1、8.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)高考數(shù)學(xué) 浙江專用考點(diǎn)直線、平面垂直的判定和性質(zhì)考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)一、線面、面面垂直的判定1.直線與平面垂直(1)定義:如果一條直線和一個(gè)平面相交,并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,則稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為:已知m,n,mn=B,lm,ln,則l.2.點(diǎn)到平面的距離、線到面的距離(1)從平面外一點(diǎn)引平面的一條垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線和這個(gè)

2、平面的距離.3.斜線在平面內(nèi)的射影(1)從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過垂足與斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影,垂足與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影.(2)斜線上任意一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.4.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理在空間內(nèi),從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中:(1)垂線段最短;(2)射影相等的兩條斜線段相等,兩條斜線段相等,它們的射影也相等;(3)射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng),較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng).這就是垂線段和斜線段長(zhǎng)定理,應(yīng)當(dāng)注意:定理中涉及的垂線段和斜線段都是從平面外同一點(diǎn)引出的,缺少這個(gè)條件,結(jié)論不成立.5.平面與平面垂直(1)定

3、義:一般地,平面和相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作.(2)判定定理:一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.符號(hào)表示為.二、線面、面面垂直的性質(zhì)1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理同垂直于一個(gè)平面的兩直線平行.2.直線與平面所成的角(設(shè)為)(1)斜線與平面所成的角的定義:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)當(dāng)一條直線垂直于平面時(shí),規(guī)定它們所成的角是直角;當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí),規(guī)定它們所成的角為0的角.(3)最小角定理:斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.3.

4、平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)表示為a.直線l和平面的位置關(guān)系l或lll和斜交的取值或范圍=0=4.二面角的概念及計(jì)算(1)從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.棱為AB,面分別為、的二面角記作二面角-AB-,如果棱為l,那么這個(gè)二面角記作-l-.(2)在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度

5、.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考向突破考向空間垂直關(guān)系的判定例1(2019浙江高考模擬試卷(三),5)已知直線l平面,直線m平面,現(xiàn)給出以下四個(gè)命題:llm;lm;lm;lml.其中,是正確命題的是()A.B.C.D.解析考慮正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,BC平面BCC1B1,AA1平面BCC1B1,但AA1BC,所以錯(cuò);AA1平面ABCD,BC平面BCC1B1,AA1BC,但AA1平面BCC1B1,所以錯(cuò);對(duì)于,因?yàn)閘,所以l,又m,所以lm,所以正確;對(duì)于,因?yàn)閘,lm,所以m,又m,所以,所以正確.故選D.答案D例2(2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考,19)如圖

6、,在三棱錐P-ABC中,PAC和ABC均為等腰三角形,且APC=BAC=90,PB=AB=4.(1)判斷ABPC是否成立,并給出證明;(2)求直線PB與平面ABC所成角的正弦值. 解析(1)ABPC不成立.證明如下:假設(shè)ABPC,因?yàn)锳BAC,且PCAC=C,所以AB平面PAC,所以ABPA,這與已知PB=AB=4矛盾,所以ABPC不成立.(2)解法一:取AC的中點(diǎn)O,BC的中點(diǎn)G,連接PO,OG,PG,由已知得PO=OG=PG=2,ACPO,ACOG,且POOG=O,所以AC平面POG,又AC平面ABC,所以平面ABC平面POG,取OG的中點(diǎn)H,連接BH,則PH平面ABC,所以PBH就是直線

7、PB與平面ABC所成的角,因?yàn)镻H=,PB=4,所以sinPBH=,即直線PB與平面ACB所成角的正弦值為.解法二:以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),設(shè)P(x,y,z),由即解得所以P(1,2,),則=(3,-2,-),易知平面ABC的一個(gè)法向量是n=(0,0,1),設(shè)直線PB與平面ABC所成角的大小為,所以sin =,即直線PB與平面ABC所成角的正弦值為.線面垂直的判定方法方法1方法技巧1.線面垂直的定義.2.線面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma).3.平行線垂直平面的傳遞性(ab,ba).4.面面垂直

8、的性質(zhì)(,=l,a,ala).5.面面平行的性質(zhì)(a,a).6.面面垂直的性質(zhì)(=l,l).7.向量法:證明直線的方向向量為平面的法向量.例1(2019浙江三校聯(lián)考,19)如圖,已知四棱錐A-BCDE中,AB=BC=2,ABC=120,AE=2,CDBE,BE=2CD=4,EBC=60.(1)求證:EC平面ABC;(2)求直線AD與平面ABE所成角的正弦值.解題導(dǎo)引(1)(2) 解析(1)證明:在ABC中,由余弦定理得AC=2,在EBC中,由余弦定理得EC=2.由CE2+CA2=EA2,CE2+CB2=EB2得ECCA,ECCB,又CACB=C,所以EC平面ABC.(7分)(2)如圖,建立空間

9、直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),E(0,0,2),A(2,0,0),B(,1,0),所以=(-,1,0),=(-2,0,2),=(-,-1,2),=.所以D,所以=.(11分)設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則從而令x=1,則n=(1,1).(13分)記直線AD與平面ABE所成的角為,則sin =.(15分)方法2面面垂直的判定方法1.面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,計(jì)算其平面角為90).2.面面垂直的判定定理:a,a.3.向量法:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.例2(2019浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ABCD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,Q為棱PC上的一點(diǎn),且PQ=PC.(1)證明:平面QBD平面ABCD;(2)求直線QD與平面PBC所成角的正弦值.(1)(2) 解題導(dǎo)引解析(1)證明:連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接OQ,則由ABOCDO,AB=2,CD=4,得AO=AC,因?yàn)镻Q=PC,所以QOPA,又PA平面ABCD,所以QO平面ABCD.(4分)又Q