1、波函數的性質2022/9/21111第1頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21112粒子圖像對波粒二象性的理解曾經經歷過激烈的爭論。與光的雙縫干涉實驗的情況一樣，可以對電子的雙縫干涉進行多時間段實驗。結果顯示，可以將實物波理解成大量粒子形成的疏密波。然而，單個電子就具有波動性。只有承認這一點，才能理解氫原子的量子特性。也可以將實物波理解成空間中連續分布的波包。粒子圖像：波包圖像：第2頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21113波包圖像把波包的想法用到非相對論性自由粒子：波包的群速度正是粒子的運動速度。波包中不同波長的成

2、分速度不一樣！結果發現，波包的寬度即粒子的線度將隨時間改變。這與實際觀測到的結果明顯矛盾。看來，無論把實物波理解成疏密波還是波包，都帶有片面性，不能完整地反映實物的量子特性。電子究竟是什么？第3頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21114波粒二象性在經典力學的觀念中，一個粒子有確定的質量和電荷，并有確切的位置和運動軌道；一個波則對應某種實在的物理量的變化，并呈現出相干疊加性。根據經典的粒子觀，如果電子是粒子，它在雙縫實驗中必定只穿過一條縫，因此不可能生成干涉圖樣。根據經典的波動觀，如果電子是波，就不可能在屏幕上打出一個一個分立的光點。因此，電子在穿越雙縫時

3、必定表現出波的行為，而在接觸屏幕時則表現出粒子的行為。這意味著電子所呈現的粒子性，只是經典粒子概念中的顆粒性，并不與確切的軌道相聯系。而它所呈現的波動性，只是波動中最本質的疊加性。并不與實在的物理量的變化相關聯。第4頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21115薛定諤方程電子干涉實驗的結果表明，單次撞擊是不可預言的。盡管如此，由于每次做實驗都得到相同的干涉圖樣，因此，干涉的總體圖樣是可以預言的。統計圖樣的可預言性表明，德布羅意波也是可預言的。1926年，奧地利物理學家歐文 薛定諤找到了預言德布羅意波的數學方程，叫做薛定諤方程。這是一個二階的線性偏微分方程：波

4、函數代表粒子的總能量代表粒子的動能外力的作用改變粒子能量的方式拉普拉斯算符第5頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21116波函數疑難薛定諤方程是牛頓運動方程在量子理論中的等價物，是量子理論中的基本方程，也是量子力學的基本假定，其正確性只能靠實驗來檢驗。牛頓運動定律預言了粒子在外力作用下的精確行為，與牛頓運動定律相似，薛定諤方程也預言了實物粒子在外力作用下的行為方式(波函數)。薛定諤方程有助于闡明和預言大自然的行為，但是，它并沒有解決量子疑難：一個電子通過雙縫干涉儀時究竟發生了什么？電子走的路徑實際上是哪一條？電子的干涉圖樣的本質是什么？波函數到底代表了什么

5、？第6頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21117干涉圖樣的概率性1926年，玻恩提出：干涉圖樣必定代表了每一個電子的概率圖樣：概率是對事物的可能性程度的度量。凡是一個特定實驗的結果不確定，但多次重復的總的統計結果可以預言時，概率就起作用；對于一次無欺詐的投幣實驗，正面或反面朝上的概率都等于50%；投幣實驗是宏觀的實驗，它的概率遵從牛頓定律到很高的近似程度。一個電子在多次相同的實驗中的統計結果；許多電子在一次實驗中的統計結果；波函數實際上代表了電子在空間中出現的概率。第7頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21118波函

6、數的統計解釋更確切地說，電子的波函數 一旦給定，則表示在r點附近的體積元 中找到粒子的概率。其中 叫做概率密度，在實驗中代表干涉圖樣的強度分布。波函數的統計解釋因此，實驗給出的干涉圖樣代表電子在屏幕上出現的概率分布。沿著這條思路，玻恩得出結論：伴隨著每個電子的德布羅意波實際上是該電子出現的概率波。原則上說，投幣實驗的結果是可以預言的。每次投幣的不確定性只是由于對實驗細節的無知引起的；量子事件甚至原則上就不可預言。第8頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/21119波函數的歸一性波函數的統計解釋賦予波函數明確的物理意義，從而在物理上對波函數提出了若干要求：1.在

7、任何有限體積中找到粒子的概率是有限的。 有限值一般情況下，這意味著波函數本身必須是有限的。2. 由于粒子在空間各點出現的概率總和為 1 ，因此，波函數滿足歸一化條件：如果波函數尚未歸一化，即在這個尚未歸一化的波函數前面乘上一個常數因子，構造出一個新的波函數：第9頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/211110構造歸一化波函數于是，在全空間找到粒子的概率讓這個新的波函數滿足歸一化條件歸一化因子由此得到了一個新的、滿足歸一化條件的波函數。由于量子理論只討論粒子在空間中各點出現的相對概率，因此，波函數有一個常數因子的不確定性。這意味著 與 描寫粒子的同一個量子態。這一點與經典力學中的波函數有顯著的區別。粒子在作一維運動時處于如下的狀態，計算歸一化因子，求出找到粒子的可能性最大的位置？第10頁，共11頁，2022年，5月20日，10點26分，星期四2022/9/211111波函數是單值的3. 為了保證概率密度的確定性，要求波函數是單值的和連續的。對波函數的統計解釋表明，只能給出在一定范圍內找到粒子的概率，不能確定粒子一定在某個位置。除了統計解釋對波函數提出的一般要求外，具體的物理情況如勢能的性質和邊界條件等，對波函數也提出一些特別的要求。1. 當勢能是坐標的連續函數時，波函數的