樣樣本平均均數的分分布某班組5個工人人的日工工資為34、38、42、46、50元。現用

19、不重重置抽樣樣的方法法從5人人中隨機機抽2個個構成樣樣本。共共有20個樣本本。不重置抽抽樣樣本本平均數數的平均均數、方方差及標標準差：（二）兩兩個重要要結論：1.不重重置抽樣樣分布雖雖然與重重置抽樣樣分布不不同，但但它們的樣樣本平均均數的平平均數仍仍等于總總體平均均數，即：2.抽樣樣平均數數的標準準差也是是反映樣樣本平均均數與總總體平均均數的平平均誤差差程度。即：所以抽樣平均均數的標標準差也也可稱為為抽樣平平均誤差差，或抽樣標準誤誤差，不不重置抽抽樣的抽抽樣平均均誤差等等于重置置抽樣的平均誤誤差乘以以修正因因子n/N稱稱為抽樣樣比。（三）樣樣本成數數的分布布抽樣平均均誤差為為：對于（0，1）分

20、布的的總體，總體平平均數為為：總體方差差為：從總體中中抽取容容量為n的樣本，樣本成成數p的的分布實實質是樣樣本平均均數的分分布。有有：重置抽樣不重置抽樣樣本平均數誤差樣本成數誤差抽樣平均均誤差公公式匯編編回顧某企業生生產一批批燈泡，共10，000只，隨機抽抽取500只做做耐用試試驗。測測算結果果平均使使用壽命命為5，000小時，由歷史史經驗得得知總體體標準差差為300小時時，500之中中發現10只不不合格。求平均數數和成數數的抽樣樣平均誤誤差。第四節正正態分布布和正態態逼近一、正態態分布二、正態態分布再再生定理理三、中心心極限定定理四、抽樣樣分布的的正態逼逼近一、正態態分布（一）正正態分布布概

21、述：1.定義義一個連續續型隨機機變量X，如果果其密度度函數為為那么我們們稱X服服從參數數為x和正態分布布。連續型隨隨機變量量的一種種重要分分布，它它是統計計推斷的基礎2.密度度函數f（x）的性質質（1）對對稱性；（2）非非負性；（3）最最大值；（4）拐拐點；f(x)（5）x和的意義；位置參數數形狀參數數（1）變變動平均均數（2）變變動標準準差改變分布布中心位置；表現為圖圖形的平平移。分布疏密程度表現為圖圖形的拉拉伸或壓壓縮（二）正正態分布布函數的的標準化化1.標準準正態分分布定義義數學期望望為0，方差為為1的正正態分布布，稱為為標準正態分分布。用用N(0,1)來表示示。變量X服服從標準準正態分分布記為為：標準正態態分布其其幾何意意義是將將分布曲曲線的中中心移到原原點，使使得離差差化為以以為為單單位的相相對離差。2.標準準正態分分布的特特點：（1）分分布的平平均數（數學期期望）為為0；（2）分分布的方方差為1。（3）密密度函數數為：（4）分分布函數數：3.非標標準正態態分布標標準化（1）為為什么要要把不同同的正態態分布變變換為具具有相同同參數的的標標準正態態分布：N（0，1）？為了計算算的方便便！計算算