1、 P例4-5試確定系統(tǒng)x=x一ax(x2+x2)、x=-x一ax(x2+x2)，a=const.平衡點(diǎn)的801211221212穩(wěn)定性。解：令x=x-ax(x2+x2)=0，x=-x-ax(x2+x2)=0求得x=0是唯一平衡點(diǎn)。1211221212e試取V(x)=x2+x20，只在x=0處，V(x)=012eov.avV(x)=xov.avV(x)=x+Ox11當(dāng)a0,x=2xx+2xxOx211222有V(x)=-2a(x2+x2)20，12=-2a(x2+x2)2有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。12當(dāng)a0，12有V(x)=-2a(x2+x2)2三0，12x=0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；ex=0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；ex=0

2、是Liapunov穩(wěn)定平衡點(diǎn)；e表明所選V(x)=x2+x20可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是Liapunov函數(shù)。2圖4-4a圖4-4a0漸進(jìn)穩(wěn)定a0112V(x)=OV1x+OV1x=4xx+2x(-x-x)=2xx-2x2有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。Ox1Ox212212T-2212符號不定，無法確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，因此V(x)不是Liapunov函數(shù)。第二次取V(x)=x2+x20有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)12V(x)=OV2x+OV2x=2xx+2x(-x-x)=-2x20是Liapunov函數(shù)。進(jìn)一步，由于卩(x)=-2x2021212V(x)=x+x=2(x+x)(x+x)+4xx+2x(-x-x)=2(x2+x2)0根

3、據(jù)定理可3x1dx21212122121212知x=0是漸近穩(wěn)定，所以V(x)=h(x+x)2+2x2+x2是e321212Liapunov函數(shù)。可見Liapunov函數(shù)并非唯一，無論怎樣取Liapunov，只要符合函數(shù)的條件，能判別平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，他就是Liapunov函數(shù)，結(jié)論是唯一的。此題仍然可以用采用“間接法”來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系數(shù)矩甌=01、-此題仍然可以用采用“間接法”來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系數(shù)矩甌=det(XlA)=九2+X+1=0,根據(jù)Routh方法，一階和二階系統(tǒng)，只要系數(shù)為正，系統(tǒng)就是定的。頭際上九=1(-1+jv3)。2(x的解，由此說81明x=0是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。e作業(yè)

4、4-1：用間接法求出(的解，由此說81明x=0是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。ex丿27P例4-7設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如P圖4-5所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8282U(s)圖4-5雙積分閉環(huán)系統(tǒng)解：用三種方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)典法：由圖列出Y(s)=U(S)+Y(S)-G(s)=竺=丄s2U(s)s2+1即(s2+1)Y(s)=U(s)一y(t)+y(t)=u(t)，取u(t)=0，并不影響討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性,故其解為y(t)=acos+bsin這是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。Liapunov函數(shù)法：設(shè)x=y,x=y，于是x=x，x=-x+u穩(wěn)定性與輸入無121221關(guān),只考慮齊次方程vx)關(guān),只考慮齊次方程vx)1x丿27x=0是

5、唯一平衡點(diǎn)。e試取V(x)=x2+x20而且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)dV.ddV.dVx+-dxidxx=2xx+2xx=2xx+2x(-x)三01221根據(jù)定理可知系統(tǒng)是Liapunov臨界穩(wěn)定，Liapunov穩(wěn)定在工程意義上是不穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論的結(jié)論是一致的。間接法：eAt=L-1(sI-間接法：eAt=L-1(sI-A)-1-1*s丿cost、一sint、sintcost丿(x(t)1Ix(t)2eAtx0cost、一sint、/sintx10cost丿(x20 x(t)=y(t)=xcost+xsint1020顯然，系統(tǒng)狀態(tài)是振蕩的，故x=0是Liapunov臨界穩(wěn)定平衡點(diǎn)，結(jié)論是一致的

6、。eP例4-8試分析系統(tǒng)x=x，x=-(1-|x|)x-x平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。82122121解：非線性系統(tǒng)，不能采用“直接法求解”令x=0nx=(xx)t=0是唯一平e1e2e衡點(diǎn)。試取V(x)=x2+x2012V(x)=x+x=2xx+2xx三一2x2(1-|x|)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。dx1dx21122212當(dāng)|x|=1，在x2+x2=1的圓上，U(x)三0，故x=0是Liapunov臨界穩(wěn)定平衡點(diǎn)；112e當(dāng)|x1，在x2+x2=1的圓內(nèi)，U(x)0)，可判定系統(tǒng)e12穩(wěn)定性，是Liapunov函數(shù)。其穩(wěn)定域是單位圓內(nèi)，系統(tǒng)不是大范圍漸近穩(wěn)定的。443.2用克拉索夫斯基方法構(gòu)造Liapunov

