1、第四章 向量空間主要內容及知識結構其它元素的集合引進線性表示、相關無關、極大無關組、秩需滿足條件線性空間定義無限向量集合向量空間極大無關組、秩的概念的推廣：基、維數、基變換、坐標變換，向量長度、正交，標準正交基、正交矩陣線性方程組解的理論、結構推廣推廣 第四章主要內容向量的線性表示、相關無關、極大無關組、秩有限向量特殊拓展應用4.1 向量空間1線性空間 則稱V是數域F上的線性空間.定義1 設V是非空集合, F是數域. 如果在V上定義了加法，（加號記作“ ”），數乘（乘號記“ ”）且滿足八條運算律：(3)含 元素，對加法和數乘運算封閉一、向量空間【說明】加法運算即V中任意兩元素 , 按某一法則在

2、V中都有唯一的一個元素 與之對應,記作 .數乘運算即V中任意元素 和數域F中的任意數k, 按某一法則在V中都有唯一的一個元素 與之對應,記作 答 (1)、 (2) 都是R上的線性空間.例1 下列集合對于所給運算與數域是否構成線性空間 (2) （即全體正實數集合）實數域R 定義加法 數乘(1) ，實數域R，矩陣加法，數乘為二階方陣例1 (3) 向量加法與數乘, 數域為實數域 R從本章開始不特意說明均為列向量!零空間答 (1), (2), (3)是線性空間, 而(4), (5)不是.【注】由線性空間定義知，判斷一個集合是否可以構成線性空間，關鍵看是否非空，是否對加法與數乘運算封閉，是否含有零元素，

3、對 V 中任意元素的負元素是否仍在 V 中, 并驗證是否滿足8條運算律. 定義2 如果數域F上的線性空間V有n個線性無關的元素，且任意n+1個元素都線性相關(即V中任一個元素都可以用這n個線性無關的元素線性表示), 則V稱為n維線性空間. 其中 n 稱為V的維數，記為dimV=n; n個線性無關的元素稱為V的一組基.2線性空間的維數與基例1（續）求下列線性空間的基與維數.(1) ，實數域R，矩陣加法，數乘為二階方陣沒有基,則dimV=0(3) 向量加法與數乘, 數域為實數域 R3. 向量空間定義3 設V是非空實數域向量集合，F是實數域R即對于向量加法與數乘構成線性空間，則稱V是實數域上的n維向

4、量空間.稱其為n維向量空間,思考n的涵義？【說明】 線性空間是比向量空間更具有普遍性的概念. 由于線性空間是從向量空間抽象出來的, 所以線性空間的元素也稱為向量, 線性空間也稱為向量空間.1關于 的基的幾點解釋(1)基本單位向量組 是一組非常漂亮的基；(2)任意n個線性無關的n維向量都是 的一組基,故基不唯一；(3) 為一組基(4) 中任意一組無關向量都可以擴充為 的一組基. 如 即 的又一組基.自然基二、 n維向量空間 的基與坐標可逆.2向量的坐標定義4 設 是 的一組基，若稱 為 關于基 的坐標. 【注】向量 關于一組基的坐標唯一. 關于一組基的坐標是否唯一?但關于不同的基,其坐標一般不同

5、.(2)求 關于如下幾組基的坐標.1） ； 2） ； 3）例2 (1) 求 關于基 與基 的坐標. 解析 (1) (2)故 關于三組基的坐標分別為解析(3) 求 關于基 的坐標.解析 令 (相當于求解非齊次線性方程組)并求 關于基 的坐標. (4) 證明 是 的一組基， 【注】求坐標的方法與利用矩陣初等行變換將某向量用極大無關組線性表示的方法本質相同.求坐標思路同(3)答案: 只需證解析 引 n維向量空間 基不唯一，討論基之間的關系； 向量需要用不同基表示，討論向量關于不同基坐標之間的關系.1過渡矩陣稱 為由 到 的基變換公式. 則稱A為由基 到基 的過渡矩陣；定義5 設 和 是 兩組基，它們

6、之間的關系為 簡記為 ，其中 思考:A中元素的涵義?【注1】A中第1列為 關于 的坐標，其余類推； 三、基變換與坐標變換【注2】過渡矩陣A可逆;【注3】由 到 的過渡矩陣為2坐標變換定理1 設 和 為 的兩組基，向量 關于 的坐標為 關于 的坐標為 則例3 (1)求由基 到 的過渡矩陣.向量(2) 設三維向量空間 的兩組基為求基 到基 的過渡矩陣及向量 關于兩組基的坐標. 解析 (1)(2) 由則只需求出 下的坐標 , 即 例4設 是 的一組基，又知（1）證明： 和 是 的一組基;（2）求由基 到 的過渡矩陣;（3）求基 與 的坐標變換公式（4）求 關于基 的坐標. 解析 (1)(2)B則例4

7、設 是 的一組基，又知（3）求基 與 的坐標變換公式（4）求 關于基 的坐標.則有(4) (3) 由解析又知 （1）例5 設三維向量空間 的向量 關于基 的坐標為 ,關于基 的坐標為 求由基 到 的過渡矩陣.解析 本題為已知兩組基的坐標變換公式,欲求基變換公式.由(1)式知,由 的過渡矩陣A則 過渡陣為1. 子空間定義定義6 設L是 的一個非空子集，如果L關于向量的加法與數乘運算也構成一個實數域R上的向量空間，則稱L為 的一個子空間.例如2. 子空間判定定理 定理2 L是 的非空子集, L是 的子空間 L對加法、數乘運算封閉. 【注】1僅含n維零向量的集合是 的子空間， 稱為零空間；零空間和

8、是 的子空間, 稱為平凡子空間, 而其它子空間稱為非平凡子空間. 2dimLdim =n； 3基的概念在子空間中適用.四、子空間及其維數例6 空間中xoy面上向量集合 是否構成3維向量空間 的子空間?答: 是.例7 判別下列集合是否為Rn的子空間？(1) V1= x = (1, x2, ,xn)T| x2, ,xnR(2) V2=x=(0, x2, ,xn)T| x2, ,xnR例8 設 , 是兩個已知的 n 維向量, 集合V = x = | , R , 試判斷 V 是否為Rn的子空間.思考:如何確定基與維數?【注】1 的極大無關組即生成子空間 的一組基.2dim =3生成子空間是 的一個子空

9、間,稱為 的生成子空間，記作 .【注】齊次線性方程組 AX=o 的所有解組成的解空間, 可以看成是由其基礎解系生成的子空間.例如: 例9 求 中向量 的生成子空間的維數和一組基.提示: 實質是找該向量組的極大無關組,即將向量寫作列向量構造矩陣做初等行變換找出極大無關組.例10 求齊次線性方程組的解空間的維數和一組基. 解析 即求一個基礎解系.例11 設向量組與等價, 證明：V1=V2.證明 設 則 x 可由 線性表示.與等價, 故 x 可 因為由 線性表示.即同理可證, 【結論】 任意兩個等價的向量組的生成子空間相等.的極大無關組為則設向量組【本節內容說明】 （2）若向量組 是向量空間 的一組基，則 可表示為 （1）若把向量空間 看作向量組， 則 的基就是向量組的極大無關組, 的維數就是向量組的秩.基基向量坐標坐標過渡矩陣基本概念 線性空間、向