1、2014年普通高等學校招生全國統一考試(重慶卷)數學(理工農醫類)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014重慶,理1)復平面內表示復數i(1-2i)的點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:因為i(1-2i)=i+2,其在復平面內對應的點為(2,1),位于第一象限.故選A.2.(2014重慶,理2)對任意等比數列an,下列說法一定正確的是().A.a1,a3,a9成等比數列B.a2,a3,a6成等比數列C.a2,a4,a8成等比數列D.a3,a6,a9成等比數列答案:D解析:根據等

2、比數列的性質,若m+n=2k(m,n,kN+),則am,ak,an成等比數列,故選D.3.(2014重慶,理3)已知變量x與y正相關,且由觀測數據算得樣本平均數x=3,y=3.5,則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是().A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4答案:A解析:由變量x與y正相關,可知x的系數為正,排除C,D.而所有的回歸直線必經過點(x,y),由此排除B,故選4.(2014重慶,理4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,則實數k=().A.-92B.0C.3D.答案:C解析:由已知(2a-3b

3、)c,可得(2a-3b)c=0,即(2k-3,-6)(2,1)=0,展開化簡得4k-12=0,所以k=3,故選C.5.(2014重慶,理5)執行如圖所示的程序框圖,若輸出k的值為6,則判斷框內可填入的條件是().A.s12B.s35C.s710答案:C解析:該程序框圖為循環結構.k=9,s=1時,經判斷執行“是”,計算199+1=910賦值給s,然后k減少1變為8;k=8,s=910時,經判斷執行“是”,計算91088+1=810賦值給s,然后k減少1變為7;k=7,s=810時,經判斷執行“是”,計算81077+1=710賦值給s,然后k減少1變為6;k=6,s=6.(2014重慶,理6)已

4、知命題p:對任意xR,總有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要條件,則下列命題為真命題的是().A.pqB.pqC.pqD.pq答案:D解析:根據指數函數值域為(0,+),得p為真命題;而“x1”是“x2”的必要不充分條件,故q為假命題.根據復合命題的真假規律,可得pq為真命題,故選D.7.(2014重慶,理7)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.54B.60C.66D.72答案:B解析:根據幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖為如圖所示的ABC-DEF,故其表面積為S=SDEF+SABC+S梯形ABED+S梯形CBEF+S矩形ACFD=1235+1234+12(5+2

5、)4+12(5+2)5+35=608.(2014重慶,理8)設F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=A.43B.53C.9答案:B解析:根據雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4a2.而由已知可得|PF1|2+2|PF1|PF2|+|PF2|2=9b2,兩式作差可得-4|PF1|PF2|=4a2-9b2.又|PF1|PF2|=94ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2

6、=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2,c2a2=259,9.(2014重慶,理9)某次聯歡會要安排3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序,則同類節目不相鄰的排法種數是().A.72B.120C.144D.168答案:B解析:解決該問題分為兩類:第一類分兩步,先排歌舞類A33,然后利用插空法將剩余3個節目排入左邊或右邊3個空,故不同排法有A332A33=72.第二類也分兩步,先排歌舞類A33,然后將剩余3個節目放入中間兩空排法有C21A210.(2014重慶,理10)已知ABC的內角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1

7、2,面積S滿足1S2,記a,b,c分別為A,B,C所對的邊,則下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)162C.6abc12D.12abc24答案:A解析:由sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12得,sin 2A+sinA-(B-C)+sinA+(B-C)=1所以sin 2A+2sin Acos(B-C)=12所以2sin Acos A+cos(B-C)=12所以2sin Acos(-(B+C)+cos(B-C)=12所以2sin A-cos(B+C)+cos(B-C)=12,即得sin Asin Bsin C=1根據三角形面積公式S=12abs

