1、三角函數的圖象與性質（三）知識梳理1.能利用“五點法”作三角函數的圖象，并能依據圖象求分析式.2.能綜合利用性質，并能解相關問題.點擊雙基1.（2003年春天上海）對于函數f（x）=sin2x（2）|x|+1，有下邊四個結論，其32中正確結論的個數為f（x）是奇函數當x2003時，f（x）1恒建立f（x）的最大值是322f（x）的最小值是12分析：明顯f（x）為偶函數，結論錯.對于結論，當x=1000時，x2003，sin21000=0，f（1000）=1（2）1000231，所以結論錯.2又f（x）=1cos2x（2）|x|11cos2x（2）|x|，1cos2x1，2+2=1332111c

2、os2x3.222故11cos2x（2）|x|3，即結論錯.232而cos2x，（2）|x|在x=0時同時獲得最大值，所以f（x）=11cos2x（2）|x|在323x=0時可獲得最小值1，即結論是正確的.2答案：A2.（2004年天津，12）定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數.若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（5）的值為23A.1B.1C.3D.32222分析：f（5）=f（52）=f（）=f（）=sin=3.333332答案：D3.（2004年全國，10）函數y=xcosxsinx在下邊哪個區間內是增函數A.（，3）B.（，2）22C.（3，5）

3、D.（2，3）22分析：用清除法，可知B正確.答案：B4.（2004年全國，11）函數y=sin4x+cos2x的最小正周期為A.B.C.42分析：y=sin4x+cos2x=（1cos2x）2+1cos2x22cos21cos4x=2x3=2+3444=1cos4x+7.88故最小正周期T=2=.42答案：B=5sin（2x+）的圖象對于y軸對稱，則=_.分析：y=f（x）為偶函數.答案：=k+（kZ）2典例分析【例1】判斷下邊函數的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）.分析：判斷奇偶性第一應看定義域能否對于原點對稱，而后再看f（x）與f（x）的關系.解：定義域為R，又f（x）+

4、f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）為奇函數.評論：定義域對于原點對稱是函數擁有奇偶性的必需（但不充分）條件.【例2】求以下函數的單一區間：（1）y=1（2x）；（2）y=sin（x+）.2344分析：（1）要將原函數化為y=1sin（2x）再求之.（2）可畫出y=|sin（x+）2344|的圖象.解：（1）y=1sin（2x）=1sin（2x）.243234故由2x2k+3x3k+92k3423k（kZ），為單一減區間；288由2k+2x2k+39x3k+21（kZ），為單一增區間.234288遞減區間為3k3，3k+9，88遞加區間為3k+9，3k+21（kZ）.88（2）

5、y=|sin（x+）|的圖象的增區間為k，k+，減區間為k+，4444k+3.4深入拓展（2）不用圖象能求解嗎?1cos（2x提示：y=sin2x2）=1sin2x.（）4=2242【例3】（2003年春天北京）已知函數f（x）=6cosx5cosx1，求f（x）的cos2x定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.分析：本題便于下手，求定義域、判斷奇偶性靠定義即可解決，求值域要對函數化簡整理.解：由cos2x0得2xk+，解得xk+（kZ）.224所以f（x）的定義域為x|xR且xk+，kZ.24由于f（x）的定義域對于原點對稱，且42x）1f（x）=6cos（x）5cos（）cos2x=6cos

6、4x5cos2x1=f（x），cos2x所以f（x）是偶函數.又當xk+（kZ）時，24f（x）=6cos4x5cos2x1（2cos2x1）（3cos2x1）2cos2x=cos2x=3cosx1，所以f（x）的值域為y|1y1或1y2.22評論：本題主要考察三角函數的基本知識，考察邏輯思想能力、分析和解決問題的能力.闖關訓練夯實基礎1.（2005年北京海淀區高三期末練習）函數y=xsinx+cosx在下邊哪個區間內是增函數A.（，3）B.（，2）22C.（3，5）D.（2，3）22分析：仿前面第3小題挨次清除A、B、D.答案：C2.為了使y=sinx（0）在區間0，1上起碼出現50次最大值

