1、龍泉九中 黃智艷教材分析最簡二次根式及分母有理化是北師大版八年級數學上冊第二章實數部分的內容之一。教材中沒有直接給出最簡二次根式及分母有理化的概念，這樣的編排對學生學習這部分內容有一定困難。最簡二次根式及分母有理化是二次根式運算的重要組成部分，它在二次根式的運算中起著承上啟下的作用，為此我區導學案就此內容作了深入細致的研究。學案中將它放在二次根式的化簡及二次根式的乘除法之后，為本課的學習提供了方法技能基礎，同時它又是后面學習二次根式的加減法、二次根式的混合運算的根本。 從初中代數的學習來看，該部分是初中代數中進行數式運算的一個重要課題，也是提高學生運算能力的好時機。這里培養起來的實數的運算能力

2、不光會影響學生代數部分的后繼學習，同時在幾何的學習中起著舉足輕重的作用。從中考角度來看，歷屆中考幾乎從未錯失過該考點。學情分析知識方面：學生會分解質因數，能對、進行化簡，已經掌握的二次根式的乘除法及二次根式的性質都為本節課的學習作好了充分而必要的知識鋪墊。就知識掌握情況而言，仍有部分學生對公式感覺較抽象，運用起來還不太熟練。能力方面：學習能力強一點的同學已經擁有一定的知識遷移能力，歸納能力和較強的合作交流能力。心理方面：初二的學生經過一年的培養，對DJP教學模式已經充分認同和接受了，能夠有序地進行小組合作學習。初二的學生好勝心較強，有較強的自主意識，能對知識是非進行分辨。教學目標知識與技能目標

3、：1.能判斷所給的二次根式是否是最簡二次根式； 2.能把所給的二次根式化為最簡二次根式； 3.能進行分母有理化。 過程與方法目標：讓學生經歷二次根式化簡的過程，體驗數學的簡潔美。通過一題多解使學生體會數學中的最優、最簡思想，感受數學計算的魅力。情感態度與價值觀目標：通過本節課的學習讓學生體驗學習的樂趣，增強學生對學習的信心。教學重、難點教學重點：化二次根式為最簡二次根式及分母有理化。理由是：能把所給的二次根式化為最簡二次根式及分母有理化既是學生前面所學過的二次根式的乘除運算的具體應用，又是后面學習二次根式的加減之根本；在實數的計算中起著至關重要的作用。教學難點：化二次根式化簡為最簡二次根式及分

4、母為兩項式的分母有理化。理由是：化二次根式化簡為最簡二次根式難找完全平方因數或因式；分母有理化難就難在形式上較復雜，并且還要求學生運用乘法公式及；這些都是學生知識不易過手的知識點。教學策略小組學習法采用理由：我區導學案非常適合學生自主學習；在教學過程中有多處必須利用學習小組完成的學習。同時通過利用組內“高手”的影響力和約束力可以使學困生多學一點，這也適合初二逐漸增多的不自覺學習的學生。練習法采用理由：本節內容屬代數中的運算，必要的練習一定少不了。在教學中，教師還可將學生的解題中出現的多種方法予以展示，這樣做不但可以拓寬學生的解題視野，也可以潛移默化的影響學生尋求最簡、最優解法的數學解題意識。自

5、主閱讀法采用理由：初二學生已經有足夠的理解力，能理解“最簡二次根式”、“分母有理化”、“互為有理化因式”等概念。因此，在概念的學習時，我主要采用此法。談話法采用理由：課堂上，我通過設計一連串循序漸進的問題，給師、生搭建好交流的平臺，可以促使學生展開充分的思考，使學生在談話的過程中獲取新知，這也可幫助我突破重、難點。教學過程設計【候課朗讀】1. 積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。 修改依據與設計意圖原學案侯課朗讀是：1.積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積； 2.商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。修改的目的：想讓學生能更直觀的體會公式本身的含義。

6、【學習準備】1.填空： 增加依據與設計意圖 原學案并沒有該部分內容，之所以想到增加目的是：既復習公式又檢測學生已有知識的掌握情況，為本節課的學習作知識鋪墊。教學流程：1、小組同學在課前將題目完成在黑板上；2、小組長檢查組內完成情況 ；教師上課后就板書作適當的強調。2.學生活動：先計算，再比較左、右式子有何不同。 被開方數不同：左邊 ；右邊 。結果不同： 邊不能“甩掉”根號； 邊可以“甩掉”根號，理由是： 增加依據與設計意圖增設此環節的目的是：為學生能將二次根式化為最簡二次根式作方法上的鋪墊。教學流程 ：1、學生已經在課前完成，上課時先在組內核對結果； 2、教師巡視并收集意見，待小組討論完成后教