8、in C,S=12acsin B,S=12bcsin A,因為1S2,所以1S38.將式相乘得1S3=18a2b2c2sin Asin Bsin C8,即64a2b2c2512所以8abc162,故排除C,D選項,而根據三角形兩邊之和大于第三邊,故b+ca,得bc(b+c)8一定成立,而a+bc,ab(a+b)也大于8,而不一定大于162,故選A.二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分.把答案填寫在答題卡相應位置上.11.(2014重慶,理11)設全集U=nN|1n10,A=1,2,3,5,8,B=1,3,5,7,9,則(UA)B=.答案:7,9解析:由題意,得U=1

9、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,故UA=4,6,7,9,10,所以(UA)B=7,9.12.(2014重慶,理12)函數f(x)=log2xlog2(2x)的最小值為答案:-1解析:根據對數運算性質,f(x)=log2xlog2(2x)=12log2x2log2(2x)=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-113.(2014重慶,理13)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且ABC為等邊三角形,則實數a=.答案:415解析:由ABC為等邊三角形可得,C到AB的距離為3,即(1,a)到直線ax+

10、y-2=0的距離d=|a+a-2|1+a2=3,即a2-8考生注意:14,15,16三題為選做題,請從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分.14.(2014重慶,理14)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點),再作割線PBC依次交圓于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,則AB=.答案:4解析:如圖所示:根據切割線定理,得PA2=PBPC,又因為PC=(PB+BC),且PA=6,BC=9,所以36=PB(PB+9),解得PB=3.在PAC中,根據余弦定理cosACP=AC2+PC2-AP22ACPC,即cosACP=82+122-622812=4348,在ACB中,根據余弦定理AB2=

11、AC2+BC2-2AC15.(2014重慶,理15)已知直線l的參數方程為x=2+t,y=3+t(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為sin2-4cos =0(0,02),則直線l與曲線答案:5解析:直線l的普通方程為y=x+1,曲線C的直角坐標方程為y2=4x,聯立兩方程,得y=x+1,y2=4x,解得所以公共點的極徑為=2216.(2014重慶,理16)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+12a+2對任意實數x恒成立,則實數a的取值范圍是答案:-解析:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=-3x-1,x-2,3-x,-212,可求得f(x)的

12、最小值為52,故原不等式恒成立轉化為a2三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分13分,(1)小問5分,(2)小問8分)(2014重慶,理17)已知函數f(x)=3sin(x+)0,-22的圖象關于直線x=(1)求和的值;(2)若f2=346分析:在第(1)問中主要考查了三角函數的周期和對稱性,兩最高點之間的距離是一個周期,從而根據公式T=2,準確求出;而求,則根據對稱軸處取最值并結合的取值范圍給k賦值才能準確求出.第(2)問中已知f2=34,結合的范圍判斷并求出cos-6的值,然后進一步將cos+32轉化成sin ,而后將寫成解:(1)

13、因f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為,所以f(x)的最小正周期T=,從而=2T=又因f(x)的圖象關于直線x=3對稱所以23+=k+2,k=0,1,2因-22得k=所以=2-2(2)由(1)得f2=3所以sin-由623得00,則AP=(-3,0,a),MP=因為MPAP,故MPAP=0,即-34+a2=0,所以a=32,a=-32即PO=32(2)由(1)知,AP=設平面APM的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面PMC的法向量為n2=(x2,y2,z2),由n1AP=0,n1MP=0,得-故可取n1=1,由n2MP=0,n2CP=0,得3故可取n2=(1,-3,-2),從而法向量n

14、1,n2的夾角的余弦值為cos=n1n故所求二面角A-PM-C的正弦值為10520.(本小題滿分12分,(1)小問4分,(2)小問3分,(3)小問5分)(2014重慶,理20)已知函數f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的導函數f(x)為偶函數,且曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線的斜率為4-c.(1)確定a,b的值;(2)若c=3,判斷f(x)的單調性;(3)若f(x)有極值,求c的取值范圍.分析:在第(1)問中,主要考查復合函數求導公式、偶函數性質及導數的幾何意義,要確定a,b的值,只需由偶函數概念、導數的幾何意義及已知條件列出關于a,b的兩個方程,解方程即得a,b

