1、電磁場矢量分析第1頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 1.1 矢量及其代數運算 1.2 圓柱坐標與球坐標 1.3 矢量場* 1.4 標量場* 1.5亥姆霍茲定理 第2頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.1 矢量及其代數運算 1.1.1. 標量（Scalar）與矢量(Vector) 1. 標量：實數域內任一代數量，只表示該代數量大小。 矢量：既表示大小（模），又表示方向。 物理學中，賦予單位，具有物理意義，稱為物理量。 例如： 標量有電壓、電流、溫度、時間、質量、電荷等； 矢量有電場、磁場、力、速度、力矩等。 2. 矢量的表示：矢量 可以表示為 其中

2、， A是矢量 的大小; 代表矢量 的單位矢量。第3頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 零矢(Zero Vector)：大小為零的矢量，又稱空矢(Null Vector) 。 單位矢量（Unit Vector)：大小為1的矢量。3. 位置矢量：從原點指向點P的矢量，用 表示。 即空間中點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投 影唯一地被確定。4. 直角坐標系中，矢量 可以表示為第4頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.1.2 矢量的代數運算 設兩個矢量為 ， ，則1.標量積(Scalar Product) ： 標量 標量積服從交換律和分配律

3、，即第5頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五（右手螺旋）2.矢量積(Vector Product) ：又稱矢量的叉積(Cross Product)。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即 第6頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五3.矢量和：4.矢量差：5. 直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： 第7頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.3 矢量場 本節要點：考察矢量場在空間的分布及變化規律。 矢量線 通量和散度 環量與旋度第8頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.3.1 矢量場的矢量線(Vector Line

4、) 例如：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線。圖 1-10 力線圖 所謂矢量線就是這樣一些曲線：在曲線的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。第9頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五矢量線方程：定義式直角坐標系中， 結論： 矢量線可以使我們直觀、形象地了解矢量場在空間的分布狀況。第10頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五例1-1 求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解： 矢量線應滿足的微分方程為 從而有 解之即得矢量方程 c1和c2是積分常數。 第11頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五例1-2 設

5、點電荷q位于坐標原點，它在空間任一點P（x, y, z)處所產生的電場強度矢量為求 的矢量線方程畫出矢量線圖。解：由式（135）得矢量線方程為 c1和c2是積分常數。 此方程解為 第12頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 由圖可見，電力線是一簇從點電荷出發向空間發散的徑向輻射線，它形象地描述點電荷的電場在空間的分布狀況。第13頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.3.2 矢量場的通量及散度 1. 矢量場的通量(Flux)面元矢量：單位矢量 是面元外法線方向。標量積稱為矢量 穿過 的通量。第14頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五矢

6、量場 穿過整個曲面 的通量為：如果 是一個閉合曲面，則其通量為： 通量的物理意義：（假設矢量場 為流體的速度） 通量表示在單位時間內流體從閉合曲面內流出曲面 的正流量與流入閉合曲面 內部的負流量代數和，即凈流量。第15頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 若 ，表示有凈通量流出，說明封閉曲面 內必定有產生流體的正源（Source）； 若 ，表示有凈通量流入，說明封閉曲面 內有吸收流體的負源（Sink,稱之為溝）； 若 ，表示流入等于流出，此時 內正源與負源的代數和為零，即沒有源。 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無源)第16頁，共54頁，2022年，5月20日，6

7、點41分，星期五 結論： 矢量場在閉合面上的通量是由面內的源決定的，它是一個積分量。它描繪閉合面內較大范圍內的源的分布情況。 描述場中每一個點上源的性質，必須引入新的矢量，故引入矢量場的散度的概念。第17頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五稱此極限為矢量場 在點P處的散度。 設有矢量場 ，在場中任一點P處作一個包含P點在內的任一閉合曲面 ， 設 所限定的體積為V， 當體積V以任意方式縮向P點（ ）時， 取下列極限: 2.矢量場的散度 （divergence ）1) 散度定義記作定義式第18頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 2) 哈密爾頓（Hamilt

8、on)算子 哈密頓算子是一個矢性微分算子，在直角坐標系中有： 故在直角坐標系中，散度的表達式可寫為計算式即第19頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 在圓柱坐標系和球坐標系中，散度的表達式分別為第20頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 結論： 散度表示場中一點處的通量對體積的變化率。也就是說在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。 散度是一個標量，它描述的是場分量沿各自方向上的變化規律。故散度用于研究矢量場標量源在空間的分布狀況。 在P點處， ，表明 在該點有散發通量之正源，稱為源點； ，表明 在該點有吸收通量之負源，稱為匯點； ，

9、表明 在該點無通量源，稱為連續或無散的。第21頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五3) 高斯散度定理（Divergence Theorem） 即矢量場 散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量第22頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 【例1-3】在矢量場 中，有一個邊長為1的立方體，它的一個頂點在坐標原點上，如圖示。試求： (1) 矢量場 的散度； (2) 從六面體內穿出的通量，并驗證高斯散度定理。 解：(1) 根據散度計算公式得， (2) 從單位立方體穿出的通量：第23頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 故從單位立

10、方體內穿出的通量為2，且高斯散度定理成立，即第24頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.3.3 矢量場的環量和旋度 1.環量定義(Circulation) 設有矢量場 ， 為場中的一條封閉的有向曲線，則定義矢量場 環繞閉合路徑 的線積分為該矢量的環量，記作圖 1-14矢量場的環量 第25頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 環量是矢量 在大范圍閉合曲線上的線積分，反映了閉合曲線內旋渦場的分布情況。要分析每個點附近旋渦源的分布情況，引入旋度。 矢量的環量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場 性質的重要物理量，同樣都是積分量。 矢量的環量也是一標量，