7、師可有傾向性的派學生講解。【學習過程】一、解讀教材3.問題情境學生活動1：能“甩掉”根號嗎？8示成哪幾個數相乘的形式？ 這些因數中有沒有可以“甩掉”根號的？修改依據與設計意圖原學案是：在中，求。因為，所以，說明不是最簡二次根式。那么，什么樣的根式是最簡二次根式？我的修改是基于前面的學習準備，根據我班的實際情況，基于學生對學案的預習，考慮到學生接受知識的能力，以問題串的形式由淺入深，層層遞進，圍繞將要給出的“最簡二次根式”的概念及其本質，激發學生去思考，去探究。通過師生、生生的交流使學生達到掌握知識的目的。學生活動2：8還可以表示成“4+4”，4是完全平方數，可以“甩掉”根號。即：對嗎？為什么？

8、修改依據與設計意圖在學生活動1完成后，緊接著是學生活動2。此處設計了一道判斷是非題，實踐表明它是引導學生正確認知的一種有效方法。安排這一活動我就是想暗示學生二次根式的化簡和已學過的二次根式的乘除運算是密切關聯的。只有學生把單個概念和方法納入到認知系統中，學生對新知識的掌握才會更牢固、更長久。這也可以化解學生心理的疑問：化簡二次根式時為什么是將被開方數拆成幾個數相乘的形式。通過活動1、2教師已經拋出教學重點：“化簡二次根式為最簡二次根式的方法”。教學流程1.學生先獨立思考后再小組交流；2.教師待巡視后，再請學生上臺講解；方案一（學生會發現因數4是完全平方數，可以直接開方）；方案二：（學生會發現2

9、2是兩個相同的數相乘可以開方）。3.最后再方法小結（師生合作）：能從根號里開出來的數有兩大類： 完全平方數，如：4、9、16等； 成對相乘出現的數，如：22；33等4.最簡二次根式的概念：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式： （1）被開方數的因數是整數，因式是整式； （2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。 即時練習：判斷下列各式是否是最簡二次根式 修改依據與設計意圖：我們都知道，只有讓學生清楚地知道知識的發生、生長的過程，才更有利于學生掌握和運用知識。經過教師在前面的精心安排和學生的充分討論，教師就可以水到渠成的給出“最簡二次根式”的概念了。原學案并沒有即時練習，增加的作用是：

10、文字的敘述配以具體的數字、式子可以幫助學生更好的理解概念。同時這又可為后面的習題教學作好必要的鋪墊。教學流程1學生利用學案進行閱讀“最簡二次根式的概念”，并完成即時練習后；2小組長組織交流；3. 全班交流：怎么理解“因數”，它出現在什么運算中？ 怎樣才能知道被開方數是否包含有開得盡方的因數？（分解質因數）（這一點可視學生具體掌握情況適當舉一例子介紹短除法。）4.最后教師讓全班齊讀概念，以讀促記。例1 把下列各式化為最簡二次根式越來越熟悉之后你有更快的方法嗎？ 越來越熟悉之后你有更快的方法嗎？即時練習1：把下列各式化為最簡二次根式 設計意圖通過練習促使學生掌握被開方數是整數（整式）的二次根式的化

11、簡方法。教學流程步驟：步驟：分（被開方數分解質因數）開（一對開出是一個）留（不成對就留下）教師巡視全班在學生中收集到以下解法：（生展示）解法一：；（成對相乘出現的數可開出根號）解法二：；（完全平方數可開出根號）2、由1.3.5.7.9組的4.5號依次上臺板演；3.學生板演完后，教師再派2.4.6.8組的3號同學用彩色粉筆進行修改（教師監督）；4.待全班同學完成后，先自行核對，并可在組內小聲交流，如有問題的話教師就點評一下；5.教師組織學生閱讀云朵里的化簡步驟。（實踐表明此處有些學生掌握起來有一定難度。我就想了個辦法：將根號比作皇宮。里面的數要想逃跑就要化成積的形式，完全平方數膽子大，一個人就可

12、以逃掉；非完全平方數膽子小，要結伴才敢逃，但是在“逃亡”中“死一個活一個”。） 步驟：分（分母步驟：分（分母分解質因數）補（補隊）開（分母開出是分母，分子開出是分子） 即時練習2：把下列各式化為最簡二次根式 注意：（1）化簡二次根式時，往往需要先把被開方數分解因數；（2）當二次根式的被開方數含有分母時，化簡后要保證根號內沒有分母。設計意圖掌握被開方數是分數（分式）的二次根式的化簡方法。教學流程1.教師通過設計一連串循序漸進的問題，給師、生搭建好交流的平臺，促使學生展開充分的思考，使學生在談話的過程中獲取新知：（師：是最簡二次根式嗎？ 生：不是。被開方數是分數師：分數與整數有什么區別？ 生：分數

