1、浙江省2018年10月高等教育自學考試微分幾何試題課程代碼：10022本試卷分A、B卷，使用1988年版本教材的考生請做A卷，使用2018年版本教材的 考生請做B卷；若A、B兩卷都做的，以B卷記分。A卷一、判斷題（判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“/”，錯的打“X”。每小題2分，共12分） TOC o 1-5 h z 在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一。（）圓的曲率、撓率特征是：k=常數(shù)，t=0。（） 在曲面的非臍點處，有且僅有二個主方向。（）高斯曲率K = LN-M2與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊量。（）EG - F2曲面上的直線一定是測地線。（） 曲面上連接兩點的最短線一定是測地線。（

2、）二、填空題（每小題3分，共18分） 向量函數(shù)具有固定長的充要條件是。 曲線r=r（t）的撓率是。 曲面上曲紋坐標的微分方程是。 曲面上曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件。 直紋曲面的高斯曲率滿足。 球面上的測地線是。三、完成下列各題（每小題5分，共30分）求圓柱螺線x=cost,y=sint,z=t在（1, 0, 0）處的切線與法平面。求拋物線y=x2曲率。證明曲面上坐標曲線互相正交的充要條件是F=0。求懸鏈面r=coshu cosv, coshusinv,u的第一類基本量。利用歐拉公式證明在非臍點處，主曲率是曲面在這點處所有法曲率的最大值與最小值。用高斯-波涅公式證明球面上測地三角形內(nèi)角和大于丸

3、。四、完成下列各題（每小題10分，共40分）證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數(shù)的曲線。求拋物面2z=5x2+4xy+2y2在原點的第一、第二基本形式。求雙曲面z=axy上的曲率線。證明正螺面r=vcosu,vsinu,au+b不是可展曲面。B卷一、判斷題(判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“/”，錯的打“X”。每小題2分，共12分) TOC o 1-5 h z 撓率是空間曲線的副法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度.() 若曲線的所有切線都經(jīng)過定點,則該曲線一定是直線.() 球面曲線的主法線必過球心.() 曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0.() 高斯曲率恒為零的曲面必

4、是可展曲面.() 曲面上的漸進網(wǎng)一定存在.()二、填空題(每小題3分，共18分) 向量函數(shù)了 (t)平行于固定平面的充要條件是.是空間曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度. 以杜邦(Dupin)指標線為分類標準，曲面上的點分為橢圓點,雙曲點,，平點. 直紋面了 (u,v)= a (u)+v K (u)的導線a= a (u)是腰曲線的充分必要條件是. 曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的的最大值和最小值. 曲面的第三基本形式是它的 的第一基本形式.三、完成下列各題(每小題5分，共30分)求雙曲螺線了 =acosht,asinht,at在t=0的密切平面方程.證明曲線？(t)=1+cost,sint,2sin- 是正則曲線.2證明曲線 了 (t)=cos3t,sin3t,cos2t是一般螺線.證明曲面K = 了 (u,v)在正常點處的第一基本量滿足EG-F20.求曲面了 =ucosv,usinv,bu上曲線v=1+u,v=1-u和v=0所圍成的曲面面積.證明直紋面了 =u,u2-2uv,2u3-3u2 v不是可展曲面.四、完成下列各題(每小題10分，共40分)求曲線了 (t)=tcost,tsint,2-|212 (tN0)的自然參數(shù)方程.證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心軌跡仍是曲率為常數(shù)的曲線.求曲面了 =u,