1、4.4因子分析 因子分析是尋找對觀察結果起支配作用的潛在因子（潛變量，latent variable) 的探索性統計分析方法。基本目的就是用少數幾個因子去描述許多指標之間的關系，將關系比較密切的幾個變量歸為同一類中，每一類變量就稱為一個因子（之所以稱其為因子，因為它是不可觀測的，既不是具體變量，故也稱潛在因子），以少數幾個因子反映原始資料的大部分信息。 因子分析涉及的計算與主成分相似，但在分析內容上有很大區別。 因子分析的意義 因子分析首先在心理學領域里發展起來，1904年斯彼爾曼在（C.Speraman）在對高級預備學校部分學生成績分析中發現，各科成績有一定的相關性，所得相關矩陣如下：科目古

2、典語x1法語x2英語x3數學x4判別x5音樂x6古典語x110.830.780.70.660.63法語x210.670.670.650.57英語x310.640.540.51數學x410.50.051判別x510.4音樂x61 從上述矩陣可以看出，除對角線元素外，各科成績間的相關系數從左到右呈遞減趨勢，相近學科（如語言類）的成績相關系數較大，因此斯彼爾曼認為某一學科的成績xi 是受到對所有科目都有影響的公共因子f和對該科目成績有特殊作用的因子ei的作用，用公式表示為： 把f通稱公共因子，ai稱為因子載荷，而ei稱為特殊因子。在斯彼爾曼的例子里，可以認為考試成績受一般智力因子f和某學科特殊因子e

3、i的影響。 一、因子分析的一般模型假設 對p個氣象變量進行因子分析的目的是研究它們有哪些共同因素，哪些是特殊因素，這些因素在變量分析中起什么作用。為研究方便，設這些變量已進行標準化，可以表示為： 由上可見因子分析是將一組有著復雜關系的變量分解為所有變量共同具有的公共因子和每個原始變量獨有的特殊因子。 即 因子分析的目的就是對原始變量尋求公共因子，以分析和簡化存在于原變量之間的復雜關系，將具有相同本質的變量歸結為一個因子，使分散而復雜的數據趨于整體化、簡單化。對樣本矩陣：(4.4.3)2.公共因子是標準化變量，各公共因子之間是無關的：3.各特殊因子之間是無關的。 二、公共因子分析過程 設原始數據

4、矩陣為：1.對原始數據標準化：令：(4.4.5)(4.4.4)(4.4.6)代入（4.4.4）4.求因子載荷矩陣APM 根據公共因子數m,可將（4.4.7）寫為 則有（4.4.2）因子模型： A稱為因子載荷矩陣，F稱為公共因子矩陣，E稱為特殊因子矩陣。根據主成分的正交性（獨立性）的性質，原變量是標準化變量時的因子載荷陣的主要性質。）因子載荷ik,表示第k個公共因子在第i個原變量上的作用。統計上表現為fk和xi的相關系數。證：可證滿足模型假設1、2。由模型假定1、22）載荷陣APP的行元素的平方和為1：而載荷陣APm的行元素的平方和 稱為共同度，它表示全部公共因子對變量xi的總方差的貢獻大小，反映xi的代表性、公共性。 表現為fk對xi的方差貢獻。 稱為特殊因子方差。3）載荷陣APP的列元素的平方和 稱為公共因子fk的方差貢獻。 公共因子fk對所有原變量的方差貢獻為其對應的特征值。結論：1、 最大，即2月份的公共性最大，說明2月份最具代表性，這與通常以1月份為冬季氣溫的代表月份是不同的。2、第一公共因子與12月份氣溫的相關系數最大，可以說第一公共因子反映12月份；而第二公共因子反映2月份。m個公共因子是正交的