11、如果 ，則表示閉合曲線 內有產生這種場的旋渦源；如果 ，則表示該封閉曲線內無渦旋源。第26頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1) 環量密度2. 矢量場的旋度(curl)圖1-15 閉合曲線方向與 面元方向示意圖此極限值就是環量的面密度（即環量對面積的變化率）。第27頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 環量面密度與 所圍成的面元 的方向有關： 如果 圍成的面元矢量與旋渦面的方向重合，則環量面密度最大；如果所取面元矢量與旋渦面的方向之間有一夾角，則環量面密度總小于最大值；如果面元矢量與旋渦面的方向相垂直，則環量面密度為零。 即在給定點上，不同路徑，環量面

12、密度不同。故引入旋度來限制給定點上的環量面密度。2）旋度的定義旋渦面P第28頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 矢量場 的旋度描述了矢量 在該點的旋渦源強度，若在某區域中各點 則稱矢量場無無旋場或者保守場。旋度的一個重要性質是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即 旋度是一個矢量，模值等于矢量 在給定點處的最大環量面密度；方向就是當面元的取向使環量面密度最大時，該面元的方向 ,它描述的是場分量沿著與它相垂直方向上的變化規律。第29頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五直角坐標系中，旋度的表達式為注：矢量 在圓柱坐標系和球坐標系中的旋度表達式見附錄1 （P237

13、）。第30頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五3)斯托克斯定理（Stokes Theorem） 斯托克斯定理完成矢量旋度的面積分與該矢量的線積分之間的互換。式中 的方向與 的方向成右手螺旋關系（證明略）。 矢量場在閉合曲線 上的環量等于閉合曲線 所包圍曲面 上旋度的總和。第31頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 【例1-4】 已知一矢量場 試求： (1) 該矢量場的旋度； (2) 該矢量場沿半徑為3的四分之一圓盤邊界的線積分，如圖示，驗證斯托克斯定理。 解：(1) (2) 矢量沿四分之一圓盤邊界的線積分：第32頁，共54頁，2022年，5月20日，6點

14、41分，星期五由極坐標與直角坐標的關系得：可見，斯托克斯定理 成立。第33頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 例1-5 在坐標原點處點電荷產生電場，在此電場中任一點處的電位移矢量為 求：1) 穿過原點為球心、R為半徑的球面的電通量(見下圖)。 2)電位移矢量 的散度。 解：1) 由于球面的法線方向與 的方向一致，所以 第34頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五第35頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.4 標量場 本節要點：考察標量場在空間的分布及變化規律。 等值面 方向導數 梯度第36頁，共54頁，2022年，5月20日，6點4

15、1分，星期五1.4.1 標量場的等值面 指在標量場u(x, y, z)中，使其函數取相同數值的所有點組成的曲面，稱等值面。等值面方程表示為 c為任意常數等值線（面） 標量場的等值面可以直觀地幫助我們了解標量場在空間的分布情況。第37頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五1.4.2 方向導數(Directional Derivative) 1. 方向導數的定義 設P0是標量場=(M)中的一個已知點，從M0出發沿某一方向引一條射線l, 在l上P0的鄰近取一點P， ，如圖1-19所示。圖 1-19 u沿不同方向的變化率 如果當P趨于P0時， 的極限存在，則稱此極限為函數u(P)在點

16、P0處沿l方向的方向導數，記為 第38頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 方向導數是函數 在點P0處沿l方向對距離的變化率。當 時表示在點p0處沿l方向是增加的，反之就減小。 2. 方向導數的 計算公式 在直角坐標系中，若函數u=u(x, y, z)在點P0(x0, y0, z0)處可微，則有第39頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五式中，cos、cos、cos為l方向的方向余弦。1.4.3 標量場的梯度（Gradient）變化率最大的方向 1. 梯度的定義 矢量 的方向為函數u在點P處變化率為最大的方向其大小就是這個最大變化率的值。第40頁，共54頁

17、，2022年，5月20日，6點41分，星期五 在直角坐標系中， 梯度用哈密頓微分算子又可以表示為 注： 拉普拉斯算子，即 直角系、圓柱坐標系、球坐標系中的梯度和拉普拉斯表達式見附錄1（P237）。第41頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 2. 梯度的性質 (1) 方向導數等于梯度在該方向上的投影，即 (2) 標量場u中每一點P處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向函數u(P)增大的方向，也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。 (3) 梯度的旋度為零。 表明：如果一個矢量場 滿足 ，即 是一個無旋場，則矢量場 可以用一個標量函數u的梯度來表示，即第42頁，共54頁，2022

18、年，5月20日，6點41分，星期五該標量函數稱為勢函數，對應的矢量場稱有勢場。 例如，靜電場中的電場強度就可以用一個標量函數的梯度來表示。3. 梯度的積分標量場的梯度是一個無旋場，有斯托克斯定理知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零。第43頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五積分與路徑無關，僅與始點P1和終點P2的位置有關。如果一直一個無旋場，選定一個參考點(P1)，可求出標量場u。 總之，一個標量場，其梯度矢量一定為無旋場，無旋場沿閉合路徑的積分一定為零，故稱無旋場為保守場。第44頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 例1 求數量場 =(x+y)2-z通過

19、點M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點M的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為 或 第45頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 例2 求數量場 在點M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向導數。 解：l方向的方向余弦為 第46頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五而 數量場在l方向的方向導數為 在點M處沿l方向的方向導數 第47頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五證： 因為 例3 設標量函數r是動點M(x, y, z)的矢量 的 模，證明： 第48頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五所以 第49頁，共54頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五 例4 已知位于原點處的點電荷q在點M(x, y, z)處產生的電位為 ，其中矢徑 為 ，且已知電場強度與電位