1、相似三角形性質及判斷知識點總結經典題型總結相似三角形性質及判斷知識點總結經典題型總結相似三角形性質及判斷知識點總結經典題型總結中考要求相似三角形的性質及判斷板塊考試要求A級要求B級要求C級要求相似三角形認識相像三角形掌握相似三角形的見解，判斷及性質，以及掌會運用相似三角形有關的握有關的模型知識解決有關問題知識點睛一、相似的有關見解1相似形擁有同樣形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀同樣，大小不用然同樣相似圖形之間的相互變換稱為相似變換2相似圖形的特色兩個相似圖形的對應邊成比率，對應角相等3相似比兩個相似圖形的對應角相等，對應邊成比率二、相似三角形的見解1相似三角形的定義對應角相等，對應邊成比率的

2、三角形叫做相似三角形如圖，ABC與ABC相似，記作ABCABC，符號讀作“相似于”2相似比相似三角形對應邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是形”不用然是“全等形”1“全等三角形”必定是“相似形”，“相似三、相似三角形的性質1相似三角形的對應角相等如圖，ABC與ABC相似，則有AA，BB，CC2相似三角形的對應邊成比率ABC與ABC相似，則有ABBCACABBCk（k為相似比）AC3相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的均分線成比率，都等于相似比如圖1，ABC與ABC相似，AM是ABC中BC邊上的中線，AM是ABC中BC邊上的中線，則有ABBCACkAM（k為相似比）ABBCACAM圖1如圖

3、2，ABC與ABC相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH是ABC中BC邊上的高線，則有ABBCACkAH（k為相似比）ABBCACAH圖2如圖3，ABC與ABC相似，AD是ABC中BAC的角均分線，AD是ABC中BAC的角平分線，則有ABBCACkAD（k為相似比）ABBCACAD圖34相似三角形周長的比等于相似比如圖4，ABC與ABC相似，則有ABBCACk（k為相似比）應用比率的等比性質有ABBCACABBCACABBCACkABBCACABBCAC圖45相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖5，ABC與ABC相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH是ABC中BC邊上的高線，SABC1B

4、CAHBCAH則有ABBCACAH（k為相似比）從而可得22kABBCACAHSABC1kBCAHBCAH2圖5四、相似三角形的判斷1平行于三角形一邊的直線和其余兩邊（或兩邊的延伸線）訂交，所組成的三角形與原三角形相似2假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似可簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似3假如一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比率，而且夾角相等，那么這兩個三角形相似4假如一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應成比率，那么這兩個三角形相似可簡單地說成：三邊對應成比率，兩個三角形相似5假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜

5、邊和一條直角邊對應成比率，那么這兩個直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分紅的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7假如一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；假如它們的腰和底對應成比率，那么這兩個等腰三角形也相似五、相似證明中的比率式或等積式、比率中項式、倒數式、復合式證明比率式或等積式的主要方法有“三點定形法”1橫向定型法欲證ABBC，橫向察看，比率式中的分子的兩條線段是AB和BC，三個字母A，B，C恰為ABC的頂BEBFBE和BF，三個字母B，E，F恰為BEF的三個極點所以只要證ABCEBF點；分母的兩條線段是2縱向定型法欲證ABDE，縱向察看

6、，比率式左側的比AB和BC中的三個字母A，B，C恰為ABC的極點；右側的BCEF比兩條線段是DE和EF中的三個字母D，E，F恰為DEF的三個極點所以只要證ABCDEF3中間比法因為運用三點定形法經常會遇到三點共線或四點中沒有同樣點的狀況，此時可考慮運用等線，等比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法找尋相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比率式時，常用到中間比比率中項式的證明，平常波及到與公共邊有關的相似問題。這種問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結論要嫻熟掌握和透辟理解倒數式的證明，經常需要先進行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個比值和的形式，此后比較值進行等量代換，從而證明

7、之復合式的證明比較復雜平常需要進行等線代換（對線段進行等量代換），等比代換，等積代換，將復合式轉變為基本的比率式或等積式，此后進行證明六、相似證明中常有協助線的作法在相似的證明中，常有的協助線的作法是做平行線結構成比率線段或相似三角形，要證明的結論常有的等量代換包含等線代換、等比代換、等積代換等同時再聯合等量代換獲得如圖：AD均分BAC交BC于D，求證：BDABDCAC證法一：過C作CEAD，交BA的延伸線于1E，2312，3EACAEEADCE，BDBABADCBEAC談論：做平行線結構成比率線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過B作AC的平行線，交AD的延伸線于E12E，ABBEBEA

8、C，BDBEABDCACAC談論：做平行線結構成比率線段，利用了“X”型圖的基本模型七、相似證明中的面積法面積法主假如將面積的比，和線段的比進行相互轉變來解決問題常用的面積法基本模型以下：SABC1BCAHBC如圖：2SACD1CDAHCD2如圖：SABC1BCAHAHAO2SBCD1BCDGDGOD2如圖：SABDSABDSAEDABADABADSACESAEDSACEAEACAEAC八、相似證明中的基本模型例題精講一、與三角形有關的相似問題【例1】如圖，在ABC中，ACAB，點D在AC邊上，若在增添一個條件就能使ABCACB，則這個條件能夠是【堅固】如圖，D、E是ABC的邊AC、AB上的點

