1、二次函數的應用一二次函數的實際應用(教材P51探究3)圖1中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2 m時，水面寬4 m水面下降1 m圖1教材母題答圖解：以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系(如圖)，可設這條拋物線表示的二次函數為yax2.由拋物線經過點(2，2)，可得2a22，aeq f(1,2).這條拋物線表示的二次函數為yeq f(1,2)x2.當水面下降1 m時，水面的縱坐標為y由y3解得x1eq r(6)，x2eq r(6)，所以此時水面寬度為2e所以水面寬度增加(2eq r(6)4)m.【思想方法】 建模：把問題中各個量用兩個變量x，y來表示，并建立兩種量的二次函數關系

2、，再求二次函數的最大(小)值，從而解決實際問題應用最多的是根據二次函數的最值確定最大利潤，最節省方案等問題注意：建立平面直角坐標系時，遵從就簡避繁的原則，這樣求解析式就比較方便某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖2所示(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，求該拋物線對應的函數解析式；(2)某卡車空車時能通過此隧道，現裝載一集裝箱，集裝箱寬3 m，車與集裝箱共高4.5 m圖2解：(1)設拋物線對應的函數解析式為yax2拋物線的頂點為原點，隧道寬6 m，高5 m，矩形的高為2 所以拋物線過點A(3，3)，代入得39a解得aeq f(1,3)所以函數

3、關系式為yeq f(x2,3).(2)如果此車能通過隧道，集裝箱處于對稱位置，將x1.5代入拋物線方程，得y0.75，此時集裝箱上部的角離隧道的底為50.754.25米，不及車與集裝箱總高4.5米，即4.254.5.所以此車不能通過此隧道如圖3，排球運動員站在點O處練習發球，將球從點O正上方2 m的A處發出，把球看成點，其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式ya(x6)2h.已知球網與點O的水平距離為9 m，高度為2.43 m，球場的邊界距點O的水平距離為(1)當h2.6時，求y與x的關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)(2)當h2.6時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明

4、理由；(3)若球一定能越過球網，又不出邊界，求h的取值范圍圖3解：(1)h2.6，球從點O正上方2 m的A處發出ya(x6)2h過點(0，2)，2a(06)22.6，解得：aeq f(1,60)，故y與x的關系式為yeq f(1,60)(x6)22.6，(2)當x9時，yeq f(1,60)(x6)22.62.452.43，所以球能越過球網；當y0時，eq f(1,60)(x6)22.60，解得：x162eq r(39)18，x262eq r(39)(舍去)故會出界；(3)當球正好過點(18，0)時，ya(x6)2h還過點(0，2)，代入解析式得：eq blc(avs4alco1(236ah，

5、,0144ah，)解得：eq blc(avs4alco1(af(1,54)，,hf(8,3)，)此時二次函數解析式為：yeq f(1,54)(x6)2eq f(8,3)，此時球若不出邊界則heq f(8,3)，當球剛能過網，此時函數圖象過(9，2.43)，ya(x6)2h還過點(0，2)，代入解析式得：eq blc(avs4alco1(2.43a（96）2h，,2a（06）2h，)解得：eq blc(avs4alco1(af(43,2700)，,hf(193,75)，)此時球要過網則heq f(193,75)，eq f(8,3)eq f(193,75)，heq f(8,3)，故若球一定能越過球

6、網，又不出邊界，h的取值范圍是heq f(8,3).二二次函數的綜合應用(教材P47習題22.2第4題)拋物線yax2bxc與x軸的公共點是(1，0)，(3，0)，求這條拋物線的對稱軸解：解法一：點(1，0)，(3，0)的縱坐標相等，這兩點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，這條拋物線的對稱軸是xeq f(（1）3,2)1.解法二：函數yax2bxc的圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程ax2bxc0的兩根x1，x2，x1x2eq f(b,a)(1)32，這條拋物線的對稱軸是xeq f(b,2a)1.【思想方法】 (1)二次函數的圖象是拋物線，是軸對稱圖形，充分利用 拋物線的軸對稱性是研究二次函數的

7、性質的關鍵；(2)已知二次函數圖象上幾個點的坐標，一般用待定系數法直接列方程(組)求解；(3)已知二次函數圖象上的一個點(除頂點外)和對稱軸，便能確定與此點關于對稱軸對稱的另一個點的坐標2012南通改編如圖4，經過點A(0，4)的拋物線yeq f(1,2)x2bxc與x軸相交于B(2，0)，C兩點，O為坐標原點圖4(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線yeq f(1,2)x2bxc向上平移eq f(7,2)個單位長度，再向左平移m(m0)個單位長度得到新拋物線若新拋物線的頂點P在ABC的內部，求m的取值范圍解：(1)點A(0，4)，B(2，0)在拋物線yeq f(1,2)x2bxc上，eq b

8、lc(avs4alco1(c4，,22bc0，)解得eq blc(avs4alco1(b1，,c4，)拋物線的解析式為yeq f(1,2)x2x4.(2)將拋物線yeq f(1,2)x2x4eq f(1,2)(x1)2eq f(9,2)向上平移eq f(7,2)個單位長度，再向左平移m(m0)個單位長度后，得到的新拋物線的頂點P的坐標為(1m，1)設直線AB的解析式為ykxb，則eq blc(avs4alco1(b4，,2kb0，)解得eq blc(avs4alco1(k2，,b4，)y2x4，當y1時，xeq f(3,2)；同理求得直線BC的解析式為yx4，當y1時，x3.新拋物線的頂點P在

9、ABC的內部，eq f(3,2)1m0，解得0meq f(5,2).如圖5，已知拋物線yax2bxc(a0)的圖象經過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為(3，eq r(3)(1)求該拋物線的函數關系式及點A的坐標；(2)在拋物線上求點P，使SPOA2SAOB；圖5解：(1)拋物線的頂點為B(3，eq r(3)，設拋物線的函數關系式為ya(x3)2eq r(3).拋物線經過原點(0，0)，0a(03)2eq r(3)，aeq f(r(3),9)，yeq f(r(3),9)(x3)2eq r(3)，即拋物線的函數關系式為yeq f(r(3),9)x2eq f(2r(3),3)x.令y0，得eq f(r(3),9)x2eq f(2r(3),3)x0，解得x10，x26，點A坐標為(6，0)(2)如圖，AOB與POA同底不同高，且SPOA2SAOB，POA中OA邊上的高是AOB中