1、矩陣的標準型第1頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五2.1矩陣的Jordan標準型 一. Cayley-Hamilton定理 第二章 矩陣的Jordan標準型凱萊英 A. Cayley (1821.8-1895.1) 哈密爾頓英 W.R. Hamilton (1805.8-1865.9) 約當法 M.E.C. Jordan (1838.1-1922.1) 第2頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 矩陣的多項式表示定義： 已知 和關于變量 的多項式那么我們稱 為 的矩陣多項式。 化零多項式第3頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 定理2

2、.1. c() = |EAnn| 則c(A) = O. 注: c(A) = |AE A|? |EAnn| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann= n + an1n1 + + a1 + a0 = n tr(A)n1 + + (1)n|A|. 第4頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 c() = n + an1n1 + + a1 + a0 c(A) = An + an1An1 + + a1A + a0E c(A) = O An + an1An1 + + a1A = a0E = A(An1 + an1An2 + + a1E)當A可逆時, a0

3、 = (1)n|A| 0, 于是A1 = 1a0 (An1 + an1An2 + + a1E) A* = |A|A1 = 第5頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五則 c (A)=An+an-1An-1+a0E=0。對于一般的n階矩陣組成的集合，需要取出n2+1個才能保證是線性相關的。但是對于矩陣序列I,A,A2,A3，按順序取到第n+1個時，An一定可以被前面的矩陣線性表出。則 An= -an-1An-1- - a0E第6頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 例1. 已知A = 1 2 2 1 0 3 1 1 2 , 求A100. 解: c() = |E

4、A| = (+1)2(1). 分別將 = 1, 1代入上式得 10099 = (100) 1 = a + b + c, 設100 = c()g() + a2 + b + c, 1 = a b + c. = c()g() + a2 + b + c = c()g() + c()g() + 2a + b 將 = 1代入上式得 100 = 2a + b. 于是可得a = 50, b = 0, c = 49. 第7頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 = 50A2 49E 故A100 = c(A)g(A) + 50A2 49E = 50即100 = c()g() + 502 49,

5、3 0 8 2 1 4 2 0 5 49 0 0 0 49 0 0 0 49 = 199 0 400 100 1 200 100 0 201 . 例1. 已知A = 1 2 2 1 0 3 1 1 2 , 求A100. 第8頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 A = 0 1 1 0 1 0 1 1 2 c() = |EA| = (1)3滿足c(A) = O f() = (1)2 = 22+1滿足f(A) = O. c()的次數為3 f()的次數為2 不存在更低次數的多項式g()使得g(A) = O. A的化零多項式 次數最低, 首項系數為1 例2. 第9頁，共58頁，20

6、22年，5月20日，9點21分，星期五 二. 最小多項式 1. 定義: A的次數最低的最高次項系數為1的 化零多項式稱為A的最小多項式. 2. 性質:(1) A的最小多項式 | A的任一化零多項式. (2) A的最小多項式是唯一的, 記為mA()或簡記為m(). (3) 則m(0) = 0 c(0) = 0. (4) A B mA() = mB(). 但反之未必! 第10頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 21 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2例如: 與 的最小多項式都是(1)2(2),

7、 但是它們的特征多項式分別為 因而這兩個矩陣不相似. (1)3(2)和(1)2(2)2, 第11頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五定理第12頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第13頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第14頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第15頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五定理第16頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第17頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第18頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例第1

8、9頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第20頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第21頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第22頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 推論. 設A, B分別為sn矩陣和nt矩陣, 則r(AB) r(A) + r(B) n. 引理. 設A1, A2, , As都是n階方陣, 且 A1A2 As = O, 則 r(Ai) (s1)n. i = 1s r(A1A2 As) r(A1) +r(A2 As) n r(A1) +r(A2) + r(A3 As) 2n r(A1) +r(A2) +

9、 r(As) (s1)n. 三. 最小多項式與對角化的關系 第23頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 定理3. A相似于對角矩陣 mA()沒有重根. 對角陣的最小多項式沒有重根. 因而 r(iEA) (s1)n, i = 1s 證明: () 相似的矩陣的最小多項式相同; () 設mA() = (1)(2)(s), 則(1EA)(2EA)(sEA) = O, 故 nr(iEA) n. i = 1s 第24頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第25頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第26頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分

10、，星期五定理： 階矩陣 可以對角化的充分必要條件是每一個特征值的代數重數等于其幾何重數。 有 個線性無關的特征向量。綜合第27頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 例3. 若n階方陣A滿足A2 3A + 2E = O, r(AE) = r, 則行列式|A+3E| = _. 解: A2 3A + 2E = O (AE)(A2E) = O 存在可逆矩陣P使得P1AP = |A+3E| = |P1|A+3E|P| Enr O O 2Er 秩(AE) = r = |P1(A+3E)P| = |P1AP +3E| = 4Enr O O 5Er = 4nr5r. 第28頁，共58頁，2

