1、大學物理學2013-2014 第一學期 張福俊大學物理學2013-2014 第一學期 張福俊Flash tracking the key points of last lecture簡諧振動的特征：某個物理量存在空間的重復性和時間的周期性。簡諧振動方程的推導：胡克定律和牛頓第二定律簡諧振動的特征參量：振幅 周期 相位簡諧振動的旋轉矢量表示法Flash tracking the key points 要點:1：矢量逆時針旋轉2：矢量 與X軸正向夾角為簡諧振動的初相位3：矢量 轉動角速度 為簡諧振動的角速度4：1. 彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。2. 任一簡諧振動總能量與

2、振幅的平方成正比。3. 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統總能量的大小及振動的強度。簡諧運動的能量要點:1. 彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能例1 : 設桿的質量可忽略不計，桿的一端用鉸鏈連接，使桿可繞垂直紙面的軸在鉛垂面內擺動，桿的另一端固定有質量為m的擺球。當擺在鉛垂位置時，與擺連接的兩根水平放置的輕彈簧都處于沒有變形的狀態，假定擺在小角度擺動時， 角按余弦函數規律隨時間變化。試求擺在小擺角擺動時的固有頻率。兩根彈簧的勁度系數均為k。mgMNkkal解：用機械能守恒定律 取水平面MN為重力零勢能面，擺在最低位置時:例1 : 設桿的質量可忽略不計，桿的一端用

3、鉸鏈連接，使擺在最大偏離位置時按題意設小角度擺動為諧振動，以表示其振動頻率。(2)式代入(1)式擺在最大偏離位置時按題意設小角度擺動為諧振動，以表示其振動kkal或寫出系統任意時刻的能量對此式求導kkal或寫出系統任意時刻的能量對此式求導例題2：一個做簡諧振動的物體，振幅為A，彈簧的勁度系數為k，當物體偏離平衡位置的位移為A，并向平衡位置運動 時，物體的動能是多少？根據機械能守恒定律：EEkEp解：首先計算此時的勢能：系統總能量：此時動能：例題2：一個做簡諧振動的物體，振幅為A，彈簧的勁度系數為k，14-2 諧振動的合成14-2-1 同方向同頻率簡諧振動的合成14-2-2 同方向不同頻率簡諧振

4、動的合成 拍 14-2-3 兩個垂直方向上的簡諧振動的合成本節內容：14-2 諧振動的合成14-2-1 同方向同頻率簡諧振動14-2-1 同方向同頻率簡諧振動的合成合成振動仍為簡諧振動。利用三角函數公式14-2-1 同方向同頻率簡諧振動的合成合成振動仍為簡諧振動 當A1、A2同時以的角速度轉動時，A同樣以的角速度轉動。合矢量與x軸正反向的夾角為合振動的初相。合矢量的模為振幅。用旋轉矢量法描述合振動思 考 題：多個同方向、同頻率諧振動合成做法：將多個旋轉矢量合成，求得合矢量。 當A1、A2同時以的角速度轉動時，A同樣以的角速度討論兩個特例 (1)兩個振動同相由xtoT2T合成振動討論兩個特例 (

5、1)兩個振動同相由xtoT2T合成振動由(2)兩個振動反相如果 則 A=0toT2T合成振動由(2)兩個振動反相如果 則 A=0toT2T合成振動一般情況為其他任意值， 上述結果說明兩個振動的相位差對合振動的振幅起著重要作用。合成振動tT2To一般情況為其他任意值， 上述結果說明兩個振動的相例1：求兩同方向、同頻率諧振動X2= 2cos(3t+/3 )、X1=4cos(3t) 的合成諧振動方程。解：合成后不變， X=Acos(3t+)A1=4、A2=2 、1=0 、2 = /3合振動方程例1：求兩同方向、同頻率諧振動X2= 2cos(3t+/3O例2: 兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振