7、函數(shù)由上面討論可知，若找到了Liapunov函數(shù)，用直接法分析穩(wěn)定性是方便的,然而構(gòu)造Liapunov函數(shù)卻成了新問題。盡管通過研究得到了一些方法，但至今還沒有得到一個(gè)對任何系統(tǒng)都普遍適用的構(gòu)造Liapunov函數(shù)的方法。ff(x)1fx)1fdf1dff(x)1fx)1fdf1dx1df)1dx數(shù)學(xué)知識：設(shè)f(x)=，x=x那么互=nf(x)丿n2IxJndxTndxV1ndxn丿p11pYx.1特例:dxdxTV(x)=xtPx=(x1x):n(p=2xpxiijji,j=1n1nnF面介紹一種克拉索夫斯基方法構(gòu)造Liapunov函數(shù)。P定理4-3對系統(tǒng)x=f(x,t)，平衡點(diǎn)為x二082

8、eeV(x)取F(x)=f，記共軛為“*”，轉(zhuǎn)置為“T”，共軛轉(zhuǎn)置為“”eV(x)OfOfOf)OxOxOx亠nOx:1.:n+:1.:1OfOfOfOfOxJ1亠nOx”丿OxJ”亠nOxn丿*P=F(x)+F(x)=0=0是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，Liapunov函數(shù)為=f(x,t)f(x,t)=龍f(x,t)f(x,t)=f|2+f|2+.+ii12當(dāng)|x|TPV(當(dāng)|x|TPV(x)T，則是大范圍漸近穩(wěn)定。無論系統(tǒng)是線性還是非線性，是定常還是時(shí)變，都能用克拉索夫斯基方法構(gòu)造Liapunov函數(shù),。證明:f(x,t)_畔x_卩(x)f(x,t)證明:/(x,t)_/(x,t)_x_)_f(x,

9、t)F(x)j0 xT丿V(x)_f(x,t)f(x,t)+f(x,t)f(x,t)_f(x,t)F(x)-f(x,t)+f(x,t)-F(x)f(t)_f(x,t)F(x)+F(x)-f(x,t)_f(x,t)Pf(x,t)0其中P_F(x)+F(x)，且V(x)_f(x,t)f(x,t)是Liapunov函數(shù)。證畢。特別當(dāng)x_Ax_f(x),若A是非奇異的，則只有x_0唯一一個(gè)平衡點(diǎn)，有*T*T_AF(x)_A，F(xiàn)(x)_OxT、Qxt丿當(dāng)A是實(shí)數(shù)矩陣時(shí)，A_AT，因此就有以下推論。重要推論：(克拉索夫斯基方法應(yīng)用于線性系統(tǒng))對線性定常系統(tǒng)x_Ax_f(x)，若A是非奇異實(shí)數(shù)矩陣，若根據(jù)定

10、號性確定P_AT+A01，貝Ux_0是大范圍漸e近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。P例4一9分析非線性系統(tǒng)x_x一x(x2+x2)_f，x_-x一x(x2+x2)_f平衡點(diǎn)83121121212122的穩(wěn)定性。解：令x_f_0，nx_(xx)t_0是唯一平衡點(diǎn)。e1e2ex23x212xx3x2x23x212xx3x2+x22xx12,1一2xx12，P=F(x)+F(x)=212123x2x2丿,2xxx2+3x2丿2dx丿123X2x212.12xx121一2xx12x23x2.1271212Tdx對2奇數(shù)：P=P=2(3x2+x2)012根據(jù)P二次型及其定號性P=169ii為奇數(shù)i為偶數(shù)12根據(jù)P二次型及其

11、定號性，P的順序主子式為169即P=F(x)+F(x)0負(fù)定，nV(x)0121當(dāng)MTg，V(x)Tg，故是大范圍漸近穩(wěn)定。P例4-10分析系統(tǒng)x=83x平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：A是非奇異，且x=P例4-10分析系統(tǒng)x=83x平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：A是非奇異，且x=(xxee1e2)T=0是唯一平衡點(diǎn)。P=At+A=奇數(shù)主子式：P=P=20；偶數(shù)主子式:11P11P21P12P220i為奇數(shù)，即P=AT+A0i為偶數(shù)所以x=0是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，Liapunov函數(shù)為e根據(jù)P二次型及其定號性P=169iV(x)=fTf=f2+f2=(xx)2+(2x3x)20122112且當(dāng)lixT2，v(x)Tg，

12、故是大范圍漸近穩(wěn)定。值得指出的是：通過克拉索夫斯基方法構(gòu)造的Liapunov函數(shù)是一個(gè)充分條件，并非所有系統(tǒng)都可以找到Liapunov函數(shù)。若用這種方法找不到Liapunov函數(shù)，并不能就此判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須用其他方法尋找Liapunov函數(shù)。(一11作業(yè)4-2：用間接法判斷(P例4-10)系統(tǒng)x=:x的穩(wěn)定性，求出A83I2-3丿的特征值，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出解eAt的表達(dá)式。433用求解Liapunov方程方法構(gòu)造Liapunov函數(shù)對線性定常系統(tǒng)，采用克拉索夫斯基方法構(gòu)造的Liapunov函數(shù)是一個(gè)可以給出漸近穩(wěn)定的充分條件。以下給出判別線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件。兩個(gè)條件結(jié)

