1、專題五平面向量5.1平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理高考文數考點一平面向量的線性運算及其幾何意義考點清單考向基礎1.向量的有關概念及表示法2.向量的線性運算3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件為存在唯一實數,使得b=a成立.【知識拓展】1.若+=2,則D為線段BC的中點,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O為原點,A,B,C為平面內三點,則A,B,C三點在一條直線上的充要條件是=+,且+=1,R.考向突破考向一平面向量的線性運算例1(2020屆河南頂級名校摸底,5)在如圖所示的ABC中,點D,E分別在BC,AD上,且BD=DC,

2、ED=2AE,則向量=()A.+B.+C.+D.+ 解析=+,=+,又BD=DC,=-,=(+),又ED=2AE,=,=+,故選B.答案B考向二向量共線定理的應用例2(2020屆湖南永州9月摸底,6)如圖,在ABC中,=,P是BN上一點,若=m+,則實數m的值為()A.B.C.D. 解析由題意可得=5,則=m+5=m+,因為B,N,P三點共線,所以m+=1,即m=,故選D.答案D考點二平面向量基本定理及向量的坐標運算考向基礎1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數1,2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫

3、做表示這一平面內所有向量的一組基底.溫馨提示(1)零向量和共線向量不能作基底;(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一;(3)若1e1+2e2=0,則1=2=0.2.平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數乘運算(2)向量坐標的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),即一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.(3)平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,則a與b共線a=bx1y2-x2y1=0.向量aba+ba-ba坐標(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x

4、1,y1)考向突破考向一平面向量基本定理的應用例3(2019山東煙臺調研,14)在ABC中,點M,N滿足=2,=,若=x+y,則x+y=.解析=+=+=+(-)=-,又=x+y,所以x=,y=-,故x+y=-=.答案 考向二平面向量共線的坐標表示及運算例4(2019云南師范大學附屬中學,貴陽一中,南寧三中高三聯考,8)若a=(k,1),b=(3,2),且a,b共線,則(a-b)(2a+b)=()A.-13B.0C.-12D.-5解析a,b共線,3=2k,k=,a=,又b=(3,2),則a-b=,2a+b=(6,4),(a-b)(2a+b)=-9+(-4)=-13,故選A.答案A方法1向量共線問

5、題的求解方法1.兩非零向量共線是指存在實數使兩向量可以互相表示.2.向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數法和方程思想的運用.3.證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系,當兩向量共線且有公共點時,才能得到三點共線.4.A、B、C三點共線=+且+=1.特別地,當=時,C為線段AB的中點.5.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0.方法技巧例1(2018課標全國,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.解析由題意得2

6、a+b=(4,2),因為c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=.答案 例2如圖所示,在ABC中,點O是BC的中點,過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N,若=m,=n,則m+n的值為.解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點,故=(+).=-=(+)-=+,同理,=+.由于向量,共線,故存在實數,使得=,即+=,由于,不共線,故得-=且=,消去,得(m-2)(n-2)=mn,化簡即得m+n=2.解法二:連接AO,O是BC的中點,=(+).又=m,=n,=+.M、O、N三點共線,+=1.m+n=2.答案2方法2利用平面向量基本定理解決問題的方法用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成基底的線性組合,再通過向量的運算來求解.在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.另外,要熟練運用線段中點的向量表達式.例3(2019豫南九校第三次聯考,8)如圖所示,在ABC中,點M是AB的中點,且=,BN與CM相交于點E,設=a,=b,則等于()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析由題意得=b,=a,由N,E,B三點共線可知,存在實數m,使=