1、3.2.1 單調性與最大（小）值單調性 前面學習了函數的定義和表示法，知道函數 描述了客觀世界中變量之間的一種對應關系. 這樣，我們就可以通過研究函數的變化規律來把握客觀世界中事物的變化規律. 因此，研究函數的性質，如隨著自變量的增大，函數值是增大還是減小，有沒有最大值或最小值，函數圖象有什么特征等，是認識客觀規律的重要方法. 我們知道，先畫出函數圖象，通過觀察和分析圖象的特征，可以得到函數的一些性質. 觀察下圖中的各個函數圖象，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些性質嗎？ 在初中，我們利用函數圖象研究過函數值隨自變量的增大而增大（或減小）的性質，這一性質叫做函數的單調性. 下面進一步用符號語

2、言刻畫這種性質. 先研究二次函數的單調性. 圖象在 y 軸左側部分從左到右是下降的，也就是說當x0時，y 隨 x 的增大而減小. 用符號語言描述就是：這時我們就說，函數 在區間 上是單調遞減的. 畫出它的圖像（如圖3.2-2），可以看到：你能說明為什么 嗎？ 在初中，我們利用函數圖象研究過函數值隨自變量的增大而增大（或減小）的性質，這一性質叫做函數的單調性. 下面進一步用符號語言刻畫這種性質. 先研究二次函數的單調性. 圖象在 y 軸右側部分從左到右是上升的，也就是說當x0時，y 隨 x 的增大而增大. 用符號語言描述就是：這時我們就說，函數 在區間 上是單調遞增的. 畫出它的圖像（如圖3.2

3、-2），可以看到：你能說明為什么 嗎？思考：函數 各有怎樣的單調性？（1） 的圖象如圖（1）所示， 圖象在 y 軸左側部分從左到右是下降的，也就是說當x0時，y 隨 x 的增大而減小.用符號語言描述就是：所以，函數 在區間 上是單調遞減的.類似地，函數 在區間 上是單調遞增的.（2） 的圖象如圖（2）所示， 圖象在 y 軸左側部分從左到右是下升的，也就是說當x0時，y 隨 x 的增大而增大.用符號語言描述就是：所以，函數 在區間 上是單調遞增的.類似地，函數 在區間 上是單調遞減的.函數單調性與單調區間的定義一般地，設函數 f（x）的定義域為 I ，區間 特別地，函數 f（x）在它的定義域上單

4、調遞增時，我們就稱它是增函數. 特別地，函數 f（x）在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數. 如果函數 y=f（x）在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數 y=f（x）在這個區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做 y=f（x）的單調區間.思考（1）設 A 是區間 D 上某些自變量的值組成的集合，而且 都有 我們能說函數 f（x）在區間 D 上單調遞增嗎？你能舉例說明嗎？（2）函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增，但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎?（1）不能. 例如函數（2）函數 在定義域R上單調遞增.函數 的圖象如圖所示，f(x)在 上單調遞增，在 上單調遞減.例1 根據定義，研究函數 的單調性.分析：根據函數單調性的定義，需要考察當 時， 還是 根據實數大小關系的基本事實，只要考察 與0的大小關系.解：函數 的定義域是R. 當k0時， 于是這時， 是增函數 .當k0時， 的圖象如圖（1）；當k0時， 的圖象如圖（2）.所以，當k0時，函數 在區