1、初一5班 第X小組組長：王栩晨組員：唐天婧、馮若斯、 李潔鈺、李卓亭、胡天寒自相似的藝術分形在開講之前先給大家看一個有趣的東東分形CANTOR集 （簡稱C集）如圖，將這條長度為1的線段截去中間的1/3，再將剩下的2/3各截去1/3，再將剩下的4/9各截去1/3，如此無限循環經過無限次截取的剩余部分就是Cantor集CANTOR集長度求和由于C集是由長度為1的線段所截得，所以求和就用1減去截去的總長度。CANTOR集長度求和其實，C集并非是空的。仔細觀察，這個過程卻有很重要的東西被剩下，因為重復地消除只是中間的1/3開集（這個集合不包含它的端點）。從最初的線段中除去1/3，而兩個端點（1/3處和

2、2/3處）被留下。隨后的操作，不移動這些端點，因為被移除的部分總是在剩余部分的內部。所以，C集是由無限多個點構成的。分形是什么？“分形”這個詞是由英文的“fractal”所譯的，它的原意是“不規則的、分數的、支離破碎的”。分形這個詞是美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學數學教授曼德勃羅特（Benoit B.Mondelbrot）在1975年的時候首次提出和創造的。分形理論僅僅出現了30年左右，卻發展飛速，在幾何學、生物學、計算機學、哲學、物理學和哲學等領域做出了不小的貢獻。分形的定義分形是指某種事物滿足以下的條件：一、分形的事物具有自相似性也就是說，分形圖形的每個細小的部分經過放大后就

3、會呈現出與這個整體形態相似甚至完全重合的圖形，并且結構復雜，它所具有的不規則性以至于讓傳統歐式幾何的語言難以描述。分形的定義分形還有另一個重要的特征：二、分形的事物具有標度不變性所謂標度不變性，就是指在分形上任選一局部區域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態特性。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態、復雜程度、不規則性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。M集 原圖123M集 局部放大26萬倍M集 放大100萬倍所以。在描述分形圖形所具有的自相似性和標度不變性時，通俗一點說，如果用一只放大鏡來觀察一個分形，無論放大倍數如何變化，看到的情形都是相似的，從

4、觀察到的圖象中無法判斷所用放大鏡的倍數。可見，分形的構造是如此之精密啊。當然，分形圖形并不只是在經過復雜的計算和研究之后才會出現在我們眼前。其實分形在我們的日常生活中也無處不在。大自然的分形學大自然中的分形物體并不像在幾何學中的那樣嚴格，但卻實擁有自相似性，有許多這樣的物體也正是歐式幾何學所無法描繪的。比如隨處可見的大樹：一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構成形式上完全相似。又會發現該樹枝上分叉長出來的更小的細枝條，仍具有大樹構成的特點。當然，這只能是在一定尺度上呈現相似性，不會無限擴展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現出明顯的自相似性。再仔細觀察樹葉的葉脈，也可以發現類似的自相似結構。在剛才，分形圖形在你的眼中也許僅僅是一幅美麗的圖案。但現在，也許一個簡單的分形圖形就可以新發你的深思神奇數學，夢幻