6、動合成后，產生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩個振動的相位差。解： O例2: 兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后著重研究相近且很大14-2-2 同方向不同頻率簡諧振動的合成 拍 可以近似地將合振動看成按藍色項為振幅緩慢變化，角頻率為 的準簡諧振動，稱為拍。著重研究相近且很大14-2-2 同方向不同頻率簡諧振動的如圖拍現象to 合振幅在單位時間內加強或減弱的次數稱為拍頻。其周期是合振幅變化周期的一半。（beat）重要的應用：已知頻率的音叉測出其它音叉的頻率。如圖拍現象to 合振幅在單位時間內加強或減弱的手風琴的中音簧： 鍵盤式手風琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差

7、6到8個赫茲，其作用就是產生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚”-紐扣式手風琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測速 從運動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應要發生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運動速度。這種方法廣泛應用于對衛星、各種交通工具的雷達測速裝置中。 拍現象是一種很重要的物理現象。手風琴的中音簧：利用拍頻測速拍現象是一種很重要的物理現象。消去t 得到軌道方程(橢圓方程)14-2-3 兩個垂直方向上的簡諧振動的合成兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成消去t 得到軌道方程(橢圓方程)14-2-3 兩個垂直方向上x軌跡為圓y Y方向的振動超前方向，得到

8、的是順時針方向的圓。x軌跡為圓y Y方向的振動超前方向，得到的是順時針當兩個振動的頻率差異很小時12:當兩個振動的頻率差異很小時12:兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成當兩個振動的頻率差異很大但有簡單的整數比利薩如圖形兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成當兩個振動的頻率差異很大但14-3 阻尼振動 受迫振動與共振14-3-1 阻尼振動14-3-2 受迫振動與共振本節內容：14-3 阻尼振動 受迫振動與共振14-3-1 阻尼無阻尼自由振動阻尼振動( 摩擦阻尼，輻射阻尼 )由牛頓第二定律令 ( 稱為阻尼因子)( 稱為阻尼系數)對于摩擦阻尼,當 不太大時14-3-1 阻尼振動無阻尼自由振動阻尼振動(

9、摩擦阻尼，輻射阻尼 )由牛頓第二定稱為阻尼振動振幅Otx此常系數線性齊次微分方程的解為在阻尼較小時， 0，稱為阻尼振動振幅Otx此常系數線性齊次微分方程的解為在阻尼較曲線3為過阻尼振動曲線2為臨界阻尼圖中曲線1為阻尼振動設 為物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經時間123 在生產實際中根據不同要求，控制阻尼大小。曲線3為曲線2為圖中曲線1為設 為物體相繼兩次通過極大(生產技術中通常用改變阻尼大小的方法來控制系統的振動情況：1、在機床上安裝阻尼裝置，作為減震器使機床運轉時沖擊引起的振動迅速衰減，保護機件。2、精密天平和靈敏電流計也配備了阻尼裝置，使指針盡快停止擺動，以便及時讀數。 這種加大阻尼

10、使振動盡快停下來的最好辦法是將阻尼加大到臨界阻尼。生產技術中通常用改變阻尼大小的方法來控制系統的振動情況：驅動力運動方程穩態振動后，方程的解為對于一定的振動系統，當一定時，位移振幅A隨頻率而改變。注意:穩態時的受迫振動與無阻尼自由振動實質有所不同。令14-3-2 受迫振動與共振驅動力運動方程穩態振動后，方程的解為對于一定的振動系統，當共振現象極為普遍，有其有利的一面，也 可引起損害。穩定受迫振動的頻率相應曲線 共振時，振動速度與驅動力同相位，從而驅動力作正功，使振幅急劇增大。最后當阻力功率與驅動力功率相抵時，振幅急劇增大。共振現象極為普遍，有其有利的一面，也 可引起損害。穩定受迫振 長850米、寬12米的美國華盛頓州Tacoma Narrows 橋，于1940年，在通車幾個月后，由凌晨的風引起大幅擺動因共振而垮塌. 長850米、寬12米的美國華盛頓州Tacoma小號發出的聲波足以使酒杯破碎小號發出的聲波足以使酒杯破碎我國古代對“共振”的認識： 蜀人有銅盤，