11、022年，5月20日，9點21分，星期五 例4. 求解矩陣方程X2 5X + 6E = O, n階方陣X令r(A3E) = r, 解: f(x)=x2 5x + 6 =(x3)(x2) 為X的零化多項式 存在可逆矩陣P使得P1XP = 2Er O O 3Enr由 X2 5X + 6E = O (A2E)(A3E) = O f(x)=(x3)(x2) 無重因式，故為最小多項式 m(x) 矩陣X的特征值為3和2 ，且X可以相似對角化 2Er O O 3Enr X = P P1 第29頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 例5. 設m階方陣J0為證明: J0特征多項式為 c( )

12、=(- a)m a a a 1 1 a mm O Em-1O O證明: J0必不可以對角化。 J0-aE = = NNk 不等于O， Nm= O 第30頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 四. Jordan標準形 0 0 0 1 1 0 mm m階Jordan塊: 例如: (0 )0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 注: 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 0 = 一階 Jordan塊是一階矩陣 第31頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 J1 J2 Js Jordan形矩陣: 若當塊 例如: 1 0 0 0

13、2 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 3 1 1 0 0 2 0 0 0 3 但 不是Jordan形矩陣. 第32頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五Jordan標準型定理5：設A是n階復矩陣，則必存在可逆矩陣S，使得其中l1,ls是A的互不相同的特征值，而且這個標準型在除去對角塊順序后是唯一的。且第33頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 若A與Jordan形矩陣J相似, 則稱J為A的 Jordan當標準形. 注: J1 O O J2 O E E O O E E O 1 J2 O O J1 = 推論.

14、兩個復方陣相似它們具有相同的 Jordan標準形.推論. 兩個復方陣相似，特征值、秩？第34頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五Jordan矩陣的結構與幾個結論: Jordan塊的個數 k是線性無關特征向量的個數;矩陣可對角化,當且僅當s=n;(3)相應于一個已知特征值 的Jordan塊的個數是該特征值的幾何重數 ,它是相應的特征子空間的維數,相應于一個 的所有Jordan塊的階數之和是該特征值的代數重數 .特征值 的幾何重數 代數重數(4)矩陣不同特征值對應的特征向量線性無關.J的對角元素給出了特征值的信息。第35頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第

15、36頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五推論：則下列命題等價：(3) A 的Jordan標準形中的 Jordan塊都是一階的。第37頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五推論： 階矩陣 可以對角化的充分必要條件是每一個特征值的代數重數等于其幾何重數。 有 個線性無關的特征向量。綜合：第38頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五1, 2, , s A11, , 1q , 1 線性無關 11, , 1q , 21, ,2q , , s1, ,sq 線性無關 1 2 s 2 線性無關 21, , 2q , , s 線性無關 s1, ,sq 相似

16、矩陣P的求法第39頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五定理5： l1,ls是n階復矩陣A的互不相同的特征值，且 (1) 則必存在可逆矩陣S，使得則下面是等價的第40頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 則V 上必然存在一個線性變換T，使得亦即 中必然存在一組基( 個)， 使得T在這組基下的矩陣為第41頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五1, 2, , s A11, , 1q , 1 線性無關 11, , 1q , 21, ,2q , , s1, ,sq 線性無關 1 2 s 2 線性無關 21, , 2q , , s 線性無關 s1,

17、 ,sq 相似矩陣S的求法第42頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五五.Jordan標準型與最小多項式的關系設A是n階復矩陣，則必存在可逆矩陣S，使得其中l1,ls是A的互不相同的特征值，且則A的最小多項式為：第43頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第44頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五六.Jordan標準型的確定 Jordan標準型 的兩個關鍵要素： Jordan塊的階數與塊數波爾曼定理: Jordan標準型唯一性原理第45頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例 P82 例2.3.6, 2.3.7 第46頁

18、，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例 已知矩陣A的特征多項式為求矩陣A的Jordan標準形第47頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五七、方陣A的Jordan 標準形的求法求可逆矩陣S和Jordan矩陣JA ，使AS=SJA分析方法： 在定理5的基礎上逆向分析矩陣JA 和S的構成。求法與步驟：矩陣A和JA的特征值相等細分矩陣Pi 和 Ji，在Jordan塊上，有 Jordan塊的確定按照波爾曼定理第48頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五Jordan鏈，y2，ynj特征向量廣義特征向量鏈條中的向量合起來構成可逆矩陣S，Jordan塊構成

19、JA可逆矩陣S不唯一， JA不考慮次序是唯一的第49頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例第50頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第51頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第52頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第53頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例9 證明：若A的所有特征值是l1,ln，則Am的所有特征值是l1m,lnm。第54頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五第55頁，共58頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五 例10.設A = . 1a a 0 a 1+a b 0 0 1 (1) 求A的特征值和所有可能的Jordan標準形. 解: |E A| = (1)3.由此可得A的特征值為1 = 2 = 3 =