1、2017年考研數學一真題及答案分析跨考教育數學教研室一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定地點上.1cosx0在x（1）若函數f(x)ax,x0處連續，則（）b,x0【答案】A【分析】lim1cosx1x1,Qf(x)在x11.選A.lim20處連續babx0axx0ax2a2a2（2）設函數f(x)可導，且f(x)f(x)0，則（）【答案】C【分析】Qf(x)f(x)0,f(x)0f(x)0f(x)(1)或f(x)(2)，只有C選項滿足(1)且滿足00(2)，所以選C。（3）函數f(x,y,z)x2yz2在

2、點(1,2,0)處沿向量u1,2,2的方導游數為（）【答案】D【解析】gradf2xy,x2,2z,gradf(1,2,0)4,1,0fgradfu4,1,01,2,22.u|u|333選D.（4）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前面10（單位：m）處，圖中實線表示甲的速度曲線vv1(t)（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線vv2(t)，三塊暗影部分面積的數值挨次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為t0（單位：s），則（）【答案】Bt0t0【分析】從0到t0這段時間內甲乙的位移分別為v1(t)dt,v2(t)dt,則乙要追上甲，00則t0，當t025時滿足，應選C.v2(t)v1(

3、t)dt100（5）設是n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則（）【答案】A【分析】選項A,由(ET)0得(ET)x0有非零解，故ET0。即ET不行逆。選項B,由r(T)1得T的特色值為n-1個0，1.故ET的特色值為n-1個1，2.故可逆。其余選項近似理解。200210100（6）設矩陣A021,B020,C020,則（）001001002【答案】B【分析】由(EA)0可知A的特色值為2,2,1100因為3r(2EA)1，A可相似對角化，且A020002由EB0可知B特色值為2,2,1.因為3r(2EB)2，B不行相似對角化，明顯C可相似對角化，AC，且B不相似于C（7）設A,B為隨機概率，若

4、0P(A)1,0P(B)1，則P(AB)P(AB)的充分必要條件是（）【答案】A【分析】依據條件概率定義睜開，則選項吻合題意。（8）設X1,X2Xn(n2)為來自整體N(,1)的簡單隨機樣本，記1nXXi，則ni1以下結論中不正確的選項是（）【答案】B【分析】因為找不正確的結論，故B吻合題意。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定地點上.(9)已知函數f(x)11，則f(3)(0)=_x2【答案】f(0)6【分析】(10)微分方程y2y3y0的通解為y_【答案】yex(c1cos2xc2sin2x)，（c1,c2為任意常數）【分析】齊次特色方程為223012i1,2

5、故通解為ex(c1cos2xc2sin2x)(11)若曲線積分xdxaydy在地域D(x,y)|x2y21內與路徑沒關，則Lx2y21_【答案】a1【分析】P2xy2,Q2axy,由積分與路徑沒關知y(x2y2x(x2y221)1)PQyxa1(12)冪級數(1)n1nxn1在區間(1,1)內的和函數S(x)_n1【答案】s(x)112x【分析】(1)n1nxn1(1)n1xnx1n1n11x(1x)2101（13）設矩陣A112，1,2,3為線性沒關的3維列向量組，則向量組011A1,A2,A3的秩為_【答案】2【分析】由1,2,3線性沒關，可知矩陣1,2,3可逆，故rA1,A2,A3rA1

6、,2,3rA再由rA2得rA1,A2,A32（14）設隨機變量X的分布函數為F(x)0.5(x)0.5(x4)，此中(x)為標準2正態分布函數，則EX_【答案】2【分析】F(x)0.5(x)0.5(x4)，故EX0.5x(x)dx0.5x(x4)dx22x422x(x)dxEX0。令，則2tx(x4)dx=242t(t)dt814t(t)dt82所以E(X)2.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定地點上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設函數f(u,v)擁有2階連續偏導數，yf(ex,cosx)，求dyd2ydxx0，dx2x0【答案】d

7、y(1,1),d2y(1,1),dxxf1dx2f110 x0【分析】結論：（16）（本題滿分nkln1k10分）求limn2nn1k【答案】14【分析】（17）（本題滿分10分）已知函數y(x)由方程x3y33x3y20確立，求y(x)的極值【答案】極大值為y(1)1，極小值為y(1)0【分析】兩邊求導得：3x23y2y33y0（1）令y0得x1對（1）式兩邊關于x求導得6x6y20（2）y3y2y3y將x1代入原題給的等式中，得x1orx1，y1y0將x1,y1代入（2）得y(1)10將x1,y0代入（2）得y(1)20故x1為極大值點，y(1)1；x1為極小值點，y(1)0（18）（本題

