1、第十一-定價模-第三節1.假設不支付股利-定價公式（ 習題解答-的漂移率為 ， 波動率為s。一家金融機構剛剛宣布其將交易這樣一種衍生產品，該產品在T 時刻的收益等于 T(a) 試描述這一衍生產品的預期收益；請計算該衍生產品在 0 時刻的理論價格；試證明其符合 BSM偏微分方程。S T = TE ()- E () T第十一-定價模-第三節1.假設不支付股利-定價公式（ 習題解答-的漂移率為 ， 波動率為s。一家金融機構剛剛宣布其將交易這樣一種衍生產品，該產品在T 時刻的收益等于 T(a) 試描述這一衍生產品的預期收益；請計算該衍生產品在 0 時刻的理論價格；試證明其符合 BSM偏微分方程。S T

2、 = TE ()- E () TSs) -Ts= F =r Q Sf =- - sTS ftf+= S在tft=e- r(T - t)E | FflnttS1s=e- r(T - t)EQ t)+ s)r- lnS |t2TtS1- r(T- t)EQ ts2 =ln t -T T0 1+=e- r(T - t)E | FflnttS1s=e- r(T - t)EQ t)+ s)r- lnS |t2TtS1- r(T- t)EQ ts2 =ln t -T T0 1+s2 = e- r(T - t)2ST2- r(T- t)12s t =rf + -rtt2=e- r(T-t)1 11=- e-

3、 r(T - t2tterTt r12 rSerTt1T左邊2 Ttt22Ttt1 erTtr11 erTtr1tT22rft 試證明當標的資產支付連續復利紅利率為q 的紅利時， 相應的偏微分方程形式為ftf1 s2S+(rq)= S設dS aSdt + sSdz ，則以S f 的隨機過程可由Ito? df = f dS + fdt1(dS)2S= + s 2 12 dt+2S 構造組合Pf ，買入 f 份標的資產S 組合P s DP = t同時， 持有 f 份標的資產 S 可獲得紅利收益 f SqDt ， 總之， 瞬間無風險收益rP DP =s Dt SqDt =rPDt+ f 組合P s

4、DP = t同時， 持有 f 份標的資產 S 可獲得紅利收益 f SqDt ， 總之， 瞬間無風險收益rP DP =s Dt SqDt =rPDt+ f S S+Sq =r- f S=tS fS+(r- S3. 請在充分理解 定價公式推導的基礎上完成以下練習( (a) 證明 N (d (b) 證明在風險中性世界中， 歐式看漲被執行的概率是 ；(c) 一只或有現金滿足：若到期時標的資產價格大于執行價格則回報反之則沒有回報，試為該或有現金定價。Xe- r(T - t)N c=SN(d )s(S X)t -d =d - s T - d sT-t)cSXe- r(T - t)N(-=N +(+ T -

5、 td -N =eeds (T - t- ds T- t=e)e- (SX)- r(T- t =N(=N(Xe- r(T- tS且 =)d(+ T - td -N =eeds (T - t- ds T- t=e)e- (SX)- r(T- t =N(=N(Xe- r(T- tS且 =)d Xe- r(- t)()(d cS=N (d (b) 即求 N S + r st)sTt在風險中性世界中S - TtS - st)N(=S s = s T - t- 令ts則S - TX - mP(SX)=P(X)= TTss-e =X- s= - N m m - = S s (Tt) = s=N (d(c)

6、 = ST T的概率為 N(d， 于是由(b可知在風險中性世界中 ST 的期望收益為(d ) ，于是現價應為：=e-r(T- t)N (d )P4.x是在T時刻支付$1 的零息票債券按連續復利計息的到期收益率。x 遵循如下dx=a(x - x)dt + 其中axs是正常數， dz(c) = ST T的概率為 N(d， 于是由(b可知在風險中性世界中 ST 的期望收益為(d ) ，于是現價應為：=e-r(T- t)N (d )P4.x是在T時刻支付$1 的零息票債券按連續復利計息的到期收益率。x 遵循如下dx=a(x - x)dt + 其中axs是正常數， dz是維納過程。請寫出債券價格遵循的過

7、程。=e- x(T- t) t 時刻零息票債券的價格t Bdx+ Bt dt t (dx)dB txtt)Btdx T =xBtdt Bts x x)t)+x + =- a(x )sxt)B-s Bdt - t5. 假設一種衍生產品在T 時刻支付 Sn S 是T 時刻標的的價格， nTT運動 ， 則在 t ) 時刻該衍生產品的價形式n 次方價格 服從幾 (， 其中 S 表示h tT nh 僅是t 和價格的函數。t請通過代入 BSM 偏微分方程， 推導h htT ) 的微分方程的邊界條件是什么？)所滿足的常微分方程(c) 試證明：h( )()+r(n - )(Ts n n 。其中 r是無風險利率， s是股價對數的波動率。(a由題f ,t) =h t,T ()ntt又f=h Snf =nh (t,T )=n(n ) )n- n- t,1 h t,T tt(a由題f ,t) =h t,T ()ntt又f=h Snf =nh (t,T )=n(n ) )n- n- t,1 h t,T ttt2tthS1( n-)1(h n- 1 2 n- s + =Tt ttt2t( htr2此式即為所求ODET f ,T )=h T,T = S )(b) 當nTTT因此邊