1、第3章 隨機向量及其分布隨機向量的概念及其分布函數二維離散型隨機向量二維連續型隨機向量隨機變量函數的分布引言天氣預報股票價格 大量的實際問題，隨機試驗的結果往往不能用一個數量指標來記錄。例如：某天下午收盤前五分鐘上證綜合指數3.1 隨機向量的概念及其分布類似于一維隨機變量的定義：定義3.1.1定義 3.1.2(x1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)yx(x1,x2) 定理3.1.1 中的性質(i)-(iv) 為隨機向量分布函數的特征性質,也被稱為柯爾莫戈洛夫定理.邊緣分布3.1.2 隨機變量的獨立性定義 3.1.3定義 3.1.43.2 二維離散型隨機向量 若隨

2、機向量(,) 所有可能取值是可數多對(xi，yj)(i，j=1,2, )，則稱(,)是二維離散型隨機變量； 設 P=xi,=yj=pij ， (i，j=1,2, ) 則pij (i，j=1,2, )稱為(,)的(聯合)概率分布列。3.2.1 二維離散型隨機向量聯合分布列與邊緣分布列(,)的分布列常用下面的表格給出根據pij的定義，立即得出它們具有下列兩性質：(1)(2)例解 設箱中有10個球，其中有3個紅球，5個白 球，2個黑球；從中任意抽取4個, 取隨機變量X為紅球數目，Y為白球數目。求(X,Y)的聯合分布。X Y0123400010/21020/2105/2101015/21060/210

3、30/210023/21030/21030/2100032/2105/21000018 設(,)的聯合分布列為P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，則(,)關于的邊緣分布列有 例（三項分布）設隨機試驗只有A,B和C三個結果 ，各結果出現的概率分別為p，q和1-p-q. 現將該隨機試驗獨立地做n次，記X和Y分別為n次試驗中A和B發生的次數，試求(X,Y)的聯合分布和邊緣分布.解: (X,Y)的分布列為對于離散型隨機向量，當p.j0時，稱為=yj條件下的條件分布列。3.2.2 離散型隨機變量的條件分布當pi.0時，在=xi條件下的條件分布列類似地 例 在整數15中任取一數，(1

4、)取后放回去再取另一數。(2)取后不放回去再取另一數。 在這兩種情況下分別求(,)的聯合分布列、邊緣分布列、P=2。解: 3.3 二維連續型隨機向量定義 3.1.4 對于隨機向量(,)，若存在函數f(x,y)0 (x、yR) ，使得(,)的分布函數 則稱(,) 是二維連續型的隨機向量；f(x,y) 稱為(,)的分布密度函數。密度函數f(x,y)具有以下性質：（）f(x,y) 0；（） ；（）若f(x,y)在點(x,y)處連續，則（）若是xoy平面內的任一區域，則二維均勻分布設二維隨機變量 的概率密度為 上服從均勻分布.在，則稱是平面上的有界區域，其面積為其中 例 3.3.3 在某一分鐘內的任何

5、時刻，信號進入收音機是等可能的。若收到兩個相互獨立的信號的時間間隔小于.秒，則信號相互干擾。求：兩信號相互干擾的概率。解 把一分鐘取作區間0，1，設兩信號進入收音機的時刻分別為、（單位：分）、相互獨立，所以(,)的聯合分布密度如下：D二維連續型隨機變量的邊緣密度 關于X的邊緣分布密度函數為 關于Y的邊緣分布密度函數為 設f(x,y)為二元隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數。如果我們現在只想考察隨機變量X或Y各自的情況，如何處理？二維連續型隨機變量的邊緣分布 的邊緣分布函數為 關于 的邊緣分布函數為 關于 例 設（X, Y）的聯合分布密度為求k值和兩個邊緣分布密度函數解由 得 當 時 關于X的

6、邊緣分布密度為 113所以，關于X的邊緣分布密度為 當 時 113所以，關于Y的邊緣分布密度為 當 時 當 時 關于Y的邊緣分布密度為 邊緣分布密度和概率的計算例設（X, Y) 的聯合分布密度為 （1）求k值（2） 求關于X和Y的邊緣分布密度函數（3）求概率P(X+Y1/2)(2)均勻分布解 (1)由 得 當 時-11當 時 所以，關于X的邊緣分布密度函數為 -11續解 . -11解 當 時當 時 所以，關于Y的邊緣分布密度函數為 解 （3） 例：如果二維隨機變量（X，Y）服從正態分布 分別積分，可得兩個邊緣分布密度函數為： 即其聯合分布密度函數為： 即兩個邊緣分布分別服從正態分布 與相關系數

7、 無關 可見，聯合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯合分布例 設（X，Y）的聯合分布密度函數為 求關于X，Y的邊緣分布密度函數 。 解 關于X的分布密度函數為 所以， 同理可得 不同的聯合分布，可有相同的邊緣分布。可見，聯合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯合分布 例3.3.4 （二元正態分布）函數其中1,2,1,2,為常數；且1 0,2 0, 0,x1 ，求 P(,)D。 解: （）由二維分布函數性質，得由以上三式可得到 （） (,)的分布密度 （） 例2 已知二維隨機向量（，）的密度為 試確定k的數值，并求(,)落在區域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率、邊緣分布密度