8、滿分10分）設函數f(x)在區間0,1上擁有2階導數，且f(1)0,limf(x)0，證明：xx0()方程f(x)0在區間(0,1)內最少存在一個實根；()方程f(x)f(x)(f(x)20在區間(0,1)內最少存在兩個不一樣實根。【答案】【分析】（I）f(x)二階導數，f(1)0,limf(x)x0 x0解：1）因為limf(x)0，依據極限的保號性得xx00,x(0,)有f(x)0，即f(x)0 x從而x0(0,)有f0又因為f(x)二階可導，所以f(x)在0,1上必連續那么f(x)在,1上連續，由f()0,f(1)0依據零點定理得：最少存在一點(,1)，使f()0，即得證（II）由（1）

9、可知f(0)0，(0,1),使f()0，令F(x)f(x)f(x)，則f(0)f()0由羅爾定理(0,),使f()0，則F(0)F()F()0，對F(x)在(0,),(,)分別使用羅爾定理：1(0,),2(,)且1,2(0,1),12，使得F(1)F(2)0，即F(x)f(x)f(x)20在(0,1)最少有兩個不一樣實根。f(x)得證。（19）（本題滿分10分）設薄片型物體S是圓錐面zx2y2被柱面z22x割下的有限部分，其上任一點的密度為9x2y2z2。記圓錐面與柱面的交線為C()求C在xOy平面上的投影曲線的方程；()求S的M質量。【答案】64【分析】（1）由題設條件知，C的方程為zx2y

10、2x2y22xz22x則C在xoy平面的方程為x2y22xz0（2）（20）（本題滿分11分）設3階矩陣A1,2,3有3個不一樣的特色值，且3122。()證明r(A)2；()若123，求方程組Ax的通解。11【答案】（I）略；（II）通解為k21,kR11【分析】（I）證明：由3122可得12230，即1,2,3線性相關，所以，A1230，即A的特色值必有0。又因為A有三個不一樣的特色值，則三個特色值中只有1個0，別的兩個非0.1且因為A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為2,1200r(A)r()2（II）由（1）r(A)2，知3r(A)1，即Ax0的基礎解系只有1個解向量，111由12230

11、可得1,2,32A20，則Ax0的基礎解系為2，111111又123，即1,2,31A1，則Ax的一個特解為1，11111綜上，Ax的通解為k21,kR11（21）（本題滿分11分）設二次型f(x1,x2,x3)2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交變換XQY下的標準型1y122y22，求a的值及一個正交矩陣Q111326【答案】a2;Q102,fxQy3y126y2236111326【分析】214f(x1,x2,x3)XTAX，此中A11141a因為f(x1,x2,x3)XTAX經正交變換后，獲得的標準形為1y122y22，214故r(A)2|A|01110a2，41a2

12、14將a2代入，滿足r(A)2，所以a2吻合題意，此時A111，則412214|EA|111013,20,36，4121由(3EA)x0，可得A的屬于特色值-3的特色向量為由(6EA)x0，可得A的屬于特色值6的特色向量為由(0EA)x0，可得A的屬于特色值0的特色向量為31；1101121令P1,2,3，則P1AP6，因為1,2,3相互正交，故只要單位化0即可：則Q111,1,1T,211,0,1T,311,2,1T,，3261113263121230，QTAQ6360111326（22）（本題滿分11分）設隨機變量X,Y互相獨立，且X的概率分布為，P(X0)P(X2)1，Y的概率密度為f(

13、y)2y0y120,其余()求P(YEY)()求ZXY的概率密度。【答案】(I)PYEY4;(II)z,0z1fZ(z)2,2z39z【分析】（1）當z0,z20，而z0，則Fz(Z)0（2）當z21,z1,即z3時，Fz(Z)1（3）當0z1時，Fz(Z)1z22（4）當1z2時，Fz(Z)12（5）當2z3時，Fz(Z)11(z2)2220z01z2,0z121,1z2所以綜上Fz(Z)211(z2)2,2z3221,z3所以fz(Z)z0z1Fz(Z)z22z3（23）（本題滿分11分）某工程師為認識一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次丈量，該物體的質量是已知的，設n次丈量結果X1,X2Xn互相獨立且均遵從正態分布N(,2)。該工程師記錄的是n次丈量的絕對偏差ZiXi(i1,2,n)，利用Z1,Z2Zn預計。()求Zi的概率密度；()利用一階矩求的矩預計量【答案】【分析】()Fz(z)P(Ziz)P(Xiz)i當z0,Fzi(z)0當z0,Fz(z)P(zXiz)P(zXiz)FX(z)F(z)i當z0時，z222e2綜上fzi(z),z020,z0令