13、有分母師：能讓的分母“3”消失嗎？ 生：不能，改變了原數的大小師：能從根式里消失嗎？ 生：補對。2師：根號里的3開出根號后要碰到2，“爭位子”要打架，怎么辦？教學中我會在此處讓學生盡情的發表意見，常見錯誤有：,。這個地方的教學不可怠慢，新知識不過關，學生在以后的計算中往往難以糾正。教學中可視學生的掌握情況再結合例子來說明。）2.師生共同歸納：從根號里開出來的數與根號外的數彼此間是相乘的關系；由分母開出的仍是分母，分子開出的是分子。3.學生獨立解答例2，同時由1.3.5.7.9組的4.5號依次上臺板演；4.學生板演完后，教師再派2.4.6.8組的3號同學用彩色粉筆進行修改（教師監督）；同時教師巡

14、視全班在學生中收集到以下解法：（生展示）解法一：（4是完全平方數，可直接開出根號；3非完全平方數，需補對才能開出根號）解法二：（學生的常見解法）5.教師可讓學生對比兩種方法的優劣，找出最簡解法。6.最后教師再組織學生閱讀學案上云朵中的內容。二、拓展教材5.分母有理化：二次根式進行除法運算時，當被開方數不能恰好開盡時，常采用分母有理化的方法進行化簡。如：像這樣把分母中的根號化去的方法，叫做分母有理化。分母有理化的依據：分數的基本性質和公式 把下列各式中的分母有理化 設計意圖讓學生掌握分母是單個帶根號的數的分母有理化的方法。該知識點與例2有很多相似之處，基本上能交給學生利用學習小組完成。只是學生對

15、“分母有理化”這個概念還比較陌生，可以通過學生自主閱讀及學生在小組間的交流中熟練掌握這個概念。教學流程 1.學生先獨立閱讀學案19、20頁； 2.學生分學習小組完成例3；缺啥補啥 3.教師巡視后安排學生板演； 4.較原學案我增加了一個小題我會安排學生將不同的解法寫在黑板上：缺啥補啥解法一：解法二： （湊成完全平方數）解法三：（先將分母分解質因數）（這個環節應視學生掌握情況安排在例3快結束時，可用于幫助學生提煉解題方法）4.教師組織學生閱讀并理解學案中的”注意”。注意：（1）化簡二次根式時，往往需要先把被開方數分解因數；（2）當二次根式的被開方數含有分母時，化簡后要保證根號內沒有分母。6.互為有

16、理化因式：兩個含有二次根式的代數式，如果它們的積不含有二次根式，我們就把這兩個代數式叫做互為有理化因式。形如： 與我們稱作互為有理化因式。例4 先說出下列各式中分母的有理化因式，再 把下列各式中的分母有理化。 即時練習3：把下列各式中的分母有理化 修改依據與設計意圖原學案中只在例4之后注意中提到了“有理化因式”。我將這個概念的得來寫在例4之前，這樣可以使學生明白該知識的“來龍去脈”，便于學生自學及小組討論，使學生做起題來有理可依；同時我在原學案例4的題干中多增加了一個任務：“先說出下列各式中分母的有理化因式”。我的目的是：借以提示學生往“互為有理化因式”上思考，以降低學習難度；同時又可以考查學

17、生是否掌握了該知識。我想利用此點來突破教學難點：當分母不再是單個帶根號的數，而是一個式子（有理數、無理數的代數和）的分母有理化。教學流程1、學生先獨立閱讀學案再分組完成任務：“說出下列各式中分母的有理化因式”； 2、教師安排學生上臺完成題目： ； 。3.教師利用學生的結果，讓學生自由發表意見：這兩個式子有何不同？師：為什么不能用公式將根號去掉？配成平方差公式才行哦！生：中括號內沒有其它運算，平方直接作用于根號；括號中還有加法運算，平方是作用于和并非直接作用于根號。配成平方差公式才行哦！師生小結：分母有理化的方法當分母是單個帶根號的數時，“缺啥補啥”；當分母是二項式時，將分母配成平方差公式。4學

18、生完成例4并交流。三、反思與小結本節課你主要學到了些什么？你認為有哪些地方應特別注意？把它與大家分享。設計意圖 學生對本節課的主要內容和易錯點進行回顧與梳理，并對比學習目標，檢測目標是否達成。四、【星級達標】1. 下列各式中哪些是最簡二次根式？哪些不是？并說明理由。 2.把下列各式化為最簡二次根式 3. 把下列各式分母有理化 4. 計算+設計意圖 1題是考查最簡二次根式的概念 2題是檢查學生化簡二次根式掌握的情況 3題是分母有理化，4題則是供學有余力的學生完成。五、布置作業 完成學案未完成部分并預習下一課時（七）教學評價1.診斷性評價：本課時教學開始時，通過學習準備，弄清學生對開方運算的掌握情況，同時，考慮不同學