8、函數及獨立性。解: (1)由概率密度性質，知 y=xy=x211 例 3(選講) 設(,)在橢圓 所圍成的區域上服從均勻分布。即其聯合密度為求它的邊緣密度函數。 解 (1)當xa時，(2)當xa時，同理，可得關于的邊緣密度例 4(選講) (,)服從參數為1，2，1，2，的二元正態分布,證明、相互獨立的充要條件是0。證 因為， 充分性 若=0 ，則對任意實數x，y有 即、相互獨立。 必要性 若、相互獨立，則對任意實數x，y有取x=1，y=2時上式也成立，此時上式化為從而得到r=0。例5(選講) 設（X，Y）的聯合分布密度函數為 求關于X，Y的邊緣分布密度函數 解: 關于X的分布密度函數為 所以，

9、 同理可得 不同的聯合分布，可有相同的邊緣分布。 可見，聯合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯合分布設二維隨機向量的分布密度函數為 (1) 確定常數 k； (2) 求的分布函數； . (4) 求例70(1)所以 解 71(2)當 時，當 時，所以，72(3)4 1或解 73(4)74224例 已知二維隨機向量（X，Y）的分布密度為 求概率 解 175續解 .x+y=3 76 思考 已知二維隨機向量（X，Y）服從區域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區域。求（1）分布函數；（2） 解 （X,Y）的密度函數為 1）當 時，分布函數為 77y=2x+1 -1/2

10、2）當 時，78，y=2x+1 -1/2 3）當 時，79所以，所求的分布函數為 800.5y=2x+1 -1/2 （2）813.3.2 二維連續型隨機變量的條件密度函數類似地，的條件分布函數及條件密度函數為綜上所述 例 1設(,)的密度函數為解例 2解由此可知由此可知例：設（X, Y）的聯合密度為求：113解：先求第一步，求y的邊緣密度函數， 第二步，再求條件密度函數， 對于有：故條件密度函數為第一步，求x的邊緣密度函數， 第二步，再求條件密度函數， 對于有：再求故條件密度函數為思考如果二維隨機向量（X，Y）服從正態分布 即其聯合分布密度函數為： 求相應的兩個條件密度函數。故在Y=y發生的條

11、件下X的條件分布為思考 已知二維隨機向量（X，Y）的分布密度為 求概率 2241解答 二維隨機變量的相互獨立性 特別，對于離散型隨機變量，該定義等價于 定義 設（X，Y）的聯合分布函數為F(x,y)，兩個邊緣分布函數分別為FX(x),FY(y)，如果對于任意的x,y都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱隨機變量X，Y相互獨立。對任意i,j 對任意x,y 對于連續型隨機變量，該定義等價于 在實際問題或應用中，當X的取值與Y的取值互不影響時，我們就認為X與Y是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用. 在X與Y是相互獨立的前提下，邊緣分布可確定聯合分布！實際意義補充說明設（X，Y）的概率分

12、布（律）為證明：X、Y相互獨立。例逐個驗證等式 2/5 1/5 2/5 p j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx證 X與Y的邊緣分布律分別為故X、Y相互獨立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y例：設箱中有10個球，其中有3個紅球，5個白 球，2個黑球；從中任意抽取4個, 取隨機變量X為紅球數目，Y為白球數目。判斷X,Y是否獨立。 Y X01234P00010/21020/2105/21035/2101015/

13、21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101例：設（X, Y）的聯合分布密度為判斷X，Y是否獨立。113解：已求得邊緣密度為從而： f(x,y)= fX(x) fY(y)故X,Y相互獨立例 已知二維隨機向量（X，Y）服從區域D上的均勻分 布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區 域。判斷X，Y是否獨立。 解 ：（X,Y）的分布密度函數為 當 時，所以，關于X的邊緣分布密度為 關于X的邊緣分布密度為 當 或 時當 時，所以，關于Y的

14、邊緣分布密度為 關于Y的邊緣分布密度為 當 或 時所以 所以，X與Y不獨立。 3.4 隨機向量函數的分布 離散型隨機向量和函數的分布 設 (,)的布律為P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，） 令=+則取值為0,1,2, ,特別地，當,獨立時，有故例 1 設 的聯合分布列為 求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列 Y X-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12解: 由（X，Y）的聯合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253

15、-3-2-1-15/4-11/457解得所求的各分布列為 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12例 2 證明：如果X與Y相互獨立，且XB（n,p）， YB（m,p），則X+YB（n+m,p）證明 X+Y所有可能取值為 0，1，,m+n. 證畢 記 住 結 論！兩個獨立隨機變量的和的分布如果X與Y相互獨立二維連續型隨機變量的函數的分布設 是二

16、維連續型隨機變量,其聯合分布密度為 則 是一維的連續型隨機變量 其分布函數為 是二元連續函數，其分布密度函數為 一般而言很難求得分布或密度函數的顯式表達式只考慮兩個隨機變量的和這一最簡單情形兩個隨機變量的和的分布 如果（X，Y）的聯合分布密度函數為 f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度函數為 或 特別，當X，Y相互獨立時，有卷積公式 或 連續型隨機向量和函數的分布設(X,Y)的聯合密度為f(x,y)令Z=X+Y卷積公式也可表為：卷積公式例 1 設二維隨機變量（X, Y）的概率密度為求隨機變量 Z=X+2Y 的分布密度函數解例 2 設二維隨機變量（X, Y）的概率密度為求隨機變量 Z=X+2Y 的分布函數解 所求分布函數為 分布密度函數為 例 3 設,是相互獨立的服從N(0,1)的隨機變量，求 的密度函數。 解N(0,2)例 證明：如果X與Y相互獨立，且XB（n,p）， YB（m,p），則X+YB（n+m,p）證明 X+Y所有可能取值為 0，1，,m+n. 證畢 例 設二維隨機變量（X, Y）的概率密度為求隨機變量 Z=X+