1、21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）一元二次方程的應用（幾何問題）合作探究引例：要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的長方形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(精確到 0.1 cm)？27 cm21cm21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題） 分析:這本書的長寬之比為 : ，正中央的長方形的長寬之比為 : ，上下邊襯與左右邊襯的寬度之比為 : .9 9解析：設中央長方形的長和寬分別為 9a 和 7a，由此得到上下邊襯寬度之比為9 7 7 7 27 cm2

2、1cm21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題） 設上下邊襯的寬均為 9x cm，左右邊襯寬為 7x cm，則中央的矩形的長為 (2718x) cm，寬為 (2114x) cm. 要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央矩形的面積是封面面積的四分之三.27 cm21cm21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）于是可列出方程解得故上下邊襯的寬為故左右邊襯的寬為方程的哪個根符合實際意義?為什么?試一試：如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？整理，得 16x2 48x + 9 = 0.27 cm21cm21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）解2：設正中央

3、的長方形的兩邊別為 9x cm，7x cm. 依題意得解得 故上下邊襯的寬度為左右邊襯的寬度為27 cm21cm21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）2032xx解：設道路的寬為 x m. 則 例1 如圖，在一塊寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則道路的寬為多少？典例精析還有其他列法嗎？方法一：21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）2032xx解：設道路的寬為 x m. 則20 x32 x(32 x)(20 x) = 540.整理，得 x2 52x + 100 = 0.解得 x1= 2，x2 = 5

4、0.當 x = 50 時，32 x = 18，不合題意，舍去. 取 x = 2.答：道路的寬為 2 m.方法二：21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題） 在寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？解：設道路的寬為 x m，且 x20.(32 x)(20 x) = 540，可列方程為變式一x20-x32-x答：道路的寬為 2 m.解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）2032x2x20-x 在寬為 20 m，長為 32 m 的矩

5、形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？解：設道路的寬為 x m，且 x16.(32 2x)(20 x) = 540.可列方程為變式二32-2x解得 x1 = 18 -x2 = 18 +(舍去).答：道路的寬為 (18 - ) m.21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）20322x2x322x202x 在寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？解：設道路的寬為 x m，且 x10.(32 2x)(2

6、0 2x) = 540.可列方程為變式三 x = 1.答：道路的寬為 1 m.解得 x1 = 1，x2= 25(舍去).21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題） 在寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑四條道路，余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為 32，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一，則道路的寬為多少（保留兩位小數(shù)）？變式四32 cm20 cm2x3x21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）小路所占面積是矩形面積的四分之一 剩余面積是矩形面積的四分之三解：設橫、豎小路的寬度分別為 3x m、2x m， 于是可列方程20 cm32 cm3x2x324x(32 4

7、x)(20 6x) = 2032.433x2x6x4x324x206x206x21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題） 我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的性質，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出小路的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）.方法點撥 x0.62，則 3x1.86，2x1.24.解得 x1=x2=(舍).答：橫、豎小路的寬度分別約為 1.86 m、1.24 m.21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）解：設 AB 的長是 x m. 列方程，得 (58 2x)x = 200， 整理得 x2 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，

8、x2 = 4. 當 x = 25 時，58 2x = 8； 當 x = 4 時，58 2x = 50.答：羊圈的邊 AB 和 BC 的長各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.例2 如圖，要利用一面墻(墻足夠長)建羊圈，用 58 m的圍欄圍成面積為 200 m2 的矩形羊圈，則羊圈的邊 AB 和 BC 的長各是多少米？DCBA21.3.3 一元二次方程的應用（幾何問題）解：設 AB 的長是 x m. 列方程，得 (80 2x)x = 600. 整理得 x2 40 x + 300 = 0， 解得 x1 = 10，x2 = 30. 當 x = 10 時，80 2x = 60 25(舍去)； 當 x = 30 時，80 2x = 20 12(舍去)；當 x = 8 時，26 2x = 10 12 m(舍去);當x=8時,26-2x=10(m)12 m.答:當所圍矩形豬舍的長為10 m、寬為8 m時,豬舍面積