7、，則的最小值是B.197C.19922分析：491T1，即19721，44197.2答案：B思慮：若條件改為在x0，x0+1上起碼出現50次最大值呢？3.（2004年福建，11）定義在R上的函數f（x）知足f（x）=f（x+2），當x3，5時，f（x）=2|x4|，則sin）f（cos）66sin1）f（cos1）cos2）f（sin2）33cos2）f（sin2）分析：由f（x）=f（x+2）知T=2，又x3，5時，f（x）=2|x4|，可知當3x4時，f（x）=2+x.當4x5時，f（x）=6x.其圖以下，故在（1，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數.又由|cos2|sin2|，f（c

8、os2）f（sin2）.答案：D4.若f（x）擁有性質：f（x）為偶函數，對隨意xR，都有f（x）=f（+x），則f（x）的分析44式能夠是_.（只寫一個即可）答案：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等.5.給出以下命題：正切函數的圖象的對稱中心是獨一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分別為、；2若x1x2，則sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函數，它的最小正周期為T，則f（T）=0.2此中正確命題的序號是_.答案：6.當（0，）時，求y=1sin21sin2.解：y=（sin22cos）（sincos）=sincossin+cos.（1）當（0，時

9、，有sincos，sin+cos0，4y=cossinsincos=2sin.（2）當（，3）時，sincos，sin+cos0，4y=sincossincos=2cos.（3）當（3，）時，有sincos，sin+cos0，y=sincos+sin+cos4=2sin.培育能力7.設x0，f（x）=sin（cosx），g（x）=cos（sinx），求f（x）、g（x）的最2大值.解：在x0，上，y=cosx是單一遞減的，且cosx0，1，而y=sinx是2單一遞加的，且sinx0，1，f（x）=sin（cosx）0，sin1，g（x）=cos（sinx）cos1，1.f（x）的最大值是sin

10、1，g（x）的最大值是1.8.若logcossinlogsincos（為銳角），求的取值范圍.解：為銳角，0cos1，0sin1，logcossin0，logsincos0.原式就是logcossinlogsincoslogcossin1（logcos2logsincossin）1logcossin1sincos0.4研究創新9.已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x，.44（1）求向量OP和OQ的夾角的余弦用x表示的函數f（x）；（2）求的最值.解：（1）OPOQ=2cosx，|OP|OQ|=1+cos2x，f（x）=cos=2cosx.1cos2x2cosx=2，（2）cos=co

11、s21xcosx1cosxx，cosx2，1.4422cosx+132，22f（x）1，即22cos1.cosx233max=arccos22，min=0.3思悟小結1.函數的單一性是在定義域或定義域的某個子區間上考慮的，要比較兩三角函數值的大小一般先將它們化歸為同一單一區間的同名函數再由該函數的單一性來比較大小.2.當函數的定義域為對于原點對稱的區間時，判斷函數的奇偶性一般運用奇偶性的定義，有時亦可應用與定義等價的命題，如f（x）f（x）=1（f（x）0），則f（x）為偶函數，若f（x）f（x）=1（f（x）0），則f（x）為奇函數，或由f（x）f（x）=0來判斷奇偶性.3.判斷y=Asin

12、（x+）（0）的單一區間，只要求y=Asin（x+）的相反區間即可，一般常用數形聯合.而求y=Asin（x+）（0）單一區間時，則需要先將x的系數變成正的，再想法求之.（讀者考慮為何）教師下載中心教課點睛本節是圖象和性質的綜合應用的內容，例題解說要突出數形聯合思想、化歸轉變思想、分類議論等數學思想方法，并注意三角知識的載體作用，注意和其余知識間的關系.拓展題例【例1】判斷f（x）=1sinxcosx的奇偶性.1sinxcosx正確解法：取x=，f（x）存心義，取x=，f（x）沒存心義，故定義域對于原22點不對稱.f（x）是非奇非偶函數.常有錯誤及診療：一些學生不分析定義域能否對于原點對稱，而急于函數變形，極易致使錯誤的結論.要注意判斷奇