13、合，能否構(gòu)造某一類非線性系統(tǒng)的充要條件呢？設(shè)X二Ax，取正定二次型作Liapuno函數(shù)，即P為正定對稱矩陣，有V(x)=xtPxV(x)=XtPx+xtPx=(Ax)tPx+xtPAx=(xtAt)Px+xtPAx=xTQx式中：Q=(AtP+PA)，顯然，若Q是正定對稱矩陣，則V(x)0。然后通過Liapunov方程APZZA2ZZ求解出正定對稱矩陣P，此時(shí)，對n階對稱矩陣P共有n(n+1)/2個(gè)獨(dú)立元素，求解出這n(n+1)/2個(gè)獨(dú)立元素，就可確定P，計(jì)算P的順序主子式的符號可確定對稱矩陣P的定號性，由此可構(gòu)造出Liapunov函數(shù)V(x)=xtPx，再根據(jù)Hurwitz判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

14、P例4T1用求解Liapunov方程分析系統(tǒng)x=x平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：設(shè)對稱矩陣P=卩11IP12x平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：設(shè)對稱矩陣P=卩11IP12p)12p22求解Liapunov方程AtP+PA=21確定P:AtP+PA=2P12ppp111222ppp、1112222p-2p丿12222p=2120，111根據(jù)Hurwitz判據(jù)，有P0,解得:，若方程無解，說明找不到符合條件的正定對稱矩陣P。解得:計(jì)算P的順序主子式的符號(參見P例4-6)81偶數(shù)主子式：P=pnp12=502pp1222即P是正定對稱矩陣，再根據(jù)定理4-4可以判別系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的一個(gè)Liapunov函數(shù)為V(x

15、)=xtPx=V(x)=xtPx=(xx)12=3x2+2xx+2x2=112212穩(wěn)定性判別方法小結(jié)：1間接法有n個(gè)解,2直接法求解n階系統(tǒng)的特征方程det(sI-A)=Sn+as”-1+.+as+1間接法有n個(gè)解,2直接法1n-1”X0不穩(wěn)定i構(gòu)造一個(gè)Liapunov函數(shù)v(x)0，TOC o 1-5 h z*_dV(x)=工SVdx=工6Vx=工QVfdtQxdtQxiQxii=1ii=1ii=1i(1)若卩(X)負(fù)定(卩(x)0正定，則x是不穩(wěn)定；e若V(x)0半負(fù)定，則x是Liapunov臨界穩(wěn)定；進(jìn)一步：若卩(x)不三0，e則x是漸近穩(wěn)定(局部穩(wěn)定)；e3克拉索夫斯基方法P=F(x

16、)+F(x)0，當(dāng)|x|Tg,V(x)Tg，則是大范12n圍漸近穩(wěn)定。4.Liapunov方法給定正定對稱Q，若能找到一個(gè)正定對稱P0，滿足Liapun方程Q=-(AtP+PA)，系統(tǒng)穩(wěn)定，此時(shí)Liapunov函數(shù)為V(x)=xTPx01作業(yè)4-3：用間接法判斷(P例4-11)系統(tǒng)x=01x的穩(wěn)定性，求出A84(1一1丿的特征值，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出解eA的表達(dá)式。4.3.4對線性系統(tǒng)瞬時(shí)響應(yīng)速度的估計(jì)設(shè)n階線性定常系統(tǒng)x(t)=Ax,x(0)=x有唯一的平衡點(diǎn)x=0，且是漸近0e穩(wěn)定的。其狀態(tài)響應(yīng)為x(t)=eAtx，這是線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，其運(yùn)動將0從任一初態(tài)x出發(fā)，向平衡點(diǎn)x=

17、0衰減，我們要問：衰減速度如何呢？0e當(dāng)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定時(shí)，“能量”V(x)是正定的，而“能量的變化”Wx)是負(fù)定的，因此可以引入一個(gè)變量耳二V(當(dāng)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定時(shí)，“能量”V(x)是正定的，而“能量的變化”Wx)是負(fù)定的，因此可以引入一個(gè)變量耳二V(x)，U(x)+nV(x)=0,V(x)=V(x)emV(x)00V(x)=xTPx，V(x)=xtQxxtxQI，所以,(x)xtx(x)xtPx不妨設(shè)P的特征值為九、九、九，且12n九-九為最大的特征值，經(jīng)正交變換max1xFx后(FFI)有圖4-6李雅普諾夫函數(shù)收斂的幾何意義P86xtPx(Fx)tP(Fx)xt(FtPF)x九x2iii1xtx(Fx)t(Fx)xt(FtF)xx2ii1xtx.x2+x2+x2耳=x2/九x212nxtPxiii九(x2+x2+x2)i1i1max12n1TmaxnV(x)V(x)e嚴(yán)V(x)e廠r,00mdStxmaxin3V(x)這給出了系統(tǒng)