9、，且ADACAEAB，求證：ADEB.【堅固】如圖，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面積是BDE面積的4倍，AC6，求DE的長.【例2】如圖，ABC中，ABC60，點P是ABC內一點，使得APBBPCCPA，PA8，PC6，則PB【堅固】如圖，已知三個邊長相等的正方形相鄰并排，求EBFEBG【例3】如圖，已知ABC中，AE:EB1:3，BC:CD2:1，AD與CE訂交于F，則AFEF的值為（）FCFDA.5B.1C.322【堅固】在ABC中，BDCE，DE的延伸線交BC的延伸線于P，求證：ADBPAECP.【堅固】如圖，M、N為ABC邊BC上的兩點，且知足BMMNNC，一條平行

10、于AC的直線分別交AB、AM和AN的延伸線于點求證：EF3DE.D、E和F.【例4】如圖，已知AB/EF/CD，若ABa，CDb，EFc，求證：111.cab【堅固】如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AC和BD訂交于點E，EFBD，垂足為F.證明：111.ABCDEF【堅固】如圖，已知AB/EF/CD，找出SABD、SBED、SBCD之間的關系，并證明你的結論.【例5】如圖，在四邊形ABCD中，及AC的延伸線分別訂交于點AC與BD訂交于點O，直線l平行于BD，且與AB、DC、M、N、R、S和P.求證：PMPNPRPSBC、AD【堅固】已知，如圖，四邊形ABCD，兩組對邊延伸后交于E、

11、F，對角線BDEF，AC的延伸線交EF于G求證：EGGF【考點】相似三角形的性質與判斷【難度】5星【題型】解答【重點詞】【例6】如圖，ABC中，BCa，若D1，E1分別是AB，AC的中點，則D1E11a；2若D2、E2分別是D1B、E1C的中點，則D2E21aa3a；224若D3、E3分是D2B、E2C的中點，137D3E34aaa；28若Dn、En分是Dn-1B、En-1C的中點，DnEn_.【例7】如，ABC內有一點P，P作各的平行，把ABC分紅三個三角形和三個平行四形若三個三角形的面S1，S2，S3分1，ABC的面是12【例8】如，梯形ABCD的兩條角與兩底所成的兩個三角形的面分p2，q

12、2，梯形的面是（）A2p2q2Bpq2Cp2q2pq22p2q2DPqp2q2【堅固】如，梯形ABCD中，ADBC，兩條角AC、BD訂交于O，若SAOD:SCOB1:9，那么SBOC:SDOC二、與平行四邊形有關的相似問題【例9】如，已知平行四形ABCD中，點B的直次與AC、AD及CD的延訂交于點E、F、G，若BE5，EF2，FG的是【堅固】如，已知DEAB，OA2OCOE，求：ADBC.【例10】如圖，YABCD的對角線訂交于點O，在AB的延伸線上任取一點E，連結OE交BC于點F，若ABa，ADc，BEb,求BF的值【堅固】如圖：矩形ABCD的面積是36，在AB，AD邊上分別取點E，F，使得

13、AE3EB，DF2AF，且DE與CF的交點為點O，求FOD的面積。三、與梯形有關的相似問題【例11】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中點，分別連結AC、BD、MD、MC，且ACMD交于點E，DB與MC交于F.1）求證：EF/CD（2）若ABa,CDb，求EF的長.【堅固】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADa，BCb，E，F分別是AD，BC的中點，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的長【例12】如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC，A90，ABa,ADb,BC2b(ab),DEDC,DE交AB于點E，連結EC.（1）判斷DCE與ADE，DCE與BCE能否分別必定相似，

14、若相似，請加以證明.（2）假如不用然相似，請指出a、b知足什么關系時，它們就能相似.四、與內接矩形有關的相似問題【例13】ABC中，正方形EFGH的兩個極點E、F在BC上，另兩個極點G、H分別在AC、AB上，BC15,BC邊上的高AD10,求SWEFGH.【堅固】如圖，已知上，F，G在ABC中，AC3，BC4，AB上，求正方形的邊長C90，四邊形DEGF為正方形，此中D，E在邊AC，BC【例14】如圖，已知SSADFCDEABC中，四邊形DEGF為正方形，1，SBEG3，求ABC的面積D，E在線段AC，BC上，F，G在AB上，假如【堅固】如圖，在ABC中，AB5，BC3，AC4，動點E(與點A

15、，C不重合)在AC邊上，EFAB交BC于F點EABF的面積相等時，求當ECF的面積與四邊形CE的長當ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長試問在AB上能否存在點P，使得EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明原因；若存在，懇求出EF的長課后作業1.直線DE與ABC的AB邊訂交于點D，與AC邊訂交于點E，以下條件：DEBC；AEDB；AEACADAB；AEED中，能使ADE與ABC相似的條件有（）ACBCA1個B2個C3個D4個2.如圖，在ABC的邊AB上取一點D，在AC取一點E，使ADAE，直線DE和BC的延伸線訂交于P，求證：BPBDCPCE3.已知：P為ABC的中位線MN上隨意一點，BP、CP的延伸線分別交對邊AC、AB于D、E，求證：ADAEDCEB14.如圖，已知在矩形ABCD中，E為AD的中點，EFEC交