1、方向導數和梯度第1頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三例子：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的答案：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行一 問題的提出第2頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三0 xy方向導數圖示 討論函數 在一點P沿某一方向的變化率問題第3頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三ABC第4頁，

2、共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三中xOyz.P0Pl沿方向的方向導數.第5頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三二、方向導數的定義 設函數在內有定義。若點 沿射線 l 趨于時,極限存在，則稱該極限值為函數在點處沿 l 方向的方向導數。記為第6頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三或第7頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三 利用直線方程可將方向導數的定義表示為:射線 l 的方程為則故第8頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三比較方向導數與偏導數的概念在方向導數中，分母；在偏導數中，分母、可正、

3、可負。即使 l 的方向與 x 軸 , y 軸的正方向一致時，方向導數與偏導數的概念也是不同的。方向導數與偏導數是兩個不同的概念 想一想，為什么？第9頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三 怎么計算方向導數？第10頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三看看三維空間的情形第11頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三定理(方向導數導計算公式)若函數在點處可微，則函數在點處沿任一方向的方向導數存在，且其中, 各導數均為在點處的值.第12頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三運用向量的數量積，可將方向導數計算公式表示為：其中

4、，稱為梯度第13頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三在中在中可統一表示為第14頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三設, 求函數在點沿方向的方向導數。解例第15頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三由點到坐標原點的距離定義的函數在坐標原點處的兩個偏導數均不存在，但它在該點沿任何方向的方向導數均存在，且方向導數值都等于1：想一想，該例給你什么啟示函數可微是方向導數存在的充分條件，而不是必要條件。方向導數存在時，偏導數不一定存在。 例第16頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三一個問題：在給定點沿什么方向增加得最快？

5、該問題僅在不同時為零才有意義。可微函數三、 梯度第17頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三由前面的推導，有現在正式給出的定義grad u由此可得出什么結論？ 方向導數等于梯度在此方向上的投影第18頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三定義設則稱向量為函數在點處的梯度，記為或第19頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三 梯度的方向與取得最大方向導數導方向一致，而它的模就是函數在該點的方向導數的最大值。以上結論可以推廣到二元和三元以上的函數中。 梯度的方向與取得最大方向導數導方向一致，而它的模就是函數在該點的方向導數的最大值。以上結論可

6、以推廣到二元和三元以上的函數中。第20頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三在幾何上 表示一個曲面曲面被平面 所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量第21頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數第22頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三第23頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三設求并求在點處方向導數的最大(小)值。解從而例1第24頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，星期三解由梯度計算公式得故第25頁，共26頁，2022年，5月20日，17點17分，