1、專題九平面解析幾何9.5拋物線及其性質(zhì)高考文數(shù)考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線,拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)F且與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱,這條直線叫拋物線的對(duì)稱軸,簡稱拋物線的軸.在拋物線中,記焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p,以拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的垂線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以拋物線的軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,可以得到拋物線的四種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px,x2=2py,其中p0.考向一拋物線定義的應(yīng)用考向突破例1設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓C的圓心軌跡為()

2、A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓解析由題意知,圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.故選A.答案A例2(2019廣西梧州調(diào)研,6)若拋物線x2=2py(p0)上一點(diǎn)(1,m)到其準(zhǔn)線的距離為,則拋物線的方程為()A.x2=y B.x2=2y或x2=4yC.x2=4yD.x2=y或x2=4y考向二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解析由已知可得m=,則+=,化簡得2p2-5p+2=0,解得p=或p=2,所以拋物線方程為x2=y或x2=4y.答案D考向基礎(chǔ)1.拋物線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二拋物線的幾

3、何性質(zhì)2.點(diǎn)P(x0,y0)和拋物線y2=2px(p0)的關(guān)系(1)P在拋物線內(nèi)(含焦點(diǎn)區(qū)域)2px0.3.焦半徑:拋物線上的點(diǎn)P(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離稱作焦半徑,記作r=|PF|.(1)y2=2px(p0),r=x0+;(2)y2=-2px(p0),r=-x0+;(3)x2=2py(p0),r=y0+;(4)x2=-2py(p0),r=-y0+.考向拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用考向突破例3(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)解析拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為

4、x=-,由題設(shè)知-=-1,即=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).故選B.答案B例4(2019陜西西安陜師大附中等八校聯(lián)考,15)已知F是拋物線C:y=2x2的焦點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)在拋物線C上,且x=1,則|PF|=.解析由y=2x2,得x2=y,則p=.由x=1得y=2,所以|PF|=2+=2+=.答案 考向基礎(chǔ)1.AB為拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;(3)弦長|AB|=x1+x2+p,x1+x22=p,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),弦長|AB|最短,最小長度為2p;(4)弦長|AB|=(為AB的傾斜角).(5)若直線AB

5、的傾斜角為,且A位于x軸上方,B位于x軸下方,則|AF|=,考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系|BF|=;(6)SAOB=(其中為直線AB的傾斜角);(7)+=;(8)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切;(9)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切.2.AB為拋物線y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點(diǎn)M(x0,y0),設(shè)直線AB的斜率k存在,且k0.(1)弦長|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|;(2)k=;(3)直線AB的方程為y-y0=(x-x0);(4)弦AB的垂直平分線方程為y-y0=-(x-x0).【知識(shí)拓展】1.如圖所示,AB是拋物線x2=2py(p0)

6、的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦),分別過A,B作拋物線的切線,交于點(diǎn)P,連接PF,則有以下結(jié)論:(1)點(diǎn)P的軌跡是一條直線,為拋物線的準(zhǔn)線l:y=-;(2)兩切線互相垂直,即PAPB;(3)PFAB;(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2.非焦點(diǎn)弦性質(zhì)(1)已知直線l與拋物線y2=2px(p0)交于A、B兩點(diǎn),若OAOB,則直線l過定點(diǎn)(2p,0),反之亦成立;(2)已知M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn),點(diǎn)N(a,0)是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn),則|MN|min= 考向一直線與拋物線相交的弦長問題考向突破例5(2019河南商丘九校聯(lián)考)已知AB是拋物線y2=2x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|=4,則AB中

7、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A.2B.C.D. 解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C的橫坐標(biāo)為x0,則x0=,因?yàn)锳B是拋物線y2=2x的一條焦點(diǎn)弦,所以|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,所以x1+x2=3,故x0=.故選B.答案B考向二與拋物線有關(guān)的弦中點(diǎn)問題例6(2019黑龍江哈三中期中,14)已知點(diǎn)P(2,1),若拋物線y2=4x的一條弦AB的中點(diǎn)恰好是點(diǎn)P,則弦AB所在的直線方程為.解析易知直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直線方程為y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k(k0),聯(lián)立整理得k2x2+2k(1-2k)-4

8、x+(1-2k)2=0,所以x1+x2=-,因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為點(diǎn)P(2,1),所以-=4,解得k=2,所以弦AB所在的直線方程為y=2x-3,即2x-y-3=0.答案2x-y-3=0一題多解易知直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直線方程為y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k(k0),由已知可得兩式相減可得-=4(x1-x2),則k=,又知弦AB的中點(diǎn)是點(diǎn)P,y1+y2=2,k=2,所求直線的方程為y=2x-3,即2x-y-3=0.方法1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.定義法:根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征,利用拋物線的定義確定軌跡類型,從而

9、確定p的值,得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定p的值,這里應(yīng)注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.從簡單化角度出發(fā),焦點(diǎn)在x軸上的,設(shè)為y2=ax(a0),焦點(diǎn)在y軸上的,設(shè)為x2=ay(a0).方法技巧例1(2019湖南衡陽二模,15)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-1,0)的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若4|FA|+|FB|的最小值為19,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,x20),由得k2x2+2k2x+k2=2px,即k2x2+(2k2-2p)x+k2=0,x1

10、x2=1.由拋物線的定義知 |AF|=x1+,|BF|=x2+,4|FA|+|FB|=4+x2+=4x1+x2+p2+p=4+p,當(dāng)且僅當(dāng)4x1=x2時(shí)取等號(hào),此時(shí)4|FA|+|FB|的最小值為4+p,4+p=19,解得p=6,拋物線C的方程為y2=12x.答案y2=12x方法2拋物線定義的應(yīng)用策略拋物線是到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡,利用拋物線的定義解決問題,應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化.“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的有效途徑.例2(2017課標(biāo)全國,12,5分)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交

11、C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.B.2C.2D.3解析如圖,因?yàn)橹本€MF的斜率為,所以直線MF的傾斜角為60,則FMN=60.由拋物線的定義得|MF|=|MN|,所以MNF為等邊三角形.過F作FHMN,垂足為H.易知F(1,0),l的方程為x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直線NF的距離d=|FH|=|MF|sin 60=4=2.故選C. 答案C方法3與直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)問題的求解方法1.直線和拋物線的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.判斷方法有:把直線方程和拋物線方程聯(lián)立,若得到的是一元二次方程,則:(1)若方程的判別式0,則直線與拋物線相交;(2)若方程的判別式=0,則直線與拋物線相切;(3)若方程的判別式0),其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,設(shè)l1與l2交于點(diǎn)M.(1)求拋物線C的方程;(2)若l1l2,求MAB面積的最小值.解析(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,即p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2分)(2)拋物線的方程為x2=4y,即y=x2,所以y=x.(3分)設(shè)A,B,則l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由l1l2,得=-1,即x1x2=-4.(5分)設(shè)直線l的方程