1、PAGE 北京市育英學校2020-2021學年高一數學下學期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）. 1在復平面內，復數1+i的共軛復數所對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在ABC中，若a7，b8，cosB，則c的大小為（）A3B4C5D63若角的終邊過點（1，2），則sin2（）ABCD4在ABC中，AB1，AC，則B（）AB或CD或5已知平面向量，滿足（+）3，且|2，|1，則向量與的夾角為（）ABCD6將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則g（x）（）ABCcos2xDcos2x7在ABC中，已知atanBbtanA

2、，則此三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D直角或等腰三角形8圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至圖2是一個根據北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即ABC）為26.5，夏至正午太陽高度角（即ADC）為73.5，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）ABCD9設點A，B，C不共線，則“

3、與的夾角為銳角”是“|+|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件10在平行四邊形ABCD中，A，AB2，AD1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足，則的最大值為（）A2B4C5D6二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11若復數為純虛數（i為虛數單位），則實數a的值為 12已知向量（1，），（，1），則|+|為 13已知，則的值為 14已知函數f（x）cos2x2cosx（xR），則 ；f（x）的最大值為 15已知ABC中，點A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，則x （ii）若ABC是銳角三角形，則x的取值范圍是 三

4、、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16已知函數（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間上的最大值，并求出此時對應的x的值17在ABC中，acosBbsinA（）求B；（）若b2，c2a，求ABC的面積18已知ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（1，1sinB），（cosB，1）且，（1）求角B；（2）若a+cb，判斷ABC的形狀19在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，時（1）若a7，求c；（2）記（）當k為何值時，使得ABC有解；（寫出滿足條件的所有k的值）（）當k為何值時，ABC為直角三角形；（）直接寫出一個滿足

5、條件的k值，使得ABC有兩解參考答案一、選擇題10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出四個選項中，選出符合題目要求的一項。1在復平面內，復數1+i的共軛復數所對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：復數z1+i的共軛復數為z1i，對應的點為（1，1），所以該點位于第四象限，故選：D2在ABC中，若a7，b8，cosB，則c的大小為（）A3B4C5D6解：在ABC中，若a7，b8，cosB，則，根據正弦定理得，解得，且A，cosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB，在ABC中，根據余弦定理得，c2a2+b22abcosC49+64，c3故選：A3若角的終邊過

6、點（1，2），則sin2（）ABCD解：角的終邊過點A（1，2），r|OA|sin，cossin22sincos故選：D4在ABC中，AB1，AC，則B（）AB或CD或解：由cAB1，bAC，cb，則CB，根據正弦定理得：sinB，B為三角形的內角，B或，故選：D5已知平面向量，滿足（+）3，且|2，|1，則向量與的夾角為（）ABCD解：2，4又（+）3，+4+3，得1，設與的夾角為，則cos1，即21cos1，得cos0，故選：C6將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則g（x）（）ABCcos2xDcos2x解：函數的圖象向左平移個單位長度后，可得ysin2（x+）sin

7、（2x+）cos2x；故選：C7在ABC中，已知atanBbtanA，則此三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D直角或等腰三角形解：在ABC中，atanBbtanA，可得：asinBcosAbsinAcosB，由正弦定理可得：abcosAabcosB，即：cosAcosB，A，B（0，），ycosx在（0，）單調遞減，AB，即三角形為等腰三角形故選：A8圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那

8、一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至圖2是一個根據北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即ABC）為26.5，夏至正午太陽高度角（即ADC）為73.5，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）ABCD解：由題可知：BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知：，即，則，又在ACD中，所以，故選：D9設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解：點A，B，C不共線，當與的夾角為銳角時，0，“與的夾角為銳角”“|+|”，“|+|”“與

9、的夾角為銳角”，設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|”的充分必要條件故選：C10在平行四邊形ABCD中，A，AB2，AD1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足，則的最大值為（）A2B4C5D6解：設k0，建立如圖所示的坐標系A（0，0），B（2，0），D，C，由，可得+k，同理可得，+k22k+5（k+1）2+6，k0，的最大值是5，當且僅當M、N與點C重合時取得最大值故選：C二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11若復數為純虛數（i為虛數單位），則實數a的值為 解：為純虛數，解得a故答案為：12已知向量（1，），（，1），則|+|為 2解：根據題意，向量（1，），

10、（，1），則+（4，2），則|+|2，故答案為：213已知，則的值為 解：由于，所以，所以，故故答案為：14已知函數f（x）cos2x2cosx（xR），則；f（x）的最大值為 3解：f（x）cos2x2cosx2cos2x2cosx12（cosx）2，當cosx1時，f（x）取得最大值3，故答案為：；315已知ABC中，點A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，則x（ii）若ABC是銳角三角形，則x的取值范圍是（2，）（，2）解：（i）ABC中，點A（2，0），B（2，0），C（x，1），（2x，1），（2x，1），ACB是直角，（2x）（2x）+（1）（1）x230，

11、解得x（ii）ABC中，點A（2，0），B（2，0），C（x，1），（2x，1），（2x，1），（x+2，1），（4，0），（x2，1），（4，0），ABC是銳角三角形，解得2x或x2x的取值范圍是（2，）（，2）故答案為：，（2，）（，2）三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16已知函數（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間上的最大值，并求出此時對應的x的值解：（1）f（x）sin2x+sinxcosxsin2xcos2x+sin（2x）+，f（x）的最小正周期T；（2）x，2x，當2x，即x時，f（x）取得最大值17在ABC中，acosBbs

12、inA（）求B；（）若b2，c2a，求ABC的面積解：（）在ABC中，由正弦定理，因為，所以，因為sinA0，所以，所以tanB，因為0B，所以，（）因為b2，c2a，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得，所以a，c，所以18已知ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（1，1sinB），（cosB，1）且，（1）求角B；（2）若a+cb，判斷ABC的形狀解：（1），0即有B（0，），（2），得當時，此時C，ABC為直角三角形；當時，ABC為直角三角形19在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，時（1）若a7，求c；（2）記（）當k為何值時，使得ABC有解；（寫出滿足條件的所有k的值）（）當k為何值時，ABC為直角三角形；（）直接寫出一個滿足條件的k值，使