15、的值.在求解過程中尤其要注意復合函數求導.第(2)問考查導數的應用之一,先求導,再利用基本不等式判斷導數的符號,進而判斷f(x)的單調性.第(3)問,由已知,先利用導數分類討論f(x)的極值情況,再根據f(x)有變號零點確定c的取值范圍.解:(1)對f(x)求導得f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)為偶函數,知f(-x)=f(x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因e2x+e-2x0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(2)當c=3時,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f(x)=2e2x+2e-2x-322e2x2e-2x-3=10,(

16、3)由(1)知f(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x22e2x2e-2下面分三種情況進行討論.當c0,此時f(x)無極值;當c=4時,對任意x0,f(x)=2e2x+2e-2x-40,此時f(x)無極值;當c4時,令e2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有兩根t1,2=cc即f(x)=0有兩個根x1=12ln t1或x2=12ln t當x1xx2時,f(x)x2時,f(x)0,從而f(x)在x=x2處取得極小值.綜上,若f(x)有極值,則c的取值范圍是(4,+).21.(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分)(2014重慶,理21)如圖,設橢圓x2a2+y2b

17、2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,點D在橢圓上,DF1F1F2,|F1F2(1)求橢圓的標準方程;(2)設圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點,求圓的半徑.分析:(1)由已知可求出c,進而求出|DF1|,|DF2|,則利用橢圓的定義可求a,再根據b2=a2-c2求b2,從而求得橢圓的標準方程.(2)由題設知圓的兩條切線與過切點的兩條半徑圍成一個正方形,故圓的半徑等于兩切點的長度的22倍,故只需求兩切點間的長度,而由圓及橢圓的對稱性知,兩切點間的長度應是一切點橫坐標絕對值的2倍,故只需求切點的橫坐標,可將切線過橢圓的焦點

18、是互相垂直轉化為兩向量的數量積為零求解解:(1)設F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由|F1F2|DF1從而SDF1F2=12|DF1|F1F2|=2從而|DF1|=22,由DF1F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=9因此|DF2|=32所以2a=|DF1|+|DF2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1.因此,所求橢圓的標準方程為x22+y2=(2)如圖,設圓心在y軸上的圓C與橢圓x22+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點,y10,y20,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1F2P由圓和橢圓的對稱性,易知,x2=-x

19、1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-再由F1P1F2P2得-(x1+1)2+y12=由橢圓方程得1-x122=(x1+1即3x12+4x1=解得x1=-43或x1=0當x1=0時,P1,P2重合,此時題設要求的圓不存在.當x1=-43時,過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點即為圓心由F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1F2P2,知CP1CP2.又|CP1|=|CP2|,故圓C的半徑|CP1|=22|P1P2|=2|x1|=422.(本小題滿分12分,(1)小問4分,(2

20、)小問8分)(2014重慶,理22)設a1=1,an+1=an2-2an+2+b(1)若b=1,求a2,a3及數列an的通項公式;(2)若b=-1,問:是否存在實數c使得a2nca2n+1對所有nN*成立?證明你的結論.分析:(1)方法一:若b=1,則an+1=an2-2an+2+1,根據其特點,可研究數列(an-1)2的性質,由(an-1)2方法二:先求出an的前幾項,猜想an并用數學歸納法證明.(2)方法一:令an+1=an=c,求出c值,然后證明a2nca2n+1,若成立,則存在,若不成立,則不存在.方法二:根據能否求出同時滿足a2nc的c值進行判斷.(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由題設條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.從而(an-1)2是首項為0公差為1的等差數列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nN*解法二:a2=2,a3=2+1.可寫為a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=因此猜想an=n-1+下用數學歸納法證明上式:當n=1時結論顯然成立.假設n=k時結論成立,即ak=k-1+則ak+1=(ak-1)2+1+1=(這就是說,當